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【天津市2013届高三数学总复习之综合专题:立体几何(文)(教师版) ]


立体几何(文) 考查内容:本小题主要考查线与面、面与面的位置关系,空间角的计算等基础知 识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 1、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD,
PD ? DC , E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F 。

(Ⅰ)证明 PB ? 平面

EFD ; (Ⅱ)求二面角 C ? PB ? D 的大小。 . 3

?

2、如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等 边三角形,棱 EF // BC , EF ?
1 BC 。 2

(Ⅰ)证明 FO // 平面 CDE ; (Ⅱ)设 BC ? 3CD ,证明 EO ? 平面 CDF 。

3、如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? 9 , BC ? 12 , AB ? 15 , AA 1 ? 12 , 点 D 是 AB 的中点。 (Ⅰ)求证: AC ? B1C ; (Ⅱ)求证: AC1 // 平面 CDB1 ; (Ⅲ)求直线 AC1 与直线 B1C 所成角的余弦值。
2 2 5

4、如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 ?A1 AB ? ?A1 AC, AB ? AC, A1 A ? A1 B ? a , 侧面 B 1 BCC 1 与底面 ABC 所成的二面角为 120? , E , F 分别是棱 B1C1、A1 A 的中点。 (Ⅰ)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角; (Ⅱ)证明: A1E // 平面B1FC ; (Ⅲ)求经过 A1 , A, B, C 四点的球的体积。 V ?
4 4 3 3 ?R 3 ? ?a 3 27

? 3

5、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,AD ? CD , DB 平分 ?ADC ,

E 为的 PC 中点, AD ? CD ? 1, DB ? 2 2 。
(Ⅰ)证明: PA // 平面 BDE ; 、w、w、k、s、5、u、c、o、m (Ⅱ)证明: AC

? 平面 PBD ;
1 3

(Ⅲ)求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正切值。

6、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD, AB ? AD, AC ? CD, ?ABC ? 60?,
PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点。

(Ⅰ)证明: CD ? AE ; (Ⅱ)证明: PD ? 平面 ABE ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正切值。 7

7 、如图,在五面体 ABCDE 中,四边形 ADEF 是正方形, FA ? 平面ABCD ,

BC / / AD , CD ? 1 , AD ? 2 2 , ?BAD ? ?CDA ? 45? 。

(Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成的角的余弦值; (Ⅱ)证明: CD ? 平面ABF ; (Ⅲ)求二面角 B ? EF ? A 的正切值。

2 2 3

1 4

8、如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知底面 ABCD 为平行四边形,
?ADC ? 45?,AD ? AC ? 1 ,O 为 AC 的中点,PO ? 面ABCD, PO ? 2 ,M 为 PD 中

点。 (Ⅰ)证明 PB // 面ACM ; (Ⅱ)证明 AD ? 面PAC ; (Ⅲ)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值。
4 5 5

9、如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点, 且 BF ? 平面ACE , AC
BD ? G 。

(Ⅰ)求证: AE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AE // 平面 BFD ; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BGF 的体积。
D C

G A E

F B

解析: (Ⅰ)证明:

AD ? 平面 ABE , AD / / BC 。

∴ BC ? 平面 ABE ,则 AE ? BC 。又 ∴ AE ? 平面 BCE 。

BF ? 平面 ACE ,则 AE ? BF 。

(Ⅱ)证明:依题意可知: G 是 AC 中点。

BF ? 平面 ACE ,则 CE ? BF ,而

BC ? BE 。∴ F 是 AC 中点。在 ?AEC 中, FG / / AE ,∴ AE // 平面 BFD 。
D C

G A E

F B

(Ⅲ)解法 1:

AE // 平面 BFD ,∴ AE / / FG ,而 AE ? 平面 BCE 。

∴ FG ? 平面 BCE ,∴ FG ? 平面 BCF 。
FG / / AE 且 FG ?

G 是 AC 中点,∴ F 是 CE 中点。∴

1 AE ? 1 。 2

BF ? 平面 ACE ,∴ BF ? CE 。

1 1 ∴ Rt ?BCE 中, BF ? CF ? CE ? 2 。∴ S?CFB ? ? 2 ? 2 ? 1 。 2 2

1 1 ∴ VC ? BFG ? VG ? BCF ? ? S?CFB ? FG ? 。 3 3 1 1 1 1 1 1 解法 2: VC ? BFG ? VC ? ABE ? ?VA? BCE ? ? ? ? BC ? BE ? AE ? 。 4 4 4 3 2 3


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