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排列组合的解题技巧


排列组合的的解题技巧 排列组合的的解题技巧
一、准备工作:排列组合知识要点分析 (一)基本原理 1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有 类办法,在第一类办法中有 二类办法中有 种不同的方法,……,在第 类办法中有 … 种不同的方法。 2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 个步骤,做第一步有 种不同的方法,做第二步有 种不同的方法,……,做第 步有 种不同的办法,

那么完成这件事共有: … 种不同的方法。 3.两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关即“联斥性”: (1)对于加法原理有以下三点: ①“斥”——互斥独立事件; ②模式:“做事”——“分类”——“加法” ③关键:抓住分类的标准进行恰当地分类,要使分类既不遗漏也不重复。 (2)对于乘法原理有以下三点: ①“联”——相依事件; ②模式:“做事”——“分步”——“乘法” ③关键:抓住特点进行分步,要正确设计分步的程序使每步之间既互相联系又彼此独立。 (二)排列 1.排列定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 种不同的方法,在第

种不同的办法,那么完成这件事共有:

个不同元素中,任取 个元素的一个排列。特别地当 时,叫做 个不同元素的一个全排列。 2.排列数定义:从 个不同元素中取出 个元素的排列数,用符号 表示。 3. 排列数公式 (三)组合 1.组合定义:一般地说从 个不同元素中,任取 个元素的一个组合。 2.组合数定义:从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数,叫做从 个不同元素中取出

个元素的组合数,用符号 表示。 3. 组合数公式 4.组合数的两个性质 (四)排列与组合的应用 1.排列的应用问题 (1)无限制条件的简单排列应用问题,可直接用公式求解。 (2)有限制条件的排列问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。 2.组合的应用问题 (1)无限制条件的简单组合应用问题,可直接用公式求解。 (2)有限制条件的组合问题,可根据具体的限制条件,用“直接法”或“间接法”求解。 3.排列、组合的综合问题 排列组合的综合问题,主要是排列组合的混合题,解题的思路是先解决组合问题,然后再讨论排 列问题。 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点: (1)限制条件的排列问题常见命题形式: “在”与“不在” “相邻”与“不相邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法: ①“相邻”问题在解题时常用“捆绑法”,可以把两个或两个以上的元素当做一个元素来看,这 是处理相邻最常用的方法。 ②“不相邻”问题在解题时最常用的是“插空法”。 ③“在”与“不在”问题,常常涉及特殊元素或特殊位置,通常是先排列特殊元素或特殊位置。 ④元素有顺序限制的排列, 可以先不考虑顺序限制, 等排列完毕后利用规定顺序的实情求出结果。 (2)限制条件的组合问题常见命题形式: “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”。 (3)在处理排列组合综合题时,通过分析条件按元素的性质分类,做到不重复,不遗漏按事件 的发生过程分类、分步,正确地交替使用两个原理,这是解决排列问题的最基本,也是最重要的 思想方法。

4、解题步骤: (1)认真审题:看这个问题是否与顺序有关,先归结为排列问题或组合问题或二者的综合题, 还应考虑以下几点: ①在这个问题中 个不同的元素指的是什么?② 个元素指的又是什么? ②从 个不同的元素中每次取出 个元素的排列(或组合)对应的是什么事件; (2)列式并计算; (3)作答。 二、学习过程 题型一:排列应用题 9 名同学站成一排:(分别用 A,B,C 等作代号) (1) 如果 A 必站在中间,有多少种排法?(答案: ) (2) 如果 A 不能站在中间,有多少种排法?(答案: ) (3) 如果 A 必须站在排头,B 必须站在排尾,有多少种排法?(答案: ) (4) 如果 A 不能在排头,B 不能在排尾,有多少种排法?(答案: ) (5) 如果 A,B 必须排在两端,有多少种排法?(答案: ) (6) 如果 A,B 不能排在两端,有多少种排法?(答案: ) (7) 如果 A,B 必须在一起,有多少种排法?(答案: ) (8) 如果 A,B 必须不在一起,有多少种排法?(答案: ) (9) 如果 A,B,C 顺序固定,有多少种排法?(答案: ) 题型二:组合应用题 若从这 9 名同学中选出 3 名出席一会议 (10) 若 A,B 两名必在其内,有多少种选法?(答案: ) (11) 若 A,B 两名都不在内,有多少种选法?(答案: ) (12) 若 A,B 两名有且只有一名在内,有多少种选法?(答案: ) (13) 若 A,B 两名中至少有一名在内,有多少种选法?(答案: 或 ) (14) 若 A,B 两名中至多有一名在内,有多少种选法?(答案: 或 ) 题型三:排列与组合综合应用题 若 9 名同学中男生 5 名,女生 4 名 (15) 若选 3 名男生,2 名女生排成一排,有多少种排法?(答案: ) (16) 若选 3 名男生 2 名女生排成一排且有一男生必须在排头,有多少种排法?

(答案: ) (17) 若选 3 名男生 2 名女生排成一排且某一男生必须在排头,有多少种排法? (答案: ) (18) 若男女生相间,有多少种排法?(答案: ) 题型四:分组问题 6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (19) 一堆一本,一堆两本,一堆三本 (20) 甲得一本,乙得两本,丙得三本 (答案: ) (答案: ) (答案: )

(21) 一人得一本,一人得两本,一人得三本 (22) 平均分给甲、乙、丙三人 (23) 平均分成三堆 (答案: )

(答案: ) (答案: )

(24) 分成四堆,一堆三本,其余各一本

(25)分给三人每人至少一本。 (答案: + + ) 题型五:全能与专项 车间有 11 名工人,其中 5 名男工是钳工,4 名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又 能当钳工现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,有多少种选派方法? 题型六:染色问题 (26)梯形的两条对角线把梯形分成四部分,用五种不同颜色给这四部分涂不同颜色,且相邻的 区域不同色,问有( (答案:260) (27)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分 (如图)。现在栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相 邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种。 )种不同的涂色方法?

分析:先排 1、2、3 排法 种排法;再排 4,若 4 与 2 同色, 5 有 种排法,6 有 1 种排法;若 4 与 2 不同色,4 只有 1 种排法; 若 5 与 2 同色,6 有 种排法;若 5 与 3 同色,6 有 1 种排法 所以共有 ( + +1)=120 种 题型七:编号问题 (28)四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有多少 种? (答案:144)

(29)将数字 1,2,3,4 填在标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填上一个数字且每个方格 的标号与所填的数字均不相同的填法有多少种?(答案:9) 题型八:几何问题 (30):(Ⅰ)四面体的一个顶点为 A,从其它顶点和各棱的中点中取 3 个点,使它们和点 A 在 同一个平面上,有多少种不同的取法? (Ⅱ)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,在其中取 4 个不共面的点,有多少种不同的取法? 解:(1)(直接法)如图,含顶点 A 的四面体的 3 个面上,除点 A 外都有 5 个点,从中取出 3 点必与点 A 共面共有 种取法,含顶点 A 的 三条棱上各有三个点,它们与所对的棱的中点共面,共有 3 种取法。 根据分类计数原理,与顶点 A 共面三点的取法有 +3=33(种) (2)(间接法)如图,从 10 个顶点中取 4 个点的取法有 种,除去 4 点共面 的取法种数可以得到结果。从四面体同一个面上的 6 个点取出 4 点必定共面。有 =60 种,四面 体的每一条棱上 3 点与相对棱中点共面,共有 6 种共面情况,从 6 条棱的中点中取 4 个点时有 3 种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)故 4 点不共面的取法为 -(60+6+3)=141 题型九:关于数的整除个数的性质: ①被 2 整除的:个位数为偶数; ②被 3 整除的:各个位数上的数字之和被 3 整除; ③被 6 整除的:3 的倍数且为偶数; ④被 4 整除的:末两位数能被 4 整除; ⑤被 8 整除的:末三位数能被 8 整除; ⑥25 的倍数:末两位数为 25 的倍数; ⑦5 的倍数:个位数是 0,5; ⑧9 的倍数:各个位数上的数字之和为 9 的倍数。 (31):用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的五位数,其中 5 的倍数有多少个? (答案:216) 题型十:隔板法:(适用于“同元”问题) (32):把 12 本相同的笔记本全部分给 7 位同学,每人至少一本,有多少种分法? 分析:把 12 本笔记本排成一行,在它们之间有 11 个空当(不含两端)插上 6 块板将本子分成 7 份,对应着 7 名同学,不同的插法就是不同的分法,故有 种。

三、在线测试题 1.以一个正方形的顶点为顶点的四面体共有( (A)70(B)64(C)60(D)58 2.3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所所为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分 配方法共有( (A)90 种 D ) (C)270 种 (D)540 种 D )个

(B)180 种

3.将组成篮球队的 12 个名额分配给 7 所学校,每校至少 1 个名额,则不同的名额分配方法共有 ( A ) (B) (C) (D) B )

(A)

4.5 本不同的书,全部分给四个学生,每个学生至少 1 本,不同分法的种数为( (A)480 (B)240 (C)120 (D)96

5.编号为 1,2,3,4,5 的五个人分别去坐在编号为 1,2,3,4,5 的座位上,至多有两个号 码一致的坐法种数为( (A)90 (B)105 C ) (D)100

(C)109

6.如右图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现在 4 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有( B (A)48 (B)72 )种(用数字作答) (D)36 A )。

(C)120

7.若把英语“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数是( (A)19 (B)20 (C)119 (D)60

8.某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场,得 3 分;平一场,得 1 分;负一场,得 0 分,一球 队打完 15 场,积分 33 分,若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况有( (A)6 种 四、课后练习 1.10 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于盒子的 编数,问有 种不同的放法? (B)5 种 (C)4 种 (D)3 种 D )

2.坐在一排 9 个椅子上,相邻两人之间至少有 2 个空椅子,则不同的坐法的种数是 3.如图 A,B,C,D 为海上的四个小岛,要建三座桥,将这四个岛连接起来,不同的建桥方案共 有 种。

4.面直角坐标系中,X 轴正半轴上有 5 个点,Y 轴正半轴有 3 个点,将 X 轴上这 5 个点或 Y 轴上 这 3 个点连成 15 条线段,这 15 条线段在第一象限内的交点最多有 个。

5.某邮局现只有邮票 0.6 元,0.8 元,1.1 元的三种面值邮票,现有邮资为 7.5 元的邮件一件, 为使粘贴的邮票张数最小,且邮资恰为 7.5 元,则至少要购买 张邮票。

6.(1)从 1,2,…,30 这前 30 个自然数中,每次取出不同的三个数,使这三个 数的和是 3 的倍数的取法有多少种? (2)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成多少个能被 3 整除的四位数。 (3)在 1,2,3,…,100 这 100 个自然数中,每次取出三个数,使它们构成一个等差数列,问 这样的等差数列共有多少个? (4)1!+2!+3!+…+100!的个位数字是 7.5 个身高均不等的学生站成一排合影,若高个子站中间,从中间到两边一个比一个矮,则这 样的排法种数共有( (A)6 种 (B)8 种 ) (C)10 种 (D)12 种

8.某产品中有 4 只次品,6 只正品(每只产品均可区别),每次取一只测试,直到 4 只次品全 部测出为止,则第五次测试发现最后一只次品的可能情况共有多少种?


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