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高中物理奥赛光学例题解析


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光学例题补充
一、光的直线传播、光的反射、光的折射、光的色散 例题 1: (23 分)封闭的车厢中有一点光源 S,在距光源 l 处有一半径为 r 的圆孔,其 圆心为 O1,光源一直在发光,并通过圆孔射出.车厢以高速 v 沿固定在水平地面上的 x 轴正方向匀速运动,如图所示.某一时刻,点光源 S 恰位于 x 轴的原点 O 的正上方,取 此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点.在地面参考系中坐标为 xA 处放一半径 为 R(R >r)的不透光的圆形挡板,板面与圆孔所在的平面都与 x 轴垂直.板的圆心 O2 、 S、 1 都等高,起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕 、O (图中未画出)上.由于车厢在运动,将会出现挡板将光束完全遮住,即没有光射到屏上 的情况.不考虑光的衍射.试求: 1.车厢参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. 2.地面参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻. 解析: 1.相对于车厢参考系,地面连同挡板以速度 v 趋向光源 S 运动.由 S 发出的光经小 孔射出后成锥形光束,随离开光源距离的增大,其横截面积逐渐扩大.若距 S 的距离为 L 处光束的横截面正好是半径为 R 的圆面,如图所示。 根据几何关系,得

r R ? l L
解得: S l

r

R

Rl (1) L? r
设想车厢足够长,并设想在车厢前端距 S 为 L

L

处放置一个半径为 R 的环,相对车厢静止,则光束恰好从环内射出.当挡板运动到与此 环相遇时, 挡板就会将光束完全遮住. 此时, 在车厢参考系中挡板离光源 S 的距离就是 L. 在 车厢参考系中,初始时,根据相对论,挡板离光源的距离为:

x ? x A 1 ? ?v c ?2 (2)
故出现挡板完全遮住光束的时刻为: 1

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t?

x A 1 ? ?v c ? ? L
2

v

(3)

由(1)(3)式,得 、

t?

x A 1 ? ?v c ? v

2

?

Rl rv

(4)

2.相对于地面参考系,光源与车厢以速度 v 向挡板运动.光源与孔之间的距离缩短为:

l ' ? l 1 ? ?v c ?

2

(5)

而孔半径 r 不变,所以锥形光束的顶角变大,环到 S 的距离即挡板完全遮光时距离应为:

L' ?

Rl' Rl v2 ? 1? 2 r r c

(6)

初始时,挡板离 S 的距离为 xA,出现挡板完全遮住光束的时刻为:

t? ?

x A ? L' x A Rl v2 ? ? 1? 2 v v rv c

(7)

例题 2: (20 分)内半径为 R 的直立圆柱器皿内盛水银,绕圆柱轴线匀速旋转(水银 不溢,皿底不露) ,稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵坐 标轴 z 与圆柱器皿的轴线重合,横坐标轴 r 与 z 轴垂直,则液面的方程为 z ?

?2
2g

r 2 ,式

中 ω 为旋转角速度,g 为重力加速度(当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天 文望远镜) 。 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位置不变,然后使容器停转,待液 面静止后,发现与稳定旋转时相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置 至稳定旋转水银面最低点的距离。 解析:旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦,此抛物凹面镜的焦距为:

f ?

g 2? 2

(1)

由(1)错误!未找到引用源。式,旋转抛物面方程可表示为:

2

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r2 z? (2) 4f
停转后液面水平静止,由液体不可压缩性,知液面上升,以下求抛物液面最低点上升 的高度.
2 抛物液面最低点以上的水银, 在半径 R 、 R 4 f 的圆柱形中占据体积为 M 的部分, 高

即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转 体; 其余体积为 V 的部分无水银. M 在高度 z 体 处的水平截面为圆环,利用抛物面方程,得 z 处 圆环面积:

S M ? z ? ? π ? R 2 ? r 2 ? ? π ? R 2 ? 4 fz ? (3)
将体 V 倒置,得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体 ? ,相应抛物面方程 变为:

z?

R2 ? r 2 (4) 4f

其高度 z 处的水平截面为圆面,面积为:

S? ? z ? ? πr 2 ? π ? R 2 ? 4 fz ? ? S M ? z ? (5)
由此可知:

M ? ? ?V ?

1 2 R2 πR (6) 2 4f

即停转后抛物液面最低点上升:

h?

M R2 ? (7) πR 2 8 f

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜, 抛物镜的焦点就是球面镜的焦 点,故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜 反射而成,而先后看到的像的大小、正倒无变化,这就要求两像对眼睛所张的视角相 同. 设眼长为 y0 ,凹面镜成像时,物距 u 即所求距离,像距 v 与像长 y 分别为:

v?

fu (8) u- f
3

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y??

v f y0 ? y 0 (9) u f ?u

平面镜成像时,由于抛物液面最低点上升,物距为:

u? ? u ? h ? u ?

R2 (10) 8f

像距 v ? 与像长 y? 分别为:

v? ? -u? (11) v? y ? ? ? y 0 ? y 0 (12) u?
两像视角相同要求:

y y? (13) ? u ? v u? - v ?
即:

1 1 (14) ? 2 2u ? u f 2u ? R 2 4 f
此处利用了(8)—(12)诸式. 由(14)式可解得所求距离:

u?

R (15) 2

评分标准:本题 20 分. (1)式 1 分,(7)式 4 分,(8)、(9)式各 2 分,(10) 、(11)、 (12)式各 1 分,(13)式 6 分, (15)式 2 分. 二、透镜成像规律的应用 1.透镜成像作图 (1)三条特殊光线 ①通过光心的光线,方向不变; ②平行主轴的光线,折射后过焦点; ③通过焦点的光线,折射后平行主轴。 (2)一般光线作图:对于任一光线 SA,过光心 O 作轴 OO? 平行于 SA, OO? 与焦平 面 MM ? 交于 P 点,连接 AP 或 AP 的反向延长线即为 SA 的折射光线。 (3)*像与物的概念:发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物” 。一个 物点上发出的光束, 经一系列光学系统作用后, 若成为会聚光束, 则会聚点为物的实像点; 若成为发散光束,则其反向延长线交点为物的虚像点;若为平行光束则不成像。 2.薄透镜成像公式 4

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薄透镜成像公式是:

式中 f、u、v 的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令 x ? u ? f , x? ? v ? f ,则 有:

1 1 1 ? ? u ? f

xx ? ? f

2

该式称为“牛顿公式” ,式中 x 是物到“物方焦点”的距离, x? 是像到“像方焦点” 的距离。从物点到焦点,若顺着光路则 x 取正,反之取负值;从像点到焦点,若逆着光路 则 x? 取正值,反之取负值,该式可直接运用成像作图来推导,请读者自行推导,从而弄清 x , x? 的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。 例题 3:一个光源以 v=0.2m/s 的速度沿着焦距 f=20cm 的凸透镜向光心运动,当它经 过距光心 u1 ? 30cm 和 u2 ? 15cm 的两点时,求像所在的位置及速度。 解析:

x1 ? u1 ? f ? 10cm , x2 ? u 2 ? f ? ?5cm
代入牛顿公式,得

? ? ? x1 ? 40cm , x? ? ?80cm , ?1 ? x1 ? f ? 60cm , ? 2 ? x2 ? f ? ?60cm , 2
上述 x1 , x2 , x1? , x2? 的意义,如图 1-5-2 所示。 设在△ t 时间内,点光源的位移为△ x,像点 的位移为 ?x? ,得

x1 ? 0 x2 ? 0

? S2 S1
F1 S 2 O

F2

S1?
? x1 ? 0

当△ t→0 时△ x→0,略去△ x 的二阶小量, 得

f2 f 2 ( x ? ?x) x ? ? ?x ? ? ? 2 x ? ?x x ? ?x 2

? x2 ? 0

图 1-5-2 f 2 f 2 ?x f 2 ?x ? 2 ? x? ? 2 x x x 2 f ? ?x x ? ?x ? ? ? ? ?x x x2 ?x? x? ?x x? ?? ? ? ? ? ?? ?t x ?t x ? , x2? 的值代入,求得 v1? ? 0.8m / s , v2? ? 3.2m / s 。 将 x1 , x2 , x1

x ? ? ?x ? ?

像移动方向与物移动方向相反。 *“实正、虚负”法则:凸透镜焦距取正值,凹透镜焦距取负值;实像像距取正值, 虚像像距取负值。实物物距取正值,虚物物距取负值。 *实物与虚物:发散的入射光束的顶点(不问是否有实际光束通过此顶点)是实物; 会聚的入射光束的顶点(永远没有实际光束通过该顶点)是虚物。

5

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例题 4:如图 1-4-10 所示,一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为 r ,透镜的折 射率为 n,考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处,可使反射像与物位于 同一竖直平面内(不考虑多重反射) 。 物 解析: 从物点发出的光经透镜前表面(即左表面)反射后形成 虚像,不合题意,无须考虑。 从物点发出的光经透镜前表面折射后,再经透镜后表面反射折 像 回,又经前表面折射共三次成像,最后是实像,符合题意。 利用球面折射成像公式和球面反射成像公式,结合物与像共面 图 1-4-10 的要求。就可求解。 球面反射的成像公式为:

1 1 1 ? ? ,其中反射面的焦距为 u v f

f ?

R (R 为球面半径) ,对凹面镜,f 取正值,对凸面镜,f 取负值。 2
球面折射的成像公式为:

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) u v R
当入射光从顶点射向球心时,R 取正值,当入射光从球心射向顶点时,R 取负值。 如图 1-4-11 甲所示,当物点 Q 发出的光经透镜 1 n 前表面折射后成像于 Q ? ,设物距为 u,像距为 v , 根据球面折射成像公式:

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) u v R 这里空气的折射率 n1 ? 1 ,透镜介质的折射率 n2 ? n ,入射光从顶点射向球心,R=r 取正值,得
1 n n ?1 ? ? u v r

Q

Q?

u

v

图 1-4-11 甲

(1) 这是第一次成像。 对凸透镜的后表面来说,物点 Q 经透镜前表面折射所成的像点 Q ? 是它的物点,其物 距 u1 ? ? v(是虚物) 经透镜后表面反射后成像于 Q1? , , 像距为 ?v1(如图 1-4-11 乙所示) , 由球面反射成像公式,得

1 1 1 2 ? ? ? u1 v1 f2 r
将前面数据代入,得 (2) 这是第二次成像。

n 1
Q1? u1 Q1 (Q ?)

1 1 2 ? ? ? v v1 r

u1 ? ?v1
图 1-4-11 乙

由透镜后表面反射成的像点 Q1? 又作为透镜前表面折射成像的物点 Q2 ,其物距 6

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u2 ? ? v1(是虚物) 再经过透镜前表面折射成像于 Q2? , , 像距为 v2 , (见图 1-4-11 丙所示) ,
再由球面折射成像公式,得

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) u v R 这时入射光一侧折射率 n ,折射光一侧折射率 1(是空
气) ,入射光由球心射向顶点,故 R 值取负值。所以上式可 表示为:

1 n
? Q2 (Q1? ) Q2

P2?

n 1 1 ? ? (1 ? n) u 2 v2 ?r
代入前面得到的关系,得

? P2 ? P1?
图 1-4-11 丙

n 1 n ?1 ? ? ? u1 v 2 r

(3)

这是第三次成像。 由(1)(2)两式可解得: 、 (4) 再把(4)式和(3)式相加,得

1 n 3n ? 1 ? ? u v1 r

1 1 2(2n ? 1) ? ? u v2 r

(5)

为使物点 Q 与像点 Q2? 在同一竖直平面内,这就要求:

u 2 ? ?v1
代入(5)是可解得物距为:

u?

r 2n ? 1

说明:由本题可见,观察反射像,调整物距,使反射像与物同在同一竖直平面内,测 出物距 P,根据上式就可利用已知的透镜折射率 n 求出透镜球面的半径 r,或反过来由已 知的球面半径 r 求出透镜的折射率 n。 例题 5: (23 分)有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直 长圆筒内。筒内有:三个焦距分别为 f 1 、 f 2 和 f 3 的透镜 L1 , L2 , L3 , f1 ? f 2 ? f 3 ;观 察屏 P,它是一块带有刻度的玻璃片;由三块形状相同的等腰棱镜构成的 分光元件(如图 1 所示) ,棱镜分别用折射率不同的玻璃制成,两侧棱镜的质料相同,中 间棱镜则与它们不同,棱镜底面与圆筒轴 平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭 缝,它与圆筒轴的交点为 S,缝平行于棱 镜的底面.当有狭缝的一端对准筒外的光 源时,位于圆筒另一端的人眼可观察到屏 上的光谱。 7

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已知:当光源是钠光源时,它的黄色谱线(波长为 589.3 nm,称为 D 线)位于圆筒 轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃,一种为冕牌玻璃,它对钠 D 线的折射率 n D = 1.5170;另一种为火石玻璃,它对钠 D 线的折射率 n ? =1.7200。 D 1.试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。 2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角 ? 的数值。 解析: 1. 圆筒内光学元件的相对位置如图 1 所示.各元件的作用如下:

圆筒轴

S

狭缝

L1
图1

L2

P

L3

狭缝 S:光源的光由此进入分光镜,观察到的谱线就是狭缝的像. 透镜 L1:与狭缝的距离为 f1,使由狭缝射来的光束经 L1 后成为与圆筒轴平行的平行光 束. 分光棱镜:使由 L1 射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射 的平行光束. 透镜 L2:使各种单色平行光束经 L2 成像在它的焦平面上,形成狭缝的像(即光谱线) . 观察屏 P:位于 L2 焦平面上,光源的谱线即在此屏上. 透镜 L3:与 P 的距离 ? f3,是人眼观察光谱线所用的放大镜(目镜) . 2.已知钠黄光的谱线位于 P 的中央,S 的像位于 L2 的焦点上,由此可知,对分光 棱镜系统来说,钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行,由于棱镜系统是左右对称,因 此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的,在中间棱镜中的光路应该与轴平行,分光元 件中的光路图如图 2 所示,左半部的光路如图 3.用 i1、r1、i2、r2 分别表示两次折射时的 入射角和折射角,用 n1、n2 分别表示两块棱镜对 D 线的折射率,由图 3 可以看出,在两 棱镜界面上发生折射时, i2 ? r2 ,表明 n2 ? n1 ,即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃 8

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制成,两侧棱镜用冕牌玻璃制成,故有 n1 ? n D =1.5170, n 2 ? n ? =1.7200. D

i1

?
r1 i2

n2 r2

n1
图2 图3

? 2

由几何关系可得

i1 ? r2 ?

?
2

(1) (2) (3)

r1 ? i2 ? ?
由折射定律可得

s i n1 ? n1 s i n i r1

n1 s i ni2 ? n2 s i n2(4) r
从以上各式中消去 i1 、 i2 、 r1 和 r2 得

1 ?? ?? ? ?? ? ? 2n1 1 ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2? ? ? ?1 ? 2sin 2 ? ? n2 n1 2? ?2? ?2? ?
解(5)式得

(5)

4n 2 ? ?n ? 1? 2?? ? s i n? ? ? 1 2 2 4 n1 ? n 2 ?2?

2

?

?

(6)

以 n1 ? 1.5170 , n2 ? 1.7200 代入,得
? ? ?1 2 3 . 6

(7)

3.组合透镜成像 如果由焦距分别为 f1 和 f 2 的 A、 两片薄透镜构成一 B 个透镜组 (共主轴) 将一个点光源 S 放在主轴上距透镜为 , u 处, 在透镜另一侧距透镜 v 处成一像 S ?(图 1-5-4) 所示。 对这一成像结果,可以从以下两个不同的角度来考虑。 因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍 可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是 f,则应有: 9

A B
S

S?

u 图 1-5-4

v

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① 另一个考虑角度可认为 S ? 是 S 经 A、 两个透镜依次成像的结果。 S 经 A 后成像 S1 , B 如 设 S1 位于 A 右侧距 A 为 v1 处,根据透镜成像公式,得 ② 因为 S1 位于透镜 B 右侧 v1 处,对 B 为一虚物,物距为 v1 ,再经 B 成像 S 2 ,所以:

1 1 1 ? ? u ? f

1 1 1 ? ? u ?1 f1 1 1 1 ? ? u ?1 f1



由②、③,得 ④ 比较①、④两式,可知

1 1 1 ? ? ? ?1 ? f2

1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2
如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f1 或 f 2 代入即可。 例题 6:(20 分)目前,大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地 排列在一条直线上的长条状, 通常称为激光二极管条. 但这样的半导体激光器发出的是很 多束发散光束,光能分布很不集中,不利于传输和应用.为了解决这个问题,需要根据具 体应用的要求,对光束进行必需的变换(或称整形) .如果能把一个半导体激光二极管条 发出的光变换成一束很细的平行光束, 对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的.为 此,有人提出了先把多束发散光会聚到一点,再变换为平行光的方案,其基本原理可通过 如下所述的简化了的情况来说明. 们的连线的同一方向发出半顶角为? =arctan ?1 4 ? 的圆锥形光束.请使用三个完全相同的、 焦距为 f = 1.50h、半径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜,经加工、组装成一个三者在同一平面 内的组合透镜,使三束光都能全部投射到这个组合透镜上, 且经透镜折射后的光线能全部 z 会聚于 z 轴(以 S2 为起点,垂直 于三个点光源连线,与光束中心 h S1 如图,S1、S2、S3 是等距离(h)地排列在一直线上的三个点光源,各自向垂直于它

?? ?? ??
L P

S2 线方向相同的射线)上距离 S2 为 h S3 L = 12.0 h 处的 P 点.加工时可对 ( 透镜进行外形的改变,但不能改

变透镜焦距. ) 1.求出组合透镜中每个透镜光心的位置. 2.说明对三个透镜应如何加工和组装,并求出有关数据. 解析: 10

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1.考虑到使 3 个点光源的 3 束光分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求,组合透 镜所在的平面应垂直于 z 轴,三个光心 O1、O2、O3 的连线平行于 3 个光源的连线,O2 位 ? ? ? 于 z 轴上,如图 1 所示.图中 MM ? 表示组合透镜的平面, S1 、 S 2 、 S 3 为三个光束中心 光线与该平面的交点. S 2 O2 = u 就是物距. 根据透镜成像公式,得

1 1 1 ? ? u L?u f
解得:

(1)

1 u ? [ L ? L2 ? 4 fL ] 2 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点, 来自各光源的光线在投射到透镜之前 不能交叉,必须有 2utan? ≤h 即 u≤2h.在上式中取“-”号,代入 f 和 L 的值,解得
u ? (6 ? 3 2 )h ≈1.757h (2)
此解满足上面的条件. 分别作 3 个点光源与 P 点的连线.为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点,3 个透镜的 光心 O1、O2、O3 应分别位于这 3 条连线上(如图 1) . 由几何关系知,得

L?u 1 1 h?( ? 2 )h ? 0.854h L 2 4 ? ? 即光心 O1 的位置应在 S 1 之下与 S 1 的距离为: ? S1O1 ? h ? O1O2 ? 0.146h (4) ? ? 同理,O3 的位置应在 S 3 之上与 S 3 的距离为 0.146h 处. 由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于 0.854h,才能使 S1、S2、 S3 都能成像于 P 点. 2.现在讨论如何把三个透镜 L1、L2、 L3 加工组装成组合透镜. K 因为三个透镜的半径 r = 0.75h,将它 C1 们的光心分别放置到 O1、 2、 3 处时,由于 O O 圆1 S1’ O1O2 =O2 O3 =0.854h<2r,透镜必然发生 0.146h O1 相互重叠,必须对透镜进行加工,各切去 0.439h Q W2 Q’ x2 T 一部分,然后再将它们粘起来,才能满足 h T’ N 0.854h N’ (3)式的要求.由于对称关系,我们只需讨 x1 0.439h W1 论上半部分的情况. O2 (S2’) 图 2 画出了 L1、 2 放在 MM ? 平面内时 L 圆2 相互交叠的情况(纸面为 MM ? 平面) .图 C2’ ? ? 中 C1、C2 表示 L1、L2 的边缘, S 1 、 S 2 为 光束中心光线与透镜的交点,W1、W2 分别 O1O2 ? O2 O3 ?
图2

(3)

11

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为 C1、C2 与 O1O2 的交点.

? ? S 1 为圆心的圆 1 和以 S 2 (与 O2 重合)为圆心的圆 2 分别是光源 S1 和 S2 投射到 L1
和 L2 时产生的光斑的边缘,其半径均为: ? ? u tan ? ? 0.439h (5) 根据题意,圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜.首先,圆 1 的 K 点(见图 2) 是否落在 L1 上? 由几何关系,得

? O1 K ? ? ? O1 S1 ? ?0.439 ? 0.146?h ? 0.585h ? r ? 0.75h (6)
故从 S1 发出的光束能全部进入 L1.为了保证全部光束能进入透镜组合,对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2 内的透镜部分. 下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法. 在 O1 和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 QQ ? 和 NN ? . 若沿位 于 QQ ? 和 NN ? 之间且与它们平行的任意直线 TT ? 对透镜 L1 和 L2 进行切割, 去掉两透镜的 弓形部分,然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部.同理,对 L2 的下 半部和 L3 进行切割,然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来,就得到符合需要的整个组合透 镜.这个组合透镜可以将 S1、S2、S3 发出的全部光线都会聚到 P 点. 现在计算 QQ ? 和 NN ? 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件.设透镜 L1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1,透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2,如 图 2 所示,则对任意一条切割线 TT ? , x1、x2 之和为:

d ? x1 ? x 2 ? 2r ? O1O2 ? 0.646h
x2 达最小值(x2m)。 ? x1M ? r ? S1O1 ? ? ? 代入 r,??和 S 1O1 的值,得

(7)

由于 TT ? 必须在 QQ ? 和 NN ? 之间,从图 2 可看出,沿 QQ ? 切割时,x1 达最大值(x1M),

x1M ? 0.4 5 7 (8) h 代入(7)式,得 x2m ? d ? x1M ? 0.189h (9) 由图 2 可看出,沿 NN ? 切割时,x2 达最大值(x2M),x1 达最小值(x1m)。 x2M ? r ? ? 代入 r 和??的值,得 x2 M ? 0.3 1 h (10) 1 x1m ? d ? x2 M ? 0.335h (11) 由对称性,对 L3 的加工与对 L1 相同,对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同. 评分标准: 本题 20 分.第 1 问 10 分,其中(2)式 5 分, (3)式 5 分,第 2 问 10 分,其中(5) 式 3 分,(6)式 3 分,(7)式 2 分,(8)式、(9)式共 1 分,(10)式、(11)式共 1 分. 12

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如果学生解答中没有(7)—(11)式,但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分 全部保留,透镜其它部分可根据需要磨去(或切割掉) ”给 3 分,再说明将加工后的透镜 组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h,再给 1 分,即给(7)—(11)式的全分(4 分)

三、光的干涉、光的衍射
例题 7: (25 分)图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图,取纸面为 yz 平面。y、z 轴的方向如图所示。线光源 S 通过 z 轴,双缝 S1、S2 对称分布在 z 轴两侧,它们以及屏 P 都垂直于纸面。双缝间的距离为 d,光源 S 到双缝的距离为 l,双缝到屏的距离为 D, d ?? D , d ?? l 。 1.从 z 轴上的线光源 S 出发经 S1、S2 不同路径到 P0 点的光程差为零,相干的结果产 生一亮纹,称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响, 我们先研究位于轴外的线光源 S′形成的另一套干涉条纹,S′位于垂直于 z 轴的方向上 且与 S 平行,两者相距 ? s ,则由线光源 S′出发分别经 S1、S2 产生的零级亮纹 P0 , P0

?

?

__________ __________ _____ 与 P0 的距离 ? y ? __________

图1 2.当光源宽度为 ? 的扩展光源时,可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、 非相干的线光源组成。这样,各线光源对应的干涉条纹将彼此错开,在屏上看到的将是这 些干涉条纹的光强相加的结果,干涉条纹图像将趋于模糊,条纹的清晰度下降。假设扩展 光源各处发出的光强相同、波长皆为 ? 。当 ? 增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨, 则此时光源的宽度 ? ? __________ __________ __________ 3.在天文观测中,可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发 出的光到达地球处都可视为平行光, 从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角 ? 就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小,为测量如些微小的角直径,迈克尔逊设计 了测量干涉仪,其装置简化为图 2 所示。M1、M2、M3、M4 是四个平面反射镜,它们两 两平行,对称放置,与入射光(a、 a′)方向成 45°角。S1 和 S2 是一对小孔,它们之 13

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间的距离是 d。 和 M2 可以同步对称调节来改变其中心间的距离 h。 M1 双孔屏到观察屏之 间的距离是 D。a、 a′和 b、 b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。 设光线 a、 a′垂直双孔屏和像屏,星光的波长是 ? ,试导出星体上角直径 ? 的计算式。 注: 将星体作圆形扩展光源处理时,研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的 影响会遇到数学困难,为简化讨论,本题拟将扩展光源作宽度为 ? 的矩形光源处理。

图2 解析: 1.求 S? 经双缝产生的干涉图像的零级亮纹 P0? 的位置

? 设 P0? 点的坐标为 y0 ,它也就是光源 S? 与 S 分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距
离,即

? ? P0?P0 ? ? y ? y0 ? 0 ? y0
由双缝到 P0? 点的光程差 ?1 ? S2 P0? ? S1P0? , S1 作 S 2 P0? 的垂线交于 H 点, 从 三角形 OP0 P0? y

P0?

?2

G S ?s S? l d

S1 O S2 H ?1 D 14

? y0
z

P0

图1

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与三角形 S1 HS2 相似,因 D ?? d , 则 d d ? (附 1) ?1 ? y0 ? ? y D D 从 S 2 作 S?S1 的垂线交于 G, S? 到双缝的光程差

? 2 ? S?S2 ? S?S1

(附 2)

三角形 SOS? 与三角形 S1GS2 相似,因 l ? d ,则 ?

d ? 2 ? S?S2 ? S?G ? GS1 ? ?GS1 ? ? ? s l
对满足零光程差条件的 P0? 而言,

?

?

(附 3)

d d? s ?S?S2 ? S2 P0?? ? ?S?S1 ? S1P0?? ? ?1 ? ?2 ? ? y ? ?0 ? ? ? ? D l 得 D (附 4) ? y ? ?? s l
2.在线光源情况下,可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为

?y ?

D ? d

(附 5)

? s 值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源.不难证明,它们经双缝产生干涉条
纹的间距 ?y 均如(5)式所示.宽度为 w 的扩展光源是由一系列 ? s 值不同的、连续分布 的、 相互独立的线光源构成. 因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线 光源产生干涉条纹的强度相加而成.当扩展光源宽度为 w 时,对于光源最边缘点有

?s ? w

(附 6)

代入(4)式

?y?


D l

w

(附 7)

?y ? ? y

(附 8)

则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距. 由于扩展光 源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同, 各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光 强相等,变得一片模糊而无法分辨.由(5)式和(7)式,求得为使条纹能被分辨,扩展 光源允许的最大宽度 l (附 9) w? ? d 15

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3. 解法一: 如图 2 所示, aa? 是由扩展光源上端边缘发出的平行光, bb? 是由扩展光源下端边缘 发出的平行光.设 ab 光线交于 M 1 点, a?b? 光线交于 M 2 点. aa? 光束中的光线 a 经过

M1 M 3 S1 P 到达观察屏上 P 点;光
线 a ? 经过 M 2 M 4 S2 P 到达观察屏 上 P 点,两相干光波产生干涉, 在观察屏上产生一套干涉条 纹.同理,平行光束 bb? 在观察屏 上产生另一套干涉条纹.从扩展 光源不同部位发出的、倾角在 0 和 ? 之间不同角度入射的平行光 束,经迈克尔逊测星仪相应的反 射镜走过不同路径到双孔,然后 在观察屏上产生很多套干涉条

a b

?

M1 H 双孔屏 S1

观察屏


M3
h

y

P

M4

d S2

P0

a? b?

?

M2

图2

纹.这些干涉条纹光强度彼此相加,屏幕上就形成了光强度的分布图像.根据第 2 问的结 果,其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光 aa? 与 bb? 分别在屏幕上产生两 套干涉条纹的相对位置错开的程度. 由对称性考虑,平行光束 aa? 中两条光线 a 和 a ? 在观察屏上 P0 的光程差为 0,即平行 光 aa? 产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在 P0 处.现讨论以倾角 ? 斜入射的平行光束 bb? 通过整个光学装置后,在观察屏上某点发生干涉时的光程差.光束 bb? 中的光线 b 入射 M1 的光线经 M3 反射到达 S1 ,光线 b 从 M 1 点算起,所经光程为 M 1 M 3 ? M 3 S 1 ;光线 b? 入射 M2 的光线经 M4 反射到达 S 2 ,光线 b? 从 M 2 点算起,所经光程为 M 2 M 4 ? M 4 S 2 . 由对称性,得

M1M 3 ? M 3 S 1 ? M 2 M 4 ? M 4 S2

(1)

也就是说从 M1 和 M2 算起, 光线 b 和 b? 到达 S1 与 S 2 的光程是相等的, 但是光线 b 和 b? 在到达 M1 和 M2 时,二者的相位却不同.由 M 2 作斜入射光线 bM 1 的垂线交 H 点, M 2 与 因此, 斜入射的两条平行光线 b 和 b? 到达 S1 和 S2 时的相位差是光程差 HM 1 H 相位相等, 引起的光程差:

? ?1 ? ? M 2 M 4 S2 ? ? ? HM1M 3 S1 ? ? ? HM1 ? ?h?

(2)

从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪, 经双孔后发出的相干光在观 察屏上坐标为 y(坐标原点取在 P0 上)的 P 点上引起的光程差: 16

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? ? ? ?1 ? ?1 ? ?h? ?

d y D

(3)

其零级亮纹所在位置 P0? 对应的光程差 ? ? 0 ,故 P0? 的坐标:

? y0 ? h? ?

D d

(4)

这也就是平行光 aa? 与 bb? 产生的干涉条纹的零级亮纹(也是两套条纹)错开的距离:

? y ? h? ?

D d

(5)

因在线光源情况下,可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为:

?y ?

D ? d

(6)

当二者错开一个条纹间隔时,即 ?y ? ? y ,代入(6)式(星光波长采用 ? ) ,得

??

?
h

(7)

远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔,在屏上观察到干涉条纹 的清晰度下降,由小到大调节 M1、M2 距离 h,当屏幕上条纹消失时,记下此时 h 的值代 入(7)式就可确定扩展光源角直径 ? 的大小. 注: 实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源, 通过调节 h 使屏幕上的干涉条纹消失, 即 各 处 强 度 完全 相 等 时, 通 过 数 学 计算 , 用 迈克 尔 逊 测 星 仪测 量 得 的星 体 角 直 径

? ? ? 1.22 .
h
解法二: 如图 3 所示,对 M1、M3 而言,找出 S1 对 M 3 的中间像 S1?? 和对 M 1 所成的像 S1? 以及光 线 a 在 M1、M3 的反射点 F 和 G.由物像的对称性可知 GS1 ? GS1?? , FS1? ? FS1?? ,故

FS1? ? FG ? GS1
即从光线 a 上一点到 S1? 和到 S1 的光程相等.同理可证,从光线 b 上一点到 S1? 和到 S1

? 的光程相等;对 M2、M4(未画出)而言,从光线 a ? 上一点到 S 2 和到 S 2 的光程相等;从 ? 光线 b? 上一点到 S 2 和到 S 2 的光程相等.

17

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因此, 光线 a 到

S1 处 与 光
线 a? 到 S 2 处引起的 光程差 ?la 与没有反 射镜 M1、 M2 时两光 线 到 S1? 、

a b

?

F

M1

? b
S1?

?lb

H

S1?

?
h

M3 G

S1

S1??
图3 图4

? S2 处 的 光
程相等.因 a、 a ? 垂直双孔屏,故

b?

?

? S2

?la ? 0 ? ?la ? 0

(1) (2)

通过双孔 S1 、 S 2 后,光线 a、 a ? 在 P0 的光程差:

? 平行光束 b b? 斜入射时, 可从 S1? 、S 2 处求 b、b? 两光线到达 S1 、S 2 处的光程差 ?lb . 由 ? ? S 2 作 bS1? 的垂线 S 2 H (见图 4) 。
?lb ? HS1? ? h sin ? ? h?
说明光线 b? 超前于光线 b. 通 过 双 孔 b (3)

P0?

S1 、 S 2
后 光 线 b、 b? 射 出 的 相 干 光 线 在 屏 幕 上 形 成 d

S1

? y0

?
? S 2 ?lb

?

b?

a

a?

P0

图5

的零级亮纹不可能位于 P0 处,因为二者到达双孔前光线 b? 已超前了光线 b,如图 5 所示, 光线 b? 经过 S 2 孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差,以达到与光线 b 在没有光程差 的情况下相交于远方屏幕上,形成干涉零级亮纹.该点所对应的 b? 经过 S 2 孔后多走的光 18

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程:

? ?lb ? S2 P0? ? S1 P0? ? d sin ? ? d?

(4)

? 从 ?lb ? ?lb 可求得平行光束 bb? 经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置 P0? .由(3)
式和(4)式,得

?? ?
P0? 的位置坐标:

h d

(5)

? y0 ? D tan ? ? D?

(6)

? 由小到大调节反射镜 M1、M2 之间的距离(也就是 S1? 、 S 2 之间的距离)h,直到屏幕
上的干涉条纹消失,即各处强度完全相等时,记下此时 h 的值.这时相干光 bb? 在屏幕上 零级亮纹位置 P0? 与 P0 的距离:

? P0 P0? ? y0 ? 0 ? ? y ? D?

(7)

当 P0 P0? 等于条纹间隔 ?y ,即

P0 P0? ?

D ? d

(8)

代入(7)式得

??

?
d

(9)

由(5)(9)两式,得 、

??

?
h

(10)

解法三: 根据第 2 问的结果,为使条纹能被分辨,扩展光源的允许宽度为 w ? 光源对双缝中心的张角为:

l ? ,从而扩展 d

?? ?

w ? ? (1) l d
'

如图 3 所示,对 M1、M3 而言,找出 S1 对 M 3 的中间像 S1?? 和对 M 1 所成的像 S 1 以及光 线 a 在 M1、M3 的反射点 F 和 G.由物像的对称性可知 GS1 ? GS1?? , FS1? ? FS1?? ,故

FS1? ? FG ? GS1
即从光线 a 上一点到 S1? 和到 S1 的光程相等.同理可证,从光线 b 上一点到 S1? 和到 S1

? 的光程相等;对 M2、M4(未画出)而言,从光线 a ? 上一点到 S 2 和到 S 2 的光程相等;从
19

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? 光线 b? 上一点到 S 2 和到 S 2 的光程相等. 从分析可知,S1? 为 S1 经 M3、 1 反射的等效像点, M ? ? S 2 为 S 2 经 M4、M2 反射的等效像点,从而可将测星干涉看作是经双孔 S1? 、 S 2 的等效杨氏
双缝干涉,其缝距为:

? S1?S 2 ? h

(2)

? 由小到大调节反射镜 M1、M2 之间的距离(也就是 S1? 、 S 2 之间的距离)h,直到屏幕
上的干涉条纹消失,即各处强度完全相等,这时只需将测得的 h 直接替换(1)式中的 d, 可得计算星体角直径的公式:

??

?
h

(3)

得到与前两种解法相同的结果.

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