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2013年高考文科数学四川卷试题与答案word解析版


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的.
1.(2013 四川,文 1)设集合 A={1,2,3},集合 B={-2,2}.则 A∩B=( A. ? B.{2} C.{-2,2} D.{-2,1,2,3} 2.(2013 四川,文 2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( ). A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台 ).

3.(2013 四川,文 3)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是( A.A B.B C.C D.D 4.(2013 四川,文 4)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:? x ∈A,2x∈B,则( ). ? ? A. p: x∈A,2x∈B B. ? p: ? x ? A,2x∈B C. ? p: ? x∈A,2x ? B D. ? p: ? x ? A,2x ? B A. 2 3 5.(2013 四川,文 5)抛物线 y =8x 的焦点到直线 x- 3 y=0 的距离是(
2

).

).

B.2

C. 3

D.1

6.(2013 四川,文 6)函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) ? ? ? 0, ? 值分别是( ).

? ?

π π? ? ? ? ? 的部分图象如图所示,则 ω ,φ 的 2 2?

π ? A.2, 3 π ? B.2, 6 π ? C.4, 6 π D.4, 3
7.(2013 四川,文 7)某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如 图所示, 以组距为 5 将数据分组成[0,5), [5,10), …, [30,35), [35,40]时, 所作的频率分布直方图是( ).

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? x ? y ? 8, ? 2 y ? x ? 4, ? 8.(2013 四川,文 8)若变量 x,y 满足约束条件 ? 且 z=5y-x 的最大值为 a,最小值为 b,则 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
a-b 的值是(
A.48 ). B.30 C.24
2 2

D.16

9.(2013 四川,文 9)从椭圆

x y ? 2 ? 1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆 2 a b
).

与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB∥OP(O 是坐标原点), 则该椭圆的离心率是(

2 A. 4

1 B. 2

2 C. 2
x

3 D. 2

10. (2013 四川, 文 10)设函数 f(x)= e ? x ? a (a∈R, e 为自然对数的底数), 若存在 b∈[0,1]使 f(f(b)) =b 成立,则 a 的取值范围是( ). A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1]

第二部分(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2013 四川,文 11) lg 5 ? lg 20 的值是__________. 12.(2013 四川,文 12)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB + AD =λ AO .则 λ =__________.

??? ?

????

????

a (x>0, a>0)在 x=3 时取得最小值, 则 a=__________. x ?π ? 14.(2013 四川,文 14)设 sin 2α =-sin α ,α ∈ ? , π ? ,则 tan 2α 的值是__________. ?2 ?
13. (2013 四川, 文 13)已知函数 f(x)=4x+ 15.(2013 四川,文 15)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和 最小的点的坐标是__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(2013 四川,文 16)(本小题满分 12 分)在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项, 求数列{an}的首项、公比及前 n 项和.

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17. (2013 四川, 文 17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 cos(A-B)cos

B-sin(A-B)sin(A+C)= ? .
(1)求 sin A 的值; (2)若 a ? 4 2 ,b=5,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

3 5

??? ?

??? ?

18.(2013 四川,文 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,…, 24 这 24 个整数中等可能随机产生. (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3). (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 当 n=2 100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分 数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

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19.(2013 四川,文 19)(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC =2AA1=2,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 上异于端点的点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥 A1-QC1D 的体积.(锥体体积公式:V= 积,h 为高)

1 Sh,其中 S 为底面面 3

20.(2013 四川,文 20)(本小题满分 13 分)已知圆 C 的方程为 x +(y-4) =4,点 O 是坐标原点,直线 l: y=kx 与圆 C 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; (2)设 Q(m,n)是线段 MN 上的点,且

2

2

2 1 1 ,请将 n 表示为 m 的函数. ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

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21.(2013 四川,文 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0, ?lnx, x ? 0,

其中 a 是实数,设 A(x1,

f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且 x1<x2. (1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2-x1≥1; (3)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的.
1. 答案:B 解析:{1,2,3}∩{-2,2}={2}. 2. 答案:D 解析:从俯视图可看出该几何体上下底面为半径不等的圆,正视图与侧视图为等腰梯形,故此几何体为圆 台. 3. 答案:B 解析:设 z=a+bi,则共轭复数为 z =a-bi, ∴表示 z 与 z 的两点关于 x 轴对称. 故选 B. 4. 答案:C 解析:原命题的否定是 ? x∈A,2x ? B. 5. 答案:D 解析:y =8x 的焦点为 F(2,0),它到直线 x- 3 y=0 的距离 d=
2

2 =1.故选 D. 1? 3

6. 答案:A 解析:由图象知函数周期 T=2 ? ∴ω =

? 11π 5π ? ? ? =π , ? 12 12 ?

2π ? 5π ? ? 5π ? ? 5π ? =2,把 ? , 2 ? 代入解析式,得 2 ? 2sin ? 2 ? ? ? ? ,即 sin ? ? ? ? ? 1 . π ? 12 ? ? 12 ? ? 6 ? 5π π π ∴ +φ = +2kπ (k∈Z),φ = ? +2kπ (k∈Z). 6 2 3 π π π 又 ? ? ? ? ,∴φ = ? . 2 2 3
故选 A. 7. 答案:A 解析:由分组可知 C,D 一定不对;由茎叶图可知[0,5)有 1 人,[5,10)有 1 人, ∴第一、二小组频率相同,频率分布直方图中矩形的高应相同,可排除 B.故选 A. 8. 答案:C 解析:画出可行域,如图. 联立 ?

? x ? 4, ? x ? y ? 8, 解得 ? ? y ? 4. ?2 y ? x ? 4,

即 A 点坐标为(4,4), 由线性规划可知,zmax=5×4-4=16,zmin=0-8=-8,即 a=16, b=-8, ∴a-b=24.故选 C. 9.
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答案:C

? b2 ? 解析:由题意知 A(a,0),B(0,b),P ? ?c, ? , a ? ?
∵AB∥OP,

b2 b ? ? .∴b=c. ac a c2 1 2 2 2 2 ∵a =b +c ,∴ e ? 2 ? . a 2 2 ∴e ? .故选 C. 2
∴? 10. 答案:A 解析:当 a=0 时,f(x)= e ? x 为增函数,
x

∴b∈[0,1]时,f(b)∈[1, e ? 1 ]. ∴f(f(b))≥ e ? 1 >1. ∴不存在 b∈[0,1]使 f(f(b))=b 成立,故 D 错; 当 a=e+1 时,f(x)= e ? x ? e ? 1 ,当 b∈[0,1]时,只有 b=1 时,f(x)才有意义,而 f(1)=0, ∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故 B,C 错.故选 A. 第二部分(非选择题 共 100 分) 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确 认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.答案:1
x

解析: lg 5 ? lg 20 ? lg( 5 ? 20) ? lg 100 ? 1 . 12. 答案:2

解析:由平行四边形法则知 AB + AD = AC =2 AO , ∴λ =2. 13.答案:36 解析:由基本不等式可得 4x+

??? ?

????

????

????

a a a a ≥ 2 4 x ? = 4 a ,当且仅当 4x= 即 x ? 时等号成立, x 2 x x

a ? 3 ,a=36. 2 14.答案: 3


?π ? ,π? , ?2 ? 1 ∴2sin α cos α =-sin α ,cos α = ? . 2 ?π ? ∵α ∈ ? , π ? , ?2 ? 2π 4π ∴? ? , 2? ? . 3 3
解析:∵sin 2α =-sin α ,α ∈ ?
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∴tan 2α = tan

4π = 3. 3

15.答案:(2,4) 解析:由题意可知,若 P 为平面直角坐标系内任意一点,则 |PA|+|PC|≥|AC|,等号成立的条件是点 P 在线段 AC 上; |PB|+|PD|≥|BD|,等号成立的条件是点 P 在线段 BD 上, 所以到 A,B,C,D 四点的距离之和最小的点为 AC 与 BD 的交点. 直线 AC 方程为 2x-y=0,直线 BD 方程为 x+y-6=0, ∴?

? 2 x ? y ? 0, ? x ? 2, 解得 ? ? x ? y ? 6 ? 0, ? y ? 4.

即所求点的坐标为(2,4). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解:设该数列的公比为 q,由已知,可得 a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 2 所以,a1(q-1)=2,q -4q+3=0,解得 q=3 或 q=1. 由于 a1(q-1)=2,因此 q=1 不合题意,应舍去. 故公比 q=3,首项 a1=1. 所以,数列的前 n 项和 Sn= 17. 解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)= ?

3n ? 1 . 2

3 ,得 5

3 . 5 3 3 则 cos(A-B+B)= ? ,即 cos A= ? . 5 5 4 又 0<A<π ,则 sin A= . 5 a b (2)由正弦定理,有 , ? sinA sinB bsinA 2 ? 所以,sin B= . a 2 π 由题知 a>b,则 A>B,故 B ? . 4
cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B= ? 根据余弦定理,有

? 3? (4 2)2 =52+c2-2×5c× ? ? ? , ? 5?
解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cos B=

??? ?

??? ?

??? ?

2 . 2

18. 解:(1)变量 x 是在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出 y 的值为 1,故 P1= 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P2=

1 ; 2

1 ; 3

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当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3= 所以,输出 y 的值为 1 的概率为

1 . 6

1 1 1 ,输出 y 的值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的概率为 . 2 3 6

(2)当 n=2 100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 为 1 的频率 为 2 的频率 为 3 的频率 甲 乙

1027 2100 1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. 19. 解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC, 因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点, 所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过 D 作 DE⊥AC 于 E, 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 DE⊥AA1. 又因为 AC,AA1 在平面 AA1C1C 内,且 AC 与 AA1 相交, 所以 DE⊥平面 AA1C1C. 由 AB=AC=2,∠BAC=120°,有 AD=1,∠DAC=60°, 所以在△ACD 中,DE= 又 S ?A1QC1 =

3 3 AD= . 2 2

1 A1C1·AA1=1, 2 1 3 3 1 ?1 ? 所以 VA1 ?QC1D = VD ? A1QC1 = DE· S ?A1QC1 = ? . 3 2 6 3 3 因此三棱锥 A1-QC1D 的体积是 . 6
20. 2 2 解:(1)将 y=kx 代入 x +(y-4) =4 中,得 2 2 (1+k )x -8kx+12=0.(*) 2 2 2 由 Δ =(-8k) -4(1+k )×12>0,得 k >3. 所以,k 的取值范围是(-∞, ? 3 )∪( 3 ,+∞). (2)因为 M,N 在直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2), 2 2 2 2 2 2 则|OM| =(1+k )x1 ,|ON| =(1+k )x2 , 2 2 2 2 2 又|OQ| =m +n =(1+k )m . 由

2 1 1 ? ? ,得 2 2 | OQ | | OM | | ON |2 2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 ?1 ? k ?m ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x2 2
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? x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 x2 2 1 1 ? ? ? . m 2 x12 x2 2 x12 x2 2 8k 12 由(*)式可知,x1+x2= ,x1x2= , 2 1? k 1? k 2 36 所以 m2 ? 2 . 5k ? 3
即 因为点 Q 在直线 y=kx 上,

n 36 2 2 ,代入 m2 ? 2 中并化简,得 5n -3m =36. m 5k ? 3 36 2 2 由 m2 ? 2 及 k >3,可知 0<m <3,即 m∈( ? 3 ,0)∪(0, 3 ). 5k ? 3
所以 k ? 根据题意,点 Q 在圆 C 内,则 n>0, 所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 ? . 5 5

于是,n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 (m∈( ? 3 ,0)∪(0, 3 )). 5

21. 解:(1)函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞). (2)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f′(x1),点 B 处的切线斜率为 f′(x2), 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有 f′(x1)f′(x2)=-1. 当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得 f′(x)=2x+2. 因为 x1<x2<0,所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1. 所以 2x1+2<0,2x2+2>0.

1 [-(2x1+2)+2x2+2] 2 ≥ [?? 2 x1 ? 2?]? 2 x2 ? 2? =1.
因此 x2-x1= (当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即 x1 ? ?

3 1 且 x2 ? ? 时等号成立) 2 2

所以,函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时,有 x2-x1≥1. (3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时,f′(x1)≠f′(x2),故 x1<0<x2. 2 当 x1<0 时,函数 f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y-(x1 +2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即 y 2 =(2x1+2)x-x1 +a. 当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 y-ln x2= -1. 两切线重合的充要条件是

1 1 (x-x2),即 y= ·x+ln x2 x2 x2

?1 ? ? 2 x1 ? 2, ① ? x2 ?lnx ? 1 ? ? x 2 ? a.② ? 2 1
由①及 x1<0<x2 知,0<

1 <2. x2
2 2

? 1 ? ? 1 1? 1 ? 1? -1= ?ln ? ? ? 2 ? ? 1 . 由①②得,a=ln x2+ ? x2 4 ? x2 ? 2 x2 ? ? 1 1 2 令t ? ,则 0<t<2,且 a= t -t-ln t, x2 4
2013 四川文科数学 第 10 页

1 2 t -t-ln t(0<t<2), 4 1 1 ? t ? 1?2 ? 3 则 h′(t)= t-1- = <0. 2t 2 t
设 h(t)= 所以 h(t)(0<t<2)为减函数, 则 h(t)>h(2)=-ln 2-1, 所以 a>-ln 2-1. 而当 t∈(0,2)且 t 趋近于 0 时,h(t)无限增大. 所以 a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞). 故当函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).

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