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排列组合和二项式定理(第8课)组合(2)




题:

10.3 组合 (二)

教学目的: 1 掌握组合数的两个性质,并能运用组合数的性质进行化简; 2. 进一步理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式,并 且能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点:组合数的性质 教学难点:组合数的性质 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 分类计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法
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中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类 办法中有 mn 种不同的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不
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同的方法

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2.分步计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的 方法,那么完成这件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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3.排列的概念:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被 取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 ..... 元素的一个排列 .... 4.排列数的定义:从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排
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m 列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示 m

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5.排列数公式: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ( m, n ? N , m ? n ) 6 阶乘: n ! 表示正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 规定 0! ? 1 .
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?

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m 7.排列数的另一个计算公式: An =

n! (n ? m)!

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8 组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素并成一
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组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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9.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n? 个元素的所有组合的
m 个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示. ...

m 10.组合数公式: Cn ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ? m Am m!

或 C n?
m

n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)!

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二、讲解新课: 1
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m n 组合数的性质 1: Cn ? Cn ?m .

一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n ? m 个元素的每一个 组合一一对应,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n 个 ....
m n 元素中取出 n ? m 个元素的组合数,即: Cn ? Cn ?m .在这里,主要体现: “取

法”与“剩法”是“一一对应”的思想
n 证明:∵ C n ? m ?

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n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!
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m 又 Cn ?

m n ?m n! ,∴ Cn ? Cn m!(n ? m)!

0 说明:①规定: Cn ? 1 ;

②等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标; n m n ③此性质作用: m ? 时, 当 计算 C n 可变为计算 C n ?m , 能够使运算简化. 2
2001 2002 1 例如 C 2002 = C2002 ?2001 = C2002 =2002; x ④ Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n . m m m 2.组合数的性质 2: Cn?1 = C n + Cn ?1 .

一般地,从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是
m Cn?1 ,这些组合可以分为两类:一类含有元素 a1 ,一类不含有 a1 .含有 a1 的 m 组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m ?1 个元素与 a1 组成的, 共有 Cn ?1

个;不含有 a1 的组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,
m 共有 C n 个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,主

要体现从特殊到一般的归纳思想, “含与不含其元素”的分类思想. n!(n ? m ? 1) ? n! m n! n! m m 证明: C n ? C n ?1 ? ? ? m! (n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! m!(n ? m ? 1)!

?

m (n ? m ? 1 ? m)n! (n ? 1)! ? Cn?1 ? m! (n ? m ? 1)! m! (n ? m ? 1)!

m m m ∴ Cn?1 = C n + Cn ?1 .

说明:①公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下 标多 1 而上标与大的相同的一个组合数; ②此性质的作用:恒等变形,简化运算 三、讲解范例: 例 1.一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球, (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
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3 3 2 3 2 3 解: (1) C8 ? 56 ,或 C8 ? C7 ? C7 ,(2) C7 ? 21; ; (3) C7 ? 35 . 3 4 5 6 例 2. (1)计算: C7 ? C7 ? C8 ? C9 ; n n n n (2)求证: Cm? 2 = C m + 2Cm?1 + Cm?2 .

解: (1)原式 ? C8 ? C8 ? C9 ? C9 ? C9 ? C10 ? C10 ? 210 ;
4 5 6 5 6 6 4

证明: (2)右边 ? (Cm ? Cm ) ? (Cm ? Cm ) ? Cm?1 ? Cm?1 ? Cm?2 ? 左边
n n n

n?1

n?1

n ?2

n?1

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1 3 Ax ?3 . 10 解: (1)由原方程得 x ? 1 ? 2 x ? 3 或 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 13 ,∴ x ? 4 或 x ? 5 ,
x 2 例 3.解方程: (1) C13?1 ? C13x ?3 ; (2)解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ?
x?2 x ?3

?1 ? x ? 1 ? 13 ? ? 又由 ?1 ? 2 x ? 3 ? 13 得 2 ? x ? 8 且 x ? N ,∴原方程的解为 x ? 4 或 x ? 5 ?x ? N ? ?

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上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 x ? 4 和 x ? 5 代入检验,这 样运算量小得多. (2) 原方程可化为 C x ? 3 ?
x?2

1 3 1 3 ( x ?! ( 3 x ? 3 ) ! ) 5 Ax ?3 , C x ?3 ? Ax ?3 , 即 ∴ , ? 10 10 5 x!? 1 ! ( 2 0 ! ) ?x



1 1 , ? 120( x ? 2)! 10 ? x( x ? 1) ? ( x ? 2)!

2 ∴ x ? x ? 12 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? ?3 ,

经检验: x ? 4 是原方程的解 四、课堂练习:

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x 3x 1.方程 C28 ? C28 ?8 的解集为( )

A . ?4?

B . ?9?
?

C .?

D . ?4,9?

m 17 2.式子 C10?2 ? C10 ?m ( m ? N )的值的个数为 ( )

A .1

B .2
; ;

C .3

D .4

9 9 8 3.化简: Cm ? Cm?1 ? Cm ? 10 8 n 4.若 Cn ? Cn ,则 C20 的值为

5.有 3 张参观券,要在 5 人中确定 3 人去参观,不同方法的种数是 ; 6.要从 5 件不同的礼物中选出 3 件分送 3 位同学,不同的方法种数是 ; 7.5 名工人分别要在 3 天中选择 1 天休息,不同方法的种数是 ; 8.集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,从两个集合中各取出 1 个元素, 不同方法的种数是 .

,2,3 ,20 9.从 1 , ?
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这 20 个数中选出 2 个不同的数,使这两个数的和为偶数,有

_ 种不同选法 10.正 12 边形的对角线的条数是 11.已知 C17 ? C17 ,求 C8x 的值;
2x x?2



2 2 5 6 12.解方程: C4 x ? C4 x?1 ? C6 ? C6 .

13.6 人同时被邀请参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有多少种不 同的去法? 14.在所有的三位数中,各位数字从高到低顺次减小的数共有 个 答案:1. D 2. A 3. 0 4. 190 5. 10 6. 60 7. 243
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8. mn

9. 90

10. 54 11. 28 或者 56

12. 2 或者

1 2

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13. 63

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3 14. A3 / A3 ? 120 ,可以保证 0 在最低位 10

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五、小结 :组合数的两个性质;从特殊到一般的归纳思想;常用的等式:
0 ?1 Ck0 ? Ck ?1 ? Ckk ? Ckk?1 ? 1
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六、课后作业: 八、课后记:

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七、板书设计(略)
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