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高考抢分秘籍之—高三数学提高复习——数学解析几何题型及方法


复习——数学解析几何题型及方法
方法总结及复习建议
1 .求 直 线 方 程 或 者 判 断 直 线 的 位 置 关 系 时 ,要 注 意 斜 率 ,截 距 的 几 何 意 义 , 在判断关系时除用斜率判断之外注意向量的利用。 2. 直 线 与 圆 , 圆 与 圆 的 位 置 关 系 关 系 常 用 几 何 方 法 处 理 。 3. 求 曲 线 方 程 常 利 用 待 定 系 数 法 , 求 出 相 应 的 a, b, p 等 .要 充 分 认 识 椭 圆 中 参 数 a , b , c , e 的 意 义 及 相 互 关 系 ,在 求 标 准 方 程 时 ,已 知 条 件 常 与 这些参数有关. 注意各种方程一般式。 4 .涉 及 椭 圆 、双 曲 线 上 的 点 到 两 个 焦 点 的 距 离 问 题 ,或 在 圆 锥 曲 线 中 涉 及 到焦点与到准线的距离时常常要注意运用定义. 5 .直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 问 题 ,利 用 数 形 结 合 法 或 将 它 们 的 方 程 组 成 的方程组转化为一元二次方程,利用判别式、韦达定理来求解或证明. 6. 注 意 弦 长 公 式 的 灵 活 运 用 7. 离 心 率 的 思 路 1 、 定 义 法 , 分 别 求 出 a 、 c 或 者 用 第 二 定 义 ; 2 、 方 程 法 — — 即 从 a、 b、 c、 d、 e 五 个 量 中 找 联 系 , 知 二 求 三 8. 中 点 弦 问 题 " 点 差 法 ” 最 有 效 9 .对 于 轨 迹 问 题 ,要 根 据 已 知 条 件 求 出 轨 迹 方 程 ,再 由 方 程 说 明 轨 迹 的 位 置 、 形 状 、 大 小 等 特 征 .求 轨 迹 的 常 用 方 法 有 直 接 法 、 定 义 法 、 参 数 法 、 代 入法、交轨法等. 10 . 与 圆 锥 曲 线 有 关 的 对 称 问 题 , 利 用 中 心 对 称 以 及 轴 对 称 的 概 念 和 性 质 来求解或证明.

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高考核心考点
1、 准 确 理 解 基 本 概 念 ( 如 直 线 的 倾 斜 角 、 斜 率 、 距 离 、 截 距 等 ) 2 、熟 练 掌 握 基 本 公 式( 如 两 点 间 距 离 公 式 、点 到 直 线 的 距 离 公 式 、斜 率 公 式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等) 3 、熟 练 掌 握 求 直 线 方 程 的 方 法( 如 根 据 条 件 灵 活 选 用 各 种 形 式 、讨 论 斜 率 存在和不存在的各种情况、截距是否为 0 等等) 4 、在 解 决 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 问 题 中 ,要 善 于 运 用 圆 的 几 何 性 质 以 减 少 运 算 5、 了 解 线 性 规 划 的 意 义 及 简 单 应 用 6、 熟 悉 圆 锥 曲 线 中 基 本 量 的 计 算 7 、掌 握 与 圆 锥 曲 线 有 关 的 轨 迹 方 程 的 求 解 方 法( 如 :定 义 法 、直 接 法 、相 关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等) 8 、掌 握 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 的 常 见 判 定 方 法 ,能 应 用 直 线 与 圆 锥 曲 线的位置关系解决一些常见问题

常规题型及解题的技巧方法

A: 常 规 题 型 方 面
( 1) 中 点 弦 问 题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法) :设曲线上 两 点 为 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 代 入 方 程 , 然 后 两 方 程 相 减 , 再 应 用 中 点 关 系 及 斜 率公式,消去四个参数。 典型例题 于 两 点 P1

y2 ? 1。 过 A( 2, 1) 的 直 线 与 双 曲 线 交 给定双曲线 x ? 2
2

及 P2 , 求 线 段 P1 P2 的 中 点 P 的 轨 迹 方 程 。

分 析 : 设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) 代 入 方 程 得 x12 ? 两式相减得

y12 y2 2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1。 2 2

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1 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 。 2

又 设 中 点 P ( x,y ) , 将 x1 ? x 2 ? 2 x , y1 ? y 2 ? 2 y 代 入 , 当 x1 ? x 2 时 得
2x ? y ? y2 2y · 1 ? 0。 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 y ?1 , ? x1 ? x 2 x ? 2

又k?

代 入 得 2x2 ? y2 ? 4x ? y ? 0 。 当 弦 P1 P2 斜 率 不 存 在 时 , 其 中 点 P ( 2 , 0 ) 的 坐 标 也 满 足 上 述 方 程 。 因 此 所 求 轨 迹 方 程 是 2x2 ? y2 ? 4x ? y ? 0 说 明 :本 题 要 注 意 思 维 的 严 密 性 ,必 须 单 独 考 虑 斜 率 不 存 在 时 的 情 况 。

( 2) 焦 点 三 角 形 问 题 椭 圆 或 双 曲 线 上 一 点 P , 与 两 个 焦 点 F1 、 F2 构 成 的 三 角 形 问 题 , 常 用 正、余弦定理搭桥。 典型例题 设 P(x,y) 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 任 一 点 , F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) 为 焦 a 2 b2

点 , ?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? 。 ( 1) 求 证 离 心 率 e ?
sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?

( 2 ) 求 | PF1 |3 ? PF2 |3 的 最 值 。 分析: ( 1 )设 | PF1 | ? r1 , | PF2 ? r2 ,由 正 弦 定 理 得

r1 r 2c ? 2 ? 。 sin ? sin ? sin(? ? ? )



r1 ? r2 2c ? , sin ? ? sin ? sin(? ? ? )

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e? c sin(? ? ? ) ? a sin ? ? sin ?

( 2 ) (a ? ex ) 3 ? (a ? ex ) 3 ? 2a 3 ? 6ae 2 x 2 。 当 x ? 0 时 , 最 小 值 是 2a 3 ; 当 x ? ? a 时 , 最 大 值 是 2a 3 ? 6e 2 a 3 。

( 3) 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 问 题 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 的 基 本 方 法 是 解 方 程 组 ,进 而 转 化 为 一 元 二 次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法 典型例题
抛物线方程y 2 ? p( x ? 1) ( p ? 0) ,直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

( 1) 求 证 : 直 线 与 抛 物 线 总 有 两 个 不 同 交 点 ( 2 ) 设 直 线 与 抛 物 线 的 交 点 为 A 、 B , 且 OA ⊥ OB , 求 p 关 于 t 的 函 数 f(t) 的 表 达 式 。 ( 1 ) 证 明 : 抛 物 线 的 准 线 为 1:x ? ?1 ?
p 4

由 直 线 x+y=t 与 x 轴 的 交 点 ( t , 0 ) 在 准 线 右 边 , 得
t ? ?1 ? p ,而 4 t ? p ? 4 ? 0 4

?x ? y ? t 由? 2 消去y得 x 2 ? (2 t ? p) x ? ( t 2 ? p) ? 0 y ? p ( x ? 1 ) ?

? ? ? ( 2 t ? p) 2 ? 4( t 2 ? p) ? p( 4 t ? p ? 4) ? 0

故直线与抛物线总有两个交点。 ( 2 ) 解 : 设 点 A(x 1 , y 1 ) , 点 B(x 2 , y 2 )
? x 1 ? x 2 ? 2 t ? p,x 1 x 2 ? t 2 ? p
? OA?OB, ? k OA ? k OB ? ?1

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则 x1x 2 ? y1y 2 ? 0 又 y 1 y 2 ? ( t ? x 1 )( t ? x 2 )

? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? t 2 ? ( t ? 2) p ? 0
? p ? f (t) ? t2 t?2

又p ? 0, 4 t ? p ? 4 ? 0得函数f ( t ) 的定义域是

( ?2 , 0) ? (0, ? ?)

( 4) 圆 锥 曲 线 的 有 关 最 值 ( 范 围 ) 问 题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1> 若 命 题 的 条 件 和 结 论 具 有 明 显 的 几 何 意 义 , 一 般 可 用 图 形 性 质 来 解决。 <2> 若 命 题 的 条 件 和 结 论 体 现 明 确 的 函 数 关 系 式 , 则 可 建 立 目 标 函 数 (通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。 典型例题 已 知 抛 物 线 y 2 =2px(p>0) , 过 M ( a,0 ) 且 斜 率 为 1 的 直 线 L 与 抛 物 线 交 于 不 同 的 两 点 A 、 B , |AB| ≤ 2p ( 1) 求 a 的 取 值 范 围 ; ( 2 ) 若 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 交 x 轴 于 点 N , 求 △ NAB 面 积 的 最 大 值 。 分 析 : 这 是 一 道 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 的 问 题 , 对 于 ( 1) ,可以设法 得 到 关 于 a 的 不 等 式 ,通 过 解 不 等 式 求 出 a 的 范 围 ,即 : “ 求 范 围 ,找 不 等 式” 。 或者将 a 表示为另一个变量的函数, 利用求函数的值域求出 a 的范围; 对 于 ( 2 ) 首 先 要 把 △ NAB 的 面 积 表 示 为 一 个 变 量 的 函 数 , 然 后 再 求 它 的 最 大 值 ,即 : “最值问题,函数思想” 。

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解 : (1) 直 线 L 的 方 程 为 : y=x-a, 将 y=x-a 代 入 抛 物 线 方 程 y 2 =2px, 得 : 设 直 线 L 与 抛 物 线 两 交 点 的 坐 标 分 别 为 A ( x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ) , 则
?4(a ? p ) ? 4a 2 ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 2(a ? p ) , 又 y 1 =x 1 -a,y 2 =x 2 -a, ? 2 ? x1 x 2 ? a

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? 8 p( p ? 2a) ?0 ?| AB |? 2 p,8 p( p ? 2a) ? 0, ?0 ? 8 p( p ? 2a) ? 2 p,
解得: ?
p p ?a?? . 2 4

(2) 设 AB 的 垂 直 平 分 线 交 AB 与 点 Q , 令 其 坐 标 为 ( x 3 ,y 3 ) ,则由中点坐 标公式得:
x3 ? x1 ? x 2 2 ?a? p, y3 ? y1 ? y 2 ( x1 ? a) ? ( x 2 ? a) ? ? p. 2 2

所 以 |QM| 2 =(a+p-a) 2 +(p-0) 2 =2p 2 . 又 △ MNQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 所 以 |QM|=|QN|= 2 P , 所 以 S △ N A B = 即 △ NAB 面 积 的 最 大 值 为
1 2 2 | AB | ? | QN |? p? | AB |? p ? 2 p ? 2 p2 , 2 2 2

2P 2 。

( 5) 求 曲 线 的 方 程 问 题 1 . 曲 线 的 形 状 已 知 -------- 这 类 问 题 一 般 可 用 待 定 系 数 法 解 决 。 典型例题 已 知 直 线 L 过 原 点 ,抛 物 线 C 的 顶 点 在 原 点 ,焦 点 在 x 轴 正 半 轴 上 。若 点 A ( -1 , 0 ) 和 点 B( 0 , 8 ) 关 于 L 的 对 称 点 都 在 C 上 ,求 直 线 L 和 抛 物线 C 的方程。 分析:曲线的形状已知,可以用待定系数法。

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设 出 它 们 的 方 程 , L : y=kx(k ≠ 0),C:y 2 =2px(p>0) 设 A、 B 关 于 L 的 对 称 点 分 别 为 A/、 B/, 则 利 用 对 称 性 可 求 得 它 们 的 坐 标 分别为: A /(
k 2 ?1 2k 16k 8(k 2 ? 1) , ? , ) , B ( ) 。 因 为 A、 B 均 在 抛 物 线 上 , 代 入 , k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

消 去 p , 得 : k 2 -k-1=0. 解 得 : k= 所 以 直 线 L 的 方 程 为 : y=

1? 5 2 5 ,p= . 2 5

1? 5 4 5 x, 抛 物 线 C 的 方 程 为 y 2 = x. 2 5

2 . 曲 线 的 形 状 未 知 ----- 求 轨 迹 方 程 典型例题 已 知 直 角 坐 标 平 面 上 点 Q( 2, 0) 和 圆 C: x 2 +y 2 =1, 动 点 M 到 圆 C 的 切 线 长 与 |MQ| 的 比 等 于 常 数 ? ( ? >0 ) , 求 动 点 M 的 轨 迹 方 程 , 并 说明它是什么曲线。 分 析 : 如 图 , 设 MN 切 圆 C 于 点 N , 则 动 点 M 组 成 的 集 合 是 : P={M||MN|= ? |MQ|} , 由 平 面 几 何 知 识 可 知 : |MN| 2 =|MO| 2 -|ON| 2 =|MO| 2 -1 , 将 M 点 坐 标 代 入 , 可 得 : ( ? 2 -1)(x 2 +y 2 )-4 ? 2 x+(1+4 ? 2 )=0. 当 ? =1 时 它 表 示 一 条 直 线 ;当 ? ≠ 1 时 ,它 表 示 圆 。这 种 方 法 叫 做 直 接 法 。 O Q M N

( 6) 存 在 两 点 关 于 直 线 对 称 问 题 在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求

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两 点 所 在 的 直 线 ,求 这 两 直 线 的 交 点 ,使 这 交 点 在 圆 锥 曲 线 形 内 。 (当然也 可以利用韦达定理并结合判别式来解决) 典型例题

x2 y2 已知椭圆 C 的方程 ? ? 1 ,试 确 定 m 的 取 值 范 围 ,使 得 对 4 3

于 直 线 y ? 4x ? m , 椭 圆 C 上 有 不 同 两 点 关 于 直 线 对 称 。 分 析 :椭 圆 上 两 点 ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,代 入 方 程 ,相 减 得 3( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ?
4( y1 ? y 2 ) ( y1 ? y 2 ) ? 0 。

又x?

x1 ? x 2 y ? y2 y ? y2 1 , y? 1 ,k? 1 ? ? , 代 入 得 y ? 3x 。 2 2 x1 ? x 2 4

? y ? 3x 又由 ? 解 得 交 点 ( ? m,?3m) 。 ?y ? 4x ? m

交点在椭圆内,则有 ( 7) 两 线 段 垂 直 问 题

( ? m) 2 ( ?3m) 2 2 13 2 13 。 ? ? 1, 得 ? ?m? 13 13 4 3

圆 锥 曲 线 两 焦 半 径 互 相 垂 直 问 题 , 常 用 k1 ·k 2 ? 向量的坐标运算来处理。 典型例题

y1 ·y 2 ? ?1 来 处 理 或 用 x1 ·x 2

已 知 直 线 l 的 斜 率 为 k ,且 过 点 P( ?2,0) ,抛 物 线 C: y 2 ? 4( x ? 1) ,

直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点(如图) 。 ( 1) 求 k 的 取 值 范 围 ; ( 2) 直 线 l 的 倾 斜 角 ? 为 何 值 时 , A、 B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。 分析: ( 1 )直 线 y ? k ( x ? 2) 代 入 抛 物 线 方 程 得 k 2 x 2 ? ( 4 k 2 ? 4) x ? 4 k 2 ? 4 ? 0 , 由 ? ? 0 , 得 ?1 ? k ? 1( k ? 0) 。
P (-2,0) A O x y B

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4k 2 ? 4 ( 2 ) 由 上 面 方 程 得 x1 x 2 ? , k2
y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? 4 , 焦 点 为 O(0,0) 。
由 k OA ·k OB ?
y1 y 2 k2 2 2 2 , ? ? arctan 或 ? ? ? ? arctan ? 2 ? ?1 , 得 k ? ? x1 x 2 k ? 1 2 2 2

B: 解 题 的 技 巧 方 面
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果 我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不 求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:

( 1) 充 分 利 用 几 何 图 形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质, 所以在处理解析几何问题 时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这 往往能减少计算量。 典型例题 设 直 线 3x ? 4 y ? m ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 相 交 于 P 、 Q 两

点 , O 为 坐 标 原 点 , 若 OP?OQ , 求 m 的 值 。 解 : ? 圆 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 过 原 点 , 并 且 OP?OQ ,
1 ? PQ 是 圆 的 直 径 , 圆 心 的 坐 标 为 M ( ? ,1) 2 1 又 M ( ? ,1) 在 直 线 3x ? 4 y ? m ? 0 上 , 2 1 5 ? 3 ? ( ? ) ? 4 ? 1 ? m ? 0, ? m ? ? 即 为 所 求 。 2 2

评 注 : 此 题 若 不 充 分 利 用 一 系 列 几 何 条 件 : 该 圆 过 原 点 并 且 OP?OQ , PQ 是 圆 的 直 径 ,圆 心 在 直 线 3x ? 4 y ? m ? 0 上 ,而 是 设 P( x1 ,y1 ) 、Q( x 2 ,y 2 ) 再 由 OP?OQ 和 韦 达 定 理 求 m , 将 会 增 大 运 算 量 。 评 注 : 此 题 若 不 能 挖 掘 利 用 几 何 条 件 ?OMP ? 90? , 点 M 是 在 以 OP 为

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直径的圆周上,而利用参数方程等方法,计算量将很大,并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方 法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已 知 中 心 在 原 点 O, 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 与 直 线 y ? x ?1相 交 于
10 ,求此椭圆方程。 2

P 、 Q 两 点 , 且 OP?OQ , | PQ| ?

解 : 设 椭 圆 方 程 为 ax 2 ? by 2 ? 1(a ? b ? 0) , 直 线 y ? x ? 1 与 椭 圆 相 交 于 P ( x1 ,y1 ) 、 Q( x 2 ,y 2 ) 两 点 。

?y ? x ? 1 由方程组 ? 2 消去 y后得 2 ?ax ? by ? 1
(a ? b) x 2 ? 2bx ? b ? 1 ? 0 2b b ?1 ? x1 ? x 2 ? ? ,x1 x 2 ? a ?b a ?b

由 k OP ? k OQ ? ?1 , 得 y1 y 2 ? ? x1 x 2 又 P、 Q 在 直 线 y ? x ? 1 上 ,

( 1)

( 2) ? y1 ? x1 ? 1, ? (3) ? y 2 ? x 2 ? 1, ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1
把 ( 1 ) 代 入 , 得 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ,
2(b ? 1) 2b ? ?1? 0 a ?b a ?b 化简后,得



a ?b ? 2

( 4)
5 10 , 得 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 2

由 | PQ| ?

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? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 5 5 , ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? , 4 4 2b 2 4(b ? 1) 5 ( ) ? ? a ?b a ?b 4
1 3 或b? 2 2

把 ( 2 ) 代 入 , 得 4b 2 ? 8b ? 3 ? 0 , 解 得 b ?
3 1 或a? 2 2 3 1 由 a ? b ? 0 , 得 a ? ,b ? 。 2 2

代 入 ( 4) 后 , 解 得 a ?

3x 2 y 2 ? ?1 ?所 求 椭 圆 方 程 为 2 2
评 注 :此 题 充 分 利 用 了 韦 达 定 理 及“ 设 而 不 求 ”的 策 略 ,简 化 了 计 算 。

三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求 经 过 两 已 知 圆 C1 :x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2 :x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0

的 交 点 , 且 圆 心 在 直 线 l : 2x ? 4 y ? 1 ? 0 上 的 圆 的 方 程 。 解:设所求圆的方程为:

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? ? ( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 4) ? 0
即 (1 ? ? ) x 2 ? (1 ? ? ) y 2 ? 4 x ? 2(1 ? ? ) y ? 4? ? 0 , 其 圆 心 为 C(
2 ? ?1 , ) 1? ? ? ?1 2 ? ?1 1 ? 4? ?1? 0,解得 ? ? ,代入所设圆的 又 C 在直线 l 上,?2? 1? ? ? ?1 3

方 程 得 x 2 ? y 2 ? 3x ? y ? 1 ? 0 为 所 求 。 评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点,故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相 关的求最值的问题.这也是我们常说的三角代换法。 典型例题 P 为椭圆
x2 y 2 ? ? 1上 一 动 点 , A 为 长 轴 的 右 端 点 , B 为 短 轴 a 2 b2

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的 上 端 点 , 求 四 边 形 OAPB 面 积 的 最 大 值 及 此 时 点 P 的 坐 标 。 五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果,减少运算过程 一 般 地 , 求 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 AB 长 的 方 法 是 : 把 直 线 方 程

y ? kx ? b 代 入 圆 锥 曲 线 方 程 中 , 得 到 型 如 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 方 程 , 方 程 的 两 根

△ 设 为 x A , x B , 判 别 式 为 △ , 则 | AB| ? 1 ? k 2 ·| x A ? x B | ? 1 ? k 2· ,若 直 接 用 |a|
结论,能减少配方、开方等运算过程。 例 求 直 线 x ? y ? 1 ? 0 被 椭 圆 x 2 ? 4 y 2 ? 16 所 截 得 的 线 段 AB 的 长 。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合 图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。 例
F1 、 F2 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 的 两 个 焦 点 , AB 是 经 过 F1 的 弦 , 若 25 9

| AB| ? 8 , 求 值 | F2 A | ? | F2 B |

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A( 3 , 2 )为 定 点 ,点 F 是 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的 焦 点 ,点 P 在

抛 物 线 y 2 ? 4 x 上 移 动 , 若 | PA|?| PF | 取 得 最 小 值 , 求 点 P 的 坐 标 。


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