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2017届河北省唐山市高三年级数学摸底考试(文)试题


文科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知向量 a ? ?1, t ? , b ? ? ?2,1? ,若 a / / b ,则 t ? ( A.-2 B. ? )

1 2

C.2

D.

r />
1 2


2.已知集合 ?1,2? ? A ? ?1,2,3,4,5? ,则满足条件的集合 A 的个数是( A.8 B.7 C.4 D.3

3.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 21, a2 ? a4 ? a6 ? 42 ,则 S9 ? ( A.255 B.256 C.511 D.512



4.设函数 y ? f ? x ? , x ? R , “ y ? f x? 的( )

? 是偶函数”是“ y ? f ? x? 的图象关于原点对称”

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 要得到函数 f ? x ? ? sin 2x, x ? R 的图像,只需将函数 g ? x ? ? cos 2x, x ? R 的图像 ( )

? 个单位 2 ? C.向左平移 个单位 4
A.向左平移

? 个单位 2 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移 )

?x ? y ? 3 ? 0 ? 6.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? x ? y ?1 ? 0 ?
A.3 B.0 C.-3 D.-5

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点, P 在双曲线上,且满足 ?F1PF2 ? 900 ,则 7.已知 F1 , F2 是双曲线 4

?F1PF2 的面积为(



A.1

B.

5 2

C.2

D. 5 )

8.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 1, b ? 2 ,则输出的 x ? (

A.1.25

B.1.375
x

C.1.40625

D. 1.4375 )

?1? 9.设 x0 是方程 ? ? ? x 的解,则 x0 所在的范围是( ? 3?
A. ? 0, ?

? ?

1? 3?

B. ?

?2 ? ,1? ?3 ?

C. ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ? ,

?1 1? ? ?3 2?


10.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为(

A.

8 3

B.3

C. 6 ? 2 2

D. 6 ? 2 2 ? 6

11.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? AB ? 4, E, F , H 分别是棱 PB, BC , PD 的中点,则过 E , F, H 的平面分别交直线

PA,CD 于 M , N 两点,则 PM ? CN ? (
A.6 B.4 C.3 D.2



12.设函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? ax ? 5 ? a , 若存在唯一的正整数 x0 , 使得 f ? x0 ? ? 0 , 则a的 取值范围是( A. ? 0, ? ) B. ? , ? 3 4

? ?

1? 3?

? 1 5? ? ?

C. ? , ? 3 2

? 1 3? ? ?

D. ?

? 5 3? , ? 4 2? ?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
0 0 0 ? 13.已知向量 a ? cos15 ,sin15 , b ? cos 75 ,sin 75 ,则 a ? 2b ? ___________.

?

?

?

?

? 3 1 ? 14.在 ? 2 x ? ? 的展开式中,各二项式系数的和为 128,则常数项是__________. x? ?
2 15.已知抛物线 x2 ? 4 y 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? r ? r ? 0 ? 有公共点 P ,若抛物线在 P 2 2

n

点处的切线与圆 C 也相切,则 r ? _________. 16.一艘海监船在某海域实施巡航监视,由 A 岛向正北方向行驶 80 海里至 M 处,然后沿东 偏南 30°方向行驶 50 海里至 N 处,再沿南偏东 30°方向行驶 30 3 海里至 B 岛,则 A, B 两岛之间距离是 _________海里.

三、解答题 :本大题共 6 小题,共 70 分.其中(17)--(21)题必考题, (22) , (23) , (24)题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S10 ? 110, S15 ? 240 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ?

an?1 an ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an?1

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD, BC ? PB, ?BCD 为等边三角形,

PA ? BD ? 3, AB ? AD , E 为 PC 的中点.

(1)求 AB ; (2)求平面 BDE 与平面 ABP 所成二面角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 甲将要参加某决赛,赛前 A, B, C , D 四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已 知 A, B 选择甲的概率均为 m , C , D 选择甲的概率均为 n ? m ? n? ,且四人同时选择甲的概

9 1 ,四人均未选择甲的概率为 . 100 25 (1)求 m, n 的值;
率为 (2)设四位同学中选择甲的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 12 分) 如图, 过椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点 P 向 x 轴作垂线, 垂足为左焦点 F ,A, B 分 a 2 b2

别为 E 的右顶点,上顶点,且 AB / /OP, AF ? 2 ? 1 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过原点 O 做斜率为 k ? k ? 0? 的直线,交 E 于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积 S 的最 大值. 21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ?2. x

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 y ? f ? x ? 的两个零点为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,证明: x1 ? x2 ? 2a .

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 与 ?ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, O 为线段 AB 上一点, BD 平分

?ABC ,且 OD / / BC .

(1)证明: A, B, C , D 四点共圆,且 O 为圆心; (2) AC 与 BD 相交于点 F ,若 BC ? 2CF ? 6, AF ? 5 ,求 C , D 之间的距离. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程是 ? ? 2 .矩 形 ABCD 内接于曲线 C1 , A, B 两点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

??

? 5? ? ? 和 ? 2, ? .将曲线 C1 上所 6? ? 6 ?

有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线 C2 . (1)写出 C , D 的直角坐标及曲线 C2 的参数方程; (2)设 M 为 C2 上任意一点,求 MA ? MB ? MC ? MD 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? mx ?1 . (1)若 m ? 1 ,求 f ? x ? 的最小值,并指出此时 x 的取值范围; (2)若 f ? x ? ? 2 x ,求 m 的取值范围.
2 2 2 2

唐山市 2016—2017 学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷: BDCBA B 卷: BACBD 二、填空题: (13)2 2 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设公差为 d,依题意有 10?9 ? ?10a + 2 d=110, ? 15?14 15 a + d=240. ? ? 2
1 1

CACDB CADDA

CB CB

3 (14) 5

(15) 2

(16)7

解得,a1=d=2. 所以,an=2n. 2n+2 n+1 2n n 1 1 (Ⅱ)bn= 2n + -2= n + -2= n - , 2n+2 n+1 n+1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn=1- 2 + 2 - 3 + 3 - 4 +?+ n - = . n+1 n+1 (18)解: ?12 分 ?6 分

∵PA⊥底面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又∵BC⊥PB,PB∩PA=P, ∴BC⊥平面 PAB,又 AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB. ∵△BCD 为等边三角形,AB=AD, ∴∠ACB=30°,又 Rt△ACB 中,AC=4. ∴AB=ACsin 30°=2.

?6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,PB=PD=BD=BC=CD=2 3, ∴S△PBD=S△BCD. 设点 E 到平面 PBD 的距离为 h, ∵E 为 PC 中点, ∴点 C 到平面 PBD 的距离为 2h. 1 1 由 VC-PBD=VP-BCD 得 3 S△PBD·2h= 3 S△BCD·PA, 解得 h= 2. ?12 分

(19)解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,数学成绩在[70,90),[90,110),[110,130), [130,150]内的频率分别为 0.1,0.4,0.3,0.2. ∴成绩在[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]内的人数之比为 1∶4∶3∶2, ∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为 10 的样本,成绩在[70,90),[90,110), [110,130),[130,150]内所抽取的人数分别为 1,4,3,2. ?5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从[110,130),[130,150]两组抽取人数分别为 3 人和 2 人, 记从[110,130)中抽取的 3 人分别为 A1,A2,A3,从[130,150]中抽取的 2 人分别为 B1, B2.从这 5 个人中任取 2 人,有 {A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共计 10 种等可能的结果, 其中恰有 1 人成绩在[110,130)包含{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},共计 6 种等可能的结果, 6 3 ∴抽取的 2 人中恰有 1 人成绩在[110,130)的概率 P=10= 5 .

?12 分 (20)解: b2 b2 b (Ⅰ)由题意可得 P(-c, a ),所以 kOP=-ac,kAB=- a . b2 b 由 AB∥OP,所以-ac=- a ,解得 b=c,a= 2c, 由|AF|=a+c= 2+1 得 b=c=1,a= 2, x2 故椭圆 E 的方程为 2 +y2=1. ?4 分

(Ⅱ)依题意可设直线 CD:y=x+m(- 2<m<1) ,C(x1,y1),D(x2,y2). 将直线 CD 的方程代入椭圆 E 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 2m2-2 4m x1+x2=- 3 ,x1x2= 3 , 4 |CD|= 2|x1-x2|= 3 3-m2.
2 2

?7 分

A( 2,0)到直线 CD 的距离 d1= 2 | 2+m|=1+ 2 m; B(0,1)到直线 CD 的距离 d2= 2 |m-1|= 2 - 2 m. 1 2 2 所以四边形 ACBD 面积 S= 2 ·|CD|·(d1+d2)= 3 1+ 2 · 3-m2,
2 2 2

(

)

2 3+ 6 所以当 m=0 时,S 取得最大值 . 3 (21)解: 1 1 x-1 (Ⅰ)f ?(x)= x -x2= x2 , (x>0) 所以 f (x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故 f (x)的最小值为 f (1)=1. (Ⅱ)若方程 f (x)=a 有两个根 x1,x2(0<x1<x2) , x2-x1 1 1 x2 则 ln x1+ x =ln x2+ x ,即 x x =ln x >0.
1 2 1 2 1

?12 分

?4 分

x2-x1 x2 要证 x1+x2>2,需证(x1+x2)· x x >2ln x , 1 2 1 x2 x1 x2 即证x -x >2ln x , 1 2 1 x2 x2 x1 x2 1 设x =t(t>1) ,则x -x >2ln x 等价于 t- t >2ln t. 1 1 2 1 1 1 2 12 令 g (t)=t- t -2ln t,则 g?(t)=1+t2 - t = 1- t >0,

(

)

所以 g (t)在(1,+∞)上单调递增,g (t)>g (1)=0,

1 即 t- t >2ln t,故 x1+x2>2. (22)解: (Ⅰ)因为△ABC 与△ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, 所以 A,B,C,D 四点都在以 AB 为直径的圆上. 因为 BD 平分∠ABC,且 OD∥BC, 所以∠OBD=∠CBD=∠ODB,OB=OD. 又∠OAD+∠OBD=90°,∠ODA+∠ODB=90°, 所以∠OAD=∠ODA,OA=OD. 所以 OA=OB,O 是 AB 的中点,O 为圆心. (Ⅱ)由 BC=2CF=6,得 BF=3 5, AD BC 由 Rt△ADF∽Rt△BCF 得 DF = CF =2. 设 AD=2DF=2x,则 AF= 5x, BD BC 由 BD 平分∠ABC 得DA=CF =2, 3 5+x 所以 2x =2,解得 x= 5,即 AD=2 5. 连 CD,由(Ⅰ) ,CD=AD=2 5. (23)解: (Ⅰ)由 A( 3,1)、B(- 3,1)得 C(- 3,-1)、D( 3,-1);
?x=2cos θ, 曲线 C2 的参数方程为? (θ 为参数) . ?y=sin θ

?12 分

?5 分

?10 分

?5 分

(Ⅱ)设 M(2cos θ, sin θ),则 |MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2 =(2cos θ- 3)2+(sin θ-1)2+(2cos θ+ 3)2+(sin θ-1)2 +(2cos θ+ 3)2+(sin θ+1)2+(2cos θ- 3)2+(sin θ+1)2 =16cos2θ+4sin2θ+16=12cos2θ+20, 则所求的取值范围是[20,32]. (24)解: (Ⅰ)f (x)=|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2, 当且仅当(x+1)(x-1)≤0 时取等号. 故 f (x)的最小值为 2,此时 x 的取值范围是[-1,1]. ?5 分 ?10 分

(Ⅱ)x≤0 时,f (x)≥2x 显然成立,所以此时 m∈R; x>0 时,由 f (x)=x+1+|mx-1|≥2x 得|mx-1|≥x-1. 1 由 y=|mx-1|及 y=x-1 的图象可得|m|≥1 且 m ≤1, 解得 m≥1,或 m≤-1. 综上所述,m 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). ?10 分


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