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文科数学材料


(文科)数学

(一)集合与常用逻辑用语
1. 集合运算是考查的重点,常与不等式求解相结合. 例如:设全集 U ? R, A ? {x | ( ) A. {x | x ? 0} C. {x | ?3 ? x ? 0} B. {x | ?3 ? x ? ?1} D. {x | x ? ?1}

x ? 0}, B ? ?x | x

? ?1? ,则图中阴影部分表示的集合为 x?3

2.点集的考查常与解几联系,重点考其几何特征. 例如:已知集合 A ? {( x, y) | x, y 为实数,且 x2 ? y 2 ? 1} ,

B ? {( x, y) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1} ,则 A ? B 的元素个数为(
A.3 B.2 C.1 D.0



3.函数的定义域、值域也常与集合运算结合在一起考查. 例如:已知集合 A ? { x ? R | y ? ( ) A. ? B.{x | x ? ?3或x ? 1} C. {x | x ? ?3或x ? 0} D.{x | x ? 1}
2 x ? 2 x ? 3}, B ? { y | y ? e x , x ? R} 则 A I B =

4.充要条件的判定常与直线中的平行、垂直关系一并考查. 例如: a ? 1 ”是“直线 ax ? (2 ? a) y ? 0 与 x ? ay ? 1 互相垂直”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件 定 5. 充要条件的考查常与取值范围和充分必要条件的另一表述形式联系. 例如: | x ? 1|? 2 ”成立的一个充分不必要条件是( “ A. ?1 ? x ? 3 ” “ C. ?3 ? x ? 1 ” “ B. 0 ? x ? 3 ” “ D. ?2 ? x ? 3 ” “ ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6.全称命题与特称命题的否定是高考常见题型之一.
2 例如:已知命题 p : ?x ? R, x ? x ? a ? 0 ,若 ? p 为真命题,则实数 a 的取值范围

-2-

是(

) A. a ?

1 4

B. a ?

1 4

C. a ?

1 4

D. a ?

1 4

-3-

(二)函
1.掌握指、对数函数的图象及性质.



?1? 例如:设 a ? log 1 2 , b ? log2 3 , c ? ? ? ,则( ?2? 3
A. a ? b ? c B. a ? c ? b

0.3

) D. b ? a ? c

C. b ? c ? a

2.理解函数图象,掌握常见的考查类型(基本初等函数的图象性质、图象变换、图 象的相容性判定、由解析式判定大致图象等) . 例如:函数 y ? x ? cos x 的大致图象是( )

3.关注函数的基本性质及应用(单调性、奇偶性、周期性、对称性等) . 例如:偶函数 f ( x ) 在 ? 0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 A. (

1 3

1 2 , ) 3 3

B. [

1 2 , ) 3 3

C. (

1 2 , ) 2 3

D. [

1 2 , ) 2 3

4.重视分段函数的考查,掌握常见的各种类型,掌握简单的指、对数不等式的解法.

?2e x ?1 , x ? 2 ? 例如:设 f ( x) ? ? ,则不等式 f ? x ? ? f ?1? 的解集为( 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2 ?
A. (1, 2) U (3, ??) B. ( 10, ??) C. (1, 2) U ( 10, ??)



D. (1, 2)

5.理解函数的零点、方程的解、函数图象的交点之间的关系,掌握它们之间的相互 转化. 例如:若 x0 是方程 ? 2 A.( ,1) 3

?1? 3 ? ? x 的解,则 x0 属于区间( ?2?
1

x

) 1 D.(0, ) 3

1 2 B.( , ) 2 3

1 1 C.( , ) 3 2

-4-

6.理解几种函数的关系与性质,关注常见易错点. 例如:有以下五个结论: ①函数 y ? 2x 的反函数是 y ? log 2 x ; ②定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1, 2? ,则函数 y ? f ? 2x ? 1? 的值域也是

?1, 2? ;
③若幂函数 f ? x ? 的图象经过点 ( , ) ,则 f ( x ) 在 ? 0,??? 单调递增; ④若函数 f ( x) ? ax 2 ? 2x ? 1 在 (1, ??) 单调递增,则实数 a ? (0, ??) ; ⑤函数 y ?

1 1 4 2

1 在其定义域上是减函数. x
.

其中正确的序号是

-5-

(三)函数与导数
1.重视导数的几何意义及其应用. 例如:函数 f ( x) ? x3 ? bx ? c 在 x ? 1 处的切线为 4 x ? y ? 1 ? 0, 则 b ? ,

c?

. 2.关注利用导数研究函数的大致图象. 例如:函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 x 的图象大致是( 2
y y



y

y

O

x

O

x
O

x
C

O
D

x

A

B

3.函数求导时对常量与变量的辨识与理解,同时注意三角函数的求导. 例如:已知 f ( x) ? f ?( ) sin x ? (2 ? 2) x ? cos ? ,则 f ?( ) ?

?

?

4

3

.

4.注意“变元”思想的应用,区别“含参不等式恒成立”与“含参不等式有解”的 不同.掌握“多元变量含参不等式恒成立求参数取值范围”问题的求解方法. 例如:已知函数 f ( x) ? x2 ? tx ? 4 . (1)若 ?t ???3,3? , f ( x) ? 0 恒成立,则实数 x 的取值范围是 (2)若 ?t ???3,3? ,使得 f ( x) ? 0 成立,则实数 x 的取值范围是 ; .

5.带对数的函数,用导数的方法解决:切线问题,单调区间问题,极值最值问题, 注意参数的分类讨论及等价转换思想的应用. 例如:已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)若 f ( x ) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值, 并讨论 f ( x ) 的单调性、极值;

-6-

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在直线 y ? m ,使得 f ( x ) 与 g ( x) 的图象分别位 于直线的两侧,若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由. (Ⅲ)已知 f ( x ) 的最小值为 3,求实数 a 的值. 6.几种常见函数的导数,用导数的方法证明不等式,曲线交点个数问题的研究. 例如:定义在 (0, ??) 的三个函数 f ( x), g ( x), h( x) ,已知 f ( x) ? ln x ,

g ( x) ? x2 ? af ( x), h( x) ? x ? a x ,且 g ( x) 在 x ? 1 处取极值.
(I)求 a 值及 h( x) 的单调区间;
2 (II)求证:当 1 ? x ? e 时,恒有 f ( x) ?

2( x ? 1) ; x ?1

(III)把 h( x) 对应的曲线 C1 向上平移 6 个单位后得曲线 C2 ,求 C2 与 g ( x) 对应 曲线 C3 的交点个数,并说明理由.

-7-

(四)数



1.等差等比数列及其求和问题,是数列中最基本的问题,一定要熟练掌握. 例如:若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( A.2 B.4 C.8 )

D.16

例如: 等比数列 ?an ? 中, 1 , a2 , a3 分别是下表第一、 三行中的某一个数, a1 , a2 , a3 二、 且 a 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 则数列 ?an ? 的通项公式 an 例如:若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 3 6 9 . 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

2.已知数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n 求 an 问题.

1 1 c2 ? L ? ( ) n ?1 cn ? n ? 4 ,则 cn = 2 2

3.重构数列问题,以新数列是等差数列或等比数列为条件的类型题为重点,考查等 差数列或等比数列的证明、求通项公式、求和问题. 例如:成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、1 3 后成为 等比数列 ? b n ? 中的 b 3 、 b 4 、 b 5 . (Ⅰ) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (Ⅱ) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S ,求证:数列 ? S n ?

n

? ?

5 4

? ? 是等比数列. ?

4.数列中的归纳类比推理的思想. 例如:若等差数列{ an }的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和为 Sn ,则数列{ 差数列,且通项为

Sn }为等 n

Sn d =a1+( n ? 1 ) .类似地,请完成下列命题:若各项均为正数的等 n 2 比数列{ bn }的首项为 b1,公比为 q,前 n 项的积为 Tn ,则数列______为等比数列且通项
-8-



. 5.数列背景的实际应用题. 例如:某地政府为了发展经济,改善市民居住环境,决定建设新城区,同时对旧城区

进行拆除.已知旧城区的住房总面(m2)积为 64a (m2),每年拆除的数量相同; 新城区计划用十 年建成,第一年建设住房面积 2a (m2),开始几年每年以 100% 的增长率建设新住房,然后 从第五年开始,每年都比上一年减少 2a (m2). (Ⅰ)若 10 年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番,则每年旧城区拆 除的住房面积是多少? (Ⅱ)设第 n (1 ? n ? 10且n ? N)年新城区的住房总面积为 Sn (m2),求 Sn

-9-

(五)不等式
1.对不等式性质的考查主要在于实数大小的比较. 例如:已知 a , b , c , d 为实数,且 c > d , a > b .正确的是( A. ac ? bc B. a
?2



? b ?2

C. a - d > b - c

D. lg a ? lg b

2.解一元二次不等式的考查时常与其它知识(定义域,值域,函数单调性,导数, 图象性质等)交汇. 例如:关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 ?? 1,3? ,则 a =
2



例如:函数 f (x) 定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
A. ?1,1) (

) C. ? ? , ?1) ( D. ? ? ,+ ? ) (

B. ?1,+ ? ) (

3.二元一次不等式组与线性规划问题.
?y ? 0 ? 例如:已知平面直角坐标系 xOy 上的区 域 D 由不等式组 ? y ? x ? 1 给定.若 M(x,y) ?x ? y ? 3 ? uuur uur 为 D 上动点,点 A 的坐标为 ?? 2,?1? ,则 z ? OM ? OA 的最大值为 .
a?b ? ab 重点考查. 2 2 例如:若 x ? 0 ,则 x ? 的最小值为 x

4.对基本不等式

. .

例如:若 a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 ① ab ? 1 ; ② a ? b ? 2 ; ③ a ? b ? 3 ;
2 2 3 3

④ a ? 2b ? 3 ; ⑤ a ?
2

1 ?2 b

- 10 -

(六)三角函数
1.考查三角函数的基本性质(特别是诱导公式,两角和差公式,扇形面积,弧长公 式). 例如:已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,则该扇形的面积为 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.关注三角函数的周期性、单调性,奇偶性、对称性,图像平移伸缩变换等基本性 质. 例如:若函数 f ( x) ? a sin x ? cos x 的图像关于点 (?



?
3

,0) 成中心对称,则 a=(

)

A.

3 3

B.

2 3

C.

1 3

D.

3 2

3.三角函数图像问题,关注五点法做图,根据图像正确求解析式. 例如: 已知函数f(x)= sin(ωx+φ) ? >0, 0 ? ? ? ? ) ( 的图象如图所示, ? = 则 (
y
1



O

3? 8

?

x

?1

A.

3 ? 10

B.

7 ? 10

C.

9 ? 10

D.

11 ? 10

4.以三角函数定义为背景,考查三角函数综合运用,关注不等式与面积结合的最值问 题. 例如:在直角坐标系 xOy 中,若角 ? 的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: y= 2 2 x ( x ≥0). (1)求 sin(2? ?

?
6

) 的值;

(2)若点 P,Q 分别是角 ? 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时, 点 P,Q 的坐标. 5.重视三角函数化简, 特别是平方降次公式,a sin ? ? b cos ? ?
- 11 -

a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ?

,以及三角函数在给定区间的最值问题.关注与平面向量的知识交汇. 例如:设 a ? ( 3sin x,cos x) , b ? (cos x,cos x) ,记 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ)若 x ? [ ? 值. ( Ⅱ ) 在 锐 角 △ ABC 中 , a, b , c 分 别 为 角 A, B , C 所 对 的 边 , 又 a ? 2 ,

r

r

r r

? ?

, ] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? m 的最小值为 2,试求出 g ( x) 的最大 6 3

f (A ?

?
12

)?

1 , 2

5 bc ? ,求△ ABC 的周长. 3
6.关注三角函数的应用问题. 例如:如图,摩天轮的半径为 40 m,摩天轮的 圆心O点距地面的高度为 50 m,摩天轮做匀速转 动,每 3 min 转一圈,摩天轮上的点 P 的起始位置 在最低点处. (1)已知在时刻 t (min) 时点 P 距离地面的高度 f(t)=Asin(ωt+φ)+h, 求 2012 min 时 点 P 距离地面的高度; (2)求证:不论 t 为何值,f(t)+f(t+1)+f(t+2)是定值.

(七)平面上的向量
1.理解平面向量的基本概念,特别是向量夹角,向量投影的概念. 例如:下列命题中正确的命题个数是 ① (a ? b)c ? a(b ? c) ; ②已知向量 a 与向量 b 的夹角为 120 ? , 且︱ a ︱ ? 2 , a 在 b 方向上的投影为 ? 1 ; 则 ( )

r ur r

r r u r

?

?

r

?

?

? ? ? ? 4 ③已知 a ? ( x,2 x), b ? (?3x,2), 如果 a 与 b 的夹角是钝角,则 x 的取值范围是 x ? 或

3

x ? 0;
- 12 -

④已知△ABC 是等腰直角三角形, ?C =90° ,AC=BC=2,则 AB? BC =4. A.3 B.2 C.1 D.0

2.掌握向量的数量积,模的基本运算. 例如:已知向量 a, b满足 | a |? 2,| b |? 3,| 2a ? b |? 37, 则a与b 的夹角为( A.30° B.45° C.60° D.90°

? ?

?

?

? ?

? ?



3.关注平面向量加减法及数乘运算的几何意义应用. 例如:在△ABC 中, BD ?

uuu r

1? 1? b 3 3 1? 1? C. a ? b 2 4
A. a ?

4.掌握平面向量的平行,垂直关系及其应用.

r r uuu uur r uuu r uur r u r 1 uuu uuu DC , AE ? 3ED, 若 AB ? a, AC ? b, 则BE =( 2 1? 1? A B. ? a ? b 2 4 1? 1? E D. ? a ? b 3 3 D B



C

例 如 : 已 知 向 量 OA ? ? 0,1? , OB ? (1,3), OC ? (m, m) , 若 AB // AC , 则 实 数

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

m=

. 5. 掌握平面向量基本定理,重视平面向量的共线问题.

A
例如: ABC 中,AB ? 3, AC ? 2, O 为△ ABC 的外心, △ 点

uuu r uur u uuu r 且 AO ? xAB ? y AC , x ? 2 y ? 1 ,则 cos B ? _________.
6. 向量的坐标运算是高考中的热点内容,要熟练掌握.

D

O

B

C

例如:设 O 是直角坐标原点, OA ? 2i ? 3 j, OB ? 4i ? j ,在 x 轴上求一点 P,则

AP? BP 最小值为(
A.4 B.-4

) C.2 D.-2

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(八)立体几何
1.加强数学符号语言与图形语言的转化,考查线线、线面、面面的位置关系. 例如: a 、b 是两条不同直线, 、? 是两个不同平面, 设 则下列命题错误的是 ? .. ( A. a ? ? ,b // ? , a ? b 若 则 C.若 a ? ? , b ? ? , ? // ? ,则 a // b 2.空间几何体的三视图、直观图. 例如: 一个几何体的三视图如右图所示, 那么此几何体的侧面积 (单位: 2) ( cm 为 A.48 B.64 C.80 D.120 ) )

B. a ? ? ,b // a ,b ? ? ,则 ? ? ? 若 D.若 a // ? , a // ? ,则 ? // ?

3.球与空间几何体的接、切问题. 例如: 四面体 ABCD 中, 共顶点 A 的三条棱两两相互

3 垂直,且其长分别为 1、 6、,若四面体的四个顶点同在一
个球面上,则这个球的表面积为 .

4.直线、平面的位置关系的证明. 例如:四棱锥 A ? BCDE 中,底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 , CD ? 2 ,

AB ? AC , F 为 AB 的中点.
(I)证明: AD // 平面 CEF ; (II)若 AB ? 2 ,求三棱锥 A ? BCE 的体积; (III)证明: AD ? CE . 5.探求性问题:包括点线面的存在性讨论、点线移 动过程中的位置关系变化、 点线的位置任意性的证明等等. 例如:如图,直四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 中,底面

ABCD 是直角梯形,

?BAD ? ?ADC ? 90? , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 .
(I)求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (II)在 A1 B1 上是否存在一点 P ,使得 DP 和 平面 BCB1 、 平面 ACB1 都平行?证明你的结论.
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A1 D1 A C1

B1

B

D

C

6.立体几何与函数、向量、解三角形、几何概型的知识交汇,可渗透至应用题. 例如: 已知, 在水平平面上有一长方体 AC1 绕 BC 旋转 90 得到如图 1 所示的几何体. (Ⅰ)证明:平面 BCD1 A1 ? 平面 BCD2 A2 ; (Ⅱ)当 BC ? 1 时,且长方体 AC1 体积为 4 时, 求四棱锥 A1 ? BCD2 A2 体积的最小值.
A1 D1 B1 F E A2 D A C C2 D2 C1

0

B

B2

- 15 -

(九)直线与圆的方程
1.直线方程的考查:斜率与倾斜角关系,始终是考查的热点. 例如:设 P 点是曲线 f ( x) ? x ? 3x ?
3

2 的任意一点,若 P 点处切线的倾斜角为 ? , 3 2? ,? ) 3

则角 ? 的取值范围是( A. [0,

) B. [0,

?
2

) ?[

2? ,? ) 3

?
2

) ?[

5? ,? ) 6

C. [

D. (

? 5?
2 , 6

)

2.圆的方程及其几何性质的考查,应关注圆的几何性质的考查. 例如:已知圆 C 方程是 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 10 ? 0 ,过点 M (3, 0) 的最短弦所在直线 方程( )

3 0 A. x-y- =

3 0 B. x+y- =

6 0 C. 2x-y- =

6 0 D. 2x+y- =

3.直线与圆的相切的考查,注意用 “几何法”处理,特别要注意斜率不存在的情形. 例如: 已知圆 x ? y ? 4 y ? 0 , 过点 P(2,5) 作圆的切线, 则切线方程为
2 2

.

4.直线与圆相交时,弦长问题的处理,别忘了“垂径分弦”定理. 例如:过点 ? 1, ?2) 的直线 l 被圆 x? ?x 2??截得的弦长为 2 ,则直 ( y 2?y 10
2 2

线 l 的斜率为 5.圆与其他知识的交汇考查.

.

4 2 3 例如: 已知动点 P( x,y ) 在直线 x+ y= 上, 2 + 取最小值时, 当 过点 P( x,y ) 引
x y

圆 C : (x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

1 4

1 的切线,则此切线长等于( 2
C.

)

A.

1 2

B.

3 2

6 2

D.

3 2

6.以圆的知识为背景考查其他圆锥曲线,将圆与圆锥曲线有机地结合考查. 例如:已知平面直角坐标系 xOy 中,圆心为 C(0, m) 直线 2x ? y ? 0 相交所得的弦长为 2 3 . (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ 设圆 C 与 x 轴相交于点 A、B , A、B 恰是椭圆 M : ) 且

(m ? 0) ,半径为 2 的圆 C,与

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

的两个焦点,若点 C 在椭圆 M 的外部,求椭圆 M 的离心率 e 的取值范围.
- 16 -

- 17 -

(十)圆锥曲线的方程
1.圆锥曲线的定义的应用.与焦点相关的问题,可以与曲线的定义联系.
2

例如:设 F1 , F2 分别是椭圆 E: x +

y2 =1(0﹤b﹤1)的左、右焦点,过 F1 的直 b2

线 l 与 E 相交于 A、B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列,则 AB =____________. 2.圆锥曲线的几何性质.曲线的几何性质主要是离心率、双曲线的渐近线、抛物线 的焦点弦,注意范围在不等的应用. 例 如: 若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 F1 F2 被 a2 b2

抛物线 y 2 ? 2bx 的焦点分成 7 :3 的两段,则此双曲线的离心率为__________. 3.圆锥曲线的方程.圆锥曲线的标准方程的求解是本内容的一个重点,常和曲线的 几何性质结合考查. 例如:设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,抛物线上的点 P(k , ?2) 与点 F 的 距离为 4,则抛物线方程为 .

4.直线与圆锥曲线的关系.是常考点,常常以解答题形式出现,考查代数的方法研 究几何问题的思想,韦达定理、“设而不求”是解析几何的常见模式,注意讲究运算的合理 性和计算的简化. 例如:已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点为 F1,F2,离心率为 ,线段 F1 F2 2 a b 2

为直径的圆的面积为? . (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ 设直线 l 过椭圆的右焦点 F2(l 不垂直坐标轴 ) ) ,且与椭圆交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M(m,0) ,试求 m 的取值范围. 5.直线与圆锥曲线的关系要注意规避“韦达定理”模式.

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的 例如:设椭圆 C: 2 ? a 2
- 18 -

一点, AF2 ? F1 F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 (Ⅰ )求椭圆 C 的方程;

uuu uuuu r r

1 OF1 . 3

(Ⅱ Q 是椭圆 C 上的一点, )设 过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (?1,0) , y 轴于点 M, 交 若 | MQ |? 2 | QF | ,求直线 l 的斜率. 6.圆锥曲线的考查应关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇.如上面的例 4 是 与函数、不等式交汇的题目,例 5 是与向量交汇的题目. 例如:如图所示,曲线 ODBC 由抛物线和三角函数曲线组成.它的前一段曲线 OD 是 以 O 为顶点,x 轴为对称轴,开口向右的抛物线的一部分;后一段 DBC 是函数

uuu r

uuu r

y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?
B (5,

?
2

), x ? [4,8] 时 的 图 象 , 图 象 的 最 高 点 为

8 3) ,则函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的解析式是_____,曲线 OD 的方程是______. 3

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(十一)统计与概率
1.随机抽样方法及其应用. 例如:将某市参加高中数学建模竞赛的 1008 份试卷编号为 0000-1007,从中随机抽取 一个容量为 54 的样本.若抽取到的样本编号构成公差为 20 的等差数列,则该抽样运用的 抽样方法是( ) B.系统抽样 C. 分层抽样 D.以上均不对 甲组 9 9 1 1 0 1 乙组 8 8 9 0

A.简单随机抽样

2.利用统计图表进行数据分析. 例如: (1)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同 学的植树棵树.则乙组同学植树棵树的方差 为 . (2)某工厂对一批产 测. 右图是根据抽样检测后 克) 数据绘制的频率分布直 重的范围是[96, 106], 样本 98) ,[98,100),[100,102), 106],已知样本中产品净重 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 . 频率/组距

品进行了抽样检 的产品净重 (单位: 方图,其中产品净 数 据 分 组 为 [96 , 96 98 100 102 104 106 克 [102 , 104),[104 , 小于 100 克的个数 ).

是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( A.90 3.回归分析. B.75 C.60 D.45

例如:为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现 对他前 7 次考试的数学成绩 x 、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106
? ?

已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的, 且线性回归方程为 y ? 0.5 x ? a . 若
- 20 -

该生的物理成绩达到 115 分,则他的数学成绩大约是 4.独立性检验.



例如:为了了解甲乙两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况, 采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105 名学生的数学成绩, 并作出了如下的列联表: 甲校 优秀 非优秀 总计 10 45 55 乙校 20 30 50 总计 附表: 30 75 105 P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828

并计算得:k2=

105(10 30 - 20 ×45)2 × =6.109,参照附表,得到的正确结论是( 55×50 ×30 ×75

)

A.在犯错误的概率不超过 0.25%的前提下,认为两个学校的数学成绩没有差异 B.在犯错误的概率不超过 0.25%的前提下,认为两个学校的数学成绩有差异 C.有 97.5%的把握认为两个学校的数学成绩没有差异 D.有 97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异 5.概率统计交汇考查. 例如:国家统计局发布最新数据显示,2011 年 11 月份全国副省级城市中 CPI(消费 指数)值位于前 15 位的城市具体情况如下表:
城市 济南 广州 哈尔滨 杭州 深圳 长春 大连 宁波 CPI 105.2 104.6 104.3 104.1 104.1 103.9 103.3 102.6 序号 1 3 5 7 9 11 13 15 城市 青岛 西安 厦门 武汉 南京 沈阳 成都 CPI 104.7 104.4 104.2 104.1 103.9 103.6 103.0 序号 2 4 6 8 10 12 14

(Ⅰ )求这 15 个城市 CPI 值的平均值及众数;
- 21 -

(Ⅱ )完成下表: CPI 频数 (Ⅲ 从区间 ?103.0,104.0? 内随机选取 2 城市, ) 求恰有 1 个城市 CPI 的值在 ?103.5,104.0? 中 的概率. B 6.概率与其它模块交汇考查 例如:如图所示,ABCD 是边长分别为 3、4 的矩形,甲从 A 走到 C,乙从 C 走到 A,两人的速度一样. (Ⅰ)若甲、乙沿着矩形的边行走,甲出发时向上或向右,以及 A 乙出发时向下或向左的概率是一样的.求两人在路上相遇的概率; Q D P C

?102.5,103.0? ?103.0,103.5? ?103.5,104.0? ?104.0,104.5? ?104.5,105.0? ?105.0,105.5?

(Ⅱ)P、Q 分别为线段 BC、AD 上的任一点若甲沿着 AP,PC 行走,乙沿着 CQ,QA 行走,求两人所走路程相差小于 1 的概率.

- 22 -

(十二)算法初步、复数的引人
1.复数基础考点:主要是复数代数形式的四则运算及基本概念. 例如:已知是 i 虚数单位,则复数 A.1 B.2

1? i 的模为( 1? i
C. ?1

) D. ?2

2.关注复数的几何意义. 例如: 已知是 i 虚数单位, (1) 则复数 3 ? 5i 的共轭复数在复平面上对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
开始



3. 算法的基础考点:求运行程序结果. 例如:阅读右边的程序框图. 若输入 n ? 5 , 则输出 k 的值为( A. 2 B. 3 ) C. 4 D. 5
k=k+1 输入 n

k=0

n=3n+1

4.求设置条件是常考点. 例如:执行如右图所示的程序,输出的结果为 20,则 判断框中应填入的条件为( A. a ? 5 B. a ? 4 C. a ? 3 ) D. a ? 2


n>150? 是 输出 k

结束

5.关注程序语言. 例如:右图程序运行结果是 .
- 23 -

a=1 b=2 i=4 WHILE i<6 a=a+b b=a+b i=i+1 WEND PRINT b

6.算法与数列的交汇. 例如:右 边的程序框图输出 S 的值为 A. 62 B. 126 C. 254 ( ) D. 510

开始
n ? 1, S ? 0

n ? 7?




输出 S
n

S ? S ?2

结束

n ? n ?1

- 24 -

(十三)推理与证明
发现规律. 例如:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,
单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一

创新思维

1.归纳推理在高考中出现频率很高。关键是由部分对象的特征,通过观察、分析,

组蜂巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个 图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律, 以 f (n) 表示第 n 幅图的蜂巢总数. 则 f (4) =_____; f (n) =___________. 2.类比推理,如空间问题与平面问题的类比,分式与分数的类比,等比数列与等差 数列的类比等.要注意的是类比推理得出的结论可能不正确,考题通常是要求类比出正确 的结论. 例如:设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 .

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是

3.演绎推理,高考对推理论证能力的考查主要体现在对演绎推理的考查上. 例如:下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x
lg x

3

5

8

9

15

2a ? b

a?c

3 ? 3a ? 3c
=

4a ? 2b
.

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

4.推理与证明的综合考查,高考对推理论证能力的考查,既可使用选择题、填空题的 形式,也可使用解答题的形式,推理与证明进行综合考查. 例如: (1)已知等差数列 ?an ? , bn ? 求证: ?bn ? 仍为等差数列; (2)已知等比数列 ?cn ? , cn ? 0 ( n ? N ) ,类比上述性质,写出一个真命题并加以 证明. 5.对一个新给出的“概念”进行定义,要求学生能综合运用所学知识,读懂“概念” , 并据之解决所提问题,这类题型在近年全国各地高考题中屡屡出现. 例如:定义 a * b 是向量 a 和 b 的“向量积” ,它的长度 | a * b |?| a | ? | b | ? sin ? , 其中?
- 25 -

a1 ? a 2 ? ? ? a n (n? N ) , n

? ?

? ?

?

?

为向量 a 和 b 的夹角,若 u ? (2,0), u ? v ? (1, ? 3), 则 | u *(u ? v) | =

?

? ?

?

? ?

.

6.在高考中,总会出现一些设计新颖的“新题” ,要求从题目的条件中提取有用的信 息,通过“观察、猜测、抽象、概括、证明” ,结合所学过知识解决问题. 例如:对于定义 域为 ?0,1? 的函数 f ( x ) ,如果同时 满足以下三条:①对任 意的

) 1 x ??0,1? , 总 有 f ( x) ? 0 ; ② f ( 1 ? ; ③ 若 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 , 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则称函数 f ( x) 为理想函数.
(1) 若函数 f ( x ) 为理想函数,求 f (0) 的值; (2) 判断函数 g ( x) ? 2 ? 1( x ? [0,1] )是否为理想函数,并予以证明.
x

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