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福建省宁化五中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题含答案


宁化五中 2014-2015 学年上学期半期考考试试题

高二数学
(满分150分,时间120分钟) 第一卷(满分60分) 一、选择题: (本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的) 1、已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则?U(M∪N)=

( ) A.{5,7} B.{2,4} C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7} …………………………………………………………………密……………………………………封………………………………………线………………………………………………………… 2、要从已经编号(1—50)的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射试验, 用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的5枚导弹的编号可能是( ) A.5 ,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,8,16,32 3、命题“若 a>b,则 a-1>b-1”的否命题是( ) A.若 a>b,则 a-1≤b-1 B.若 a≥b,则 a-1<b-1 C. 若 a<b,则 a-1<b-1 D.若 a≤b,则 a-1≤b-1 4、已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、曲线 x
2

姓名

座号

25

y +

2

9

=1 与曲线

25 ? k

x

2



y

2

9?k

=1(k<9 )的(



A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 6、下列命题中,真命题是 ( ) A.?x∈R,使得 sinx+cosx=2 B.?x∈(0,π ),有 sinx>cosx 2 C.?x∈R,使得 x +x=-2 D.?x∈(0,+∞),有 ex>1+x 7、如图,表示甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图,则甲和乙得分的中位数的 和是( ) A.56分 B.57分 C.58分 D.59分 甲 乙 4 0 8 4 4 1 2 5 8 5 4 2 3 6 5 9 5 6 6 2 1 3 2 3 4 9 5 4 1 8、从分别写有A,B,C,D,E的五张卡片中任取两张,这两张的字母顺序恰好相邻的概率是( )

班级

2 1 3 B. C. 5 5 10 2 2 9、 c ? 0 是方程 ax ? y ? c 表示椭圆或双曲线的(
A.

D. )

7 10

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 10、问题:①某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭 95户,为了了解社会购买力的某项指标,要从中抽出一个容量为100户的样本;②从10名学生 中抽出3人参加座谈会。 方法:Ⅰ简单随机抽样法; Ⅱ系统抽样法 Ⅲ分层抽样法 问题与方法配对正确的是( ) A. ①Ⅲ ②Ⅰ B. ①Ⅰ ②Ⅱ C. ①Ⅱ ②Ⅲ D. ①Ⅲ ②Ⅱ 11、某程序如图 1 所示,则该程序运行后输出的 n 的值是( )
-1-

学校

A.7

B.8

C.9

D.10

12、半径为 R 的⊙O 中内接一个正方形,现在向圆内任掷一个小豆,则小豆落在正方形内的概 率是( ) A .

2

?

B .

? 2

C .

2

?

D. 1-

2

?

第二卷(满分90分) 二、填空题(每小题4分,共16分) 13、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得的数据画出了样本的 频率分布直方图(如下图) ,为了分析居民的深入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽 频率分布直方图 出 人

0.0006 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0
1000 4000
2

频率/组距

1500

2000

2500

3000
月收入(元)

3500

14、双曲线 4 x - y +64=0 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1,则点 P 到另一个焦点 的距离等于 . 15、从区间[0,10]中任取一个整数 a,则 a ? [3,6]的概率是 从区间[0,10]中任取一个实数 a,则 a ? [3,6]的概率是

2

y 16、已知椭圆 x +
2

2

5

m

=1 的离心率 e=

10 ,则 m 的值为 5

三、解答题(17-21 每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分)
-2-

17、( 12 分)判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2-x+1>2. (2)?α ,β 使 cos(α -β )=cosα -cosβ . (3)?x,y∈N,都有 x-y∈N. (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3. 18、(12 分)设集合 A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且 A∩B={9},求实数 a 的值. 19、 (12分)甲乙两人玩一种游戏,每次由甲乙各出1-5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算 乙赢。 (1)若以A 表示和为6的事件,求P(A) ; (2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B和C是 否为互斥事件?为什么? 20、 (12 分)已知双曲线与椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程. 3 49 24

21、 (12分)评委会把同学们上交的作品的件数按5天一组分组统计,绘制了频率分布直方 图, 如图所示,已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1,第三组的频数为 12 ,请解答下 列问题: (1)本次活动共有多少件作品参加评比? (2)那组上交的作品量最多?有多少件? (3)经过评比,第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖,问这两组哪组的获奖率高?
频率分布直方图

频率/组距

日期

0

1

6

11

16

21

26

31

22、(14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 ? : 点 ? 2, 0 ? ,焦距为 2 3 . (Ⅰ )求椭圆 ? 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 过 a 2 b2

(Ⅱ )设斜率为 k 的直线 l 过点 C ? ?1,0? 且交椭圆 ? 于 A , B 两点,试探 究椭圆 ? 上是否存在点 P ,使得四边形 OAPB 为平行四边形?若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,请说明理由.

宁化五中 2014-2015 学年上期高二期中考试数学试卷答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 2 3 4 5 题号 1 选项 C B D C D

6 D
-3-

7 B

8 A

9 B

10 A

11 C

12 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、 25 14、 17 15、 4/11, 3/10 16 、 25/3 或 3 三、解答题(17-21 每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分) 1 3 3 1



17、解:(1)真命题,∵x2-x+1=(x-2)2+4≥4>2……………………………………3 分
π π (2)真命题,如α = 4 ,β = 2 ,符合题意………………………………………………..6 分 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4?N…………………………………………..9 分 (4)真命题,例如 x0=0,y0=3 符合题意………………………………………………….12 分

18、解:因为 A∩B={9},所以 9∈A……………………………………………………..1 分
若 2a-1=9,则 a=5, 此时 A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={-4,9},与已知矛盾(舍去)……………..4 分 若 a2=9,则 a=±3…………………………………………………………………………..5 分 当 a=3 时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},与集合中元素的互异性矛盾(舍去);…..8 分 当 a=-3 时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意………………………………11 分 综上所述,a=-3……………………………………………………………………………..12 分 19、解: (1)基本事件与点集 S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤,1≤y≤}中的元素一一对应。 因为 S 中点的总数为 25 个,所以基本事件总数为 25。事件 A 包含的基本事件共 5 个: (1,5) , (2,4) , (3,3),(4,2),(5,1),所以 P(A)=

5 1 = ???????????????8 分 25 5

(2)B 与 C 不是互斥事件。因为事件 B 与 C 可以同时发生,如“甲赢一次,乙赢两次”的 事件即符合题意??????????????????????????????12 分

20、解:由椭圆

x2 y2 ? ? 1 ? c ? 5 .…………………………………………………….3 分 49 24

x2 y2 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ……………………………………………………………5 分 a b
2 4 ?b ? ?a ? 9 则 ?a ? ? 3 ? ? 2 ? ?b ? 16 ?a 2 ? b 2 ? 25 ? ?

…………………………………………………………..10 分

-4-

2 2 故所求双曲线方程为 x ? y ? 1 ……………………………………………………….12 分 9 16

21、解: (1)由题意知:第三组的频率为

4 1 ? ,又因为第三组频数为 12, 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 5

所以本活动的参赛作品数为

12 ? 60 (件)?????????????????4 分 1 5

(2)根据频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数最多,共有

6 ? 18 (件)??????????????????????8 分 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 10 5 1 ? ,第六组上交的作品数为 60ⅹ ? 3 (件). (3)第四组的获奖率为 18 9 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 2 6 第六组的获奖率为 ? ,显然第六组的获奖率较高??????????????12 分 3 9
60ⅹ 22、解: (Ⅰ )由已知得 a ? 2 , c ? 3 ,…………………………………………………2 分

因为 a ? b ? c
2 2

2

,所以 b ? a ? c ? 1 , ……………………………………………… 3 分
2 2 2

所以椭圆 ? 的方程为

x2 ? y 2 ? 1;………………………………………………………4 分 4

(Ⅱ )依题意得:直线 y ? k ? x ? 1? ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

假设椭圆 ? 上存在点 P ? x0 , y0 ? 使得四边形 OAPB 为平行四边形, 则 ?

? x1 ? x2 ? x0 , . ? y1 ? y2 ? y0 ,
…………………6 分

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 4k ? x ? 8k x ? 4 ? k ? 1? ? 0 , 2 ? ? y ? 1, ?4

? ?8k 2 ? ?8k 2 2k 所以 x1 ? x2 ? , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? k ? .…8 分 ? 2? ? 2 2 2 1 ? 4k ? 1 ? 4k ? 1 ? 4k
? ?8k 2 x ? , ? ? ?8k 2 2k ? ? 0 1 ? 4k 2 于是 ? 即点 P 的坐标为 ? . , 2 2 ? 2 k 1 ? 4 k 1 ? 4 k ? ? ?y ? , 0 ? 1 ? 4k 2 ?

…………………………10 分

-5-

? ?8k 2 ? 2 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 2k ? ? 又点 P 在椭圆上,所以 ?? ? 1 ,整理得 4k 2 ? 1 ? 0 ,此方程无解. 2 ? 4 ? 1 ? 4k ?
…………………………………………………11 分 故椭圆 ? 上不存在点 P ,使四边形 OAPB 为平行四边形. ……………………………12 分

2

-6-


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