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天津市蓟县第二中学2015届高考数学模拟预测试题 理


2015 届蓟县二中 6 月高三数学(理)冲刺试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分为 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰

好发生 k 次的概率 Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k 球的表面积公式:S=4π R ,球的体积公式:V=
2

4 3 π R ,其中 R 表示球的半径 3

数据 x1,x2,?,xn 的平均值 x ,方差为:s =
2

( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 n

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,2,3},N={3,4,5},则 M∩(cUN)=( ) A. {1,2} B.{4,5} C.{3} D.{1,2,3,4,5} 2 2. 复数 z=i (1+i)的虚部为( ) A. 1 B. i C. -1 D. - i 3.正项数列{an}成等比,a1+a2=3,a3+a4=12,则 a4+a5 的值是( ) A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4.一组合体三视图如右,正视图中正方形 边长为 2,俯视图为正三角形及内切圆, 则该组合体体积为( ) A. 2 3 B.

4? 3

C.

2 3+

4? 3

D.

54 3 ? 4 3? 27


5.双曲线以一正方形两顶点为焦点,另两顶点在双曲线上,则其离心率为( A. 2 2 B.

2 +1
??? ?

C.

2

D. 1 )

6.在四边形 ABCD 中,“ AB =2 DC ”是“四边形 ABCD 为梯形”的(

????

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.积分 A. e

? e dx 的值为(
x 0

1

) C. 1 D. e
2

B. e-1

1

8.设 P 在上随机地取值,求方程 x +px+1=0 有实根的概率为( A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 y 5 9.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )( x∈R,A>0,ω >0,|φ |< 的图象(部分)如图所示,则 f(x)的解析式是( ) O

2



? ) 2

? ? ? ? A.f(x)=5sin( x+ ) B.f(x)=5sin( x- ) 6 6 6 6 ? ? ? ? C.f(x)=5sin( x+ ) D.f(x)=5sin( x- ) 3 6 3 6

2

5 x

-5

10.代数式 (1-x )(1+x) 的展开式中含 x 项的系数为( A. 72 B. 90 C. 119

3

10

3

) D. 120

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11.不论 k 为何实数, 直线 y ? kx ? 1 与曲线 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 2a ? 4 ? 0 恒有交点, 则实数 a 的取值范围是 。

12. 已 知 AB 是 半 圆 O 的 直 径 , 点 C 在 半 圆 上 , CD ? AB 于 点 D , 且 A D ? 4 D B, 设

?C O D ? ? ,则 cos 2? =



开 始

13.直线 y=kx+1 与 A(1,0),B(1,1)对应线段有公 共点,则 k 的取值范围是_______. 14. 阅读右边程序框图,该程序输出的结果是 .

i=3 S=0

3 ? an 15. 数列{an}中,a1= 3 ,an+1= ,则该数列的 1 ? 3an
前 100 项之和 S100 为 .

S=S+i

i=i+3

16. 对任意实数 x、y,定义运算 x*y=ax+by+cxy,其中 a、b、c 为常实数,等号右边的运算是通常意义的加、 乘运算.现已知 2*1=3,2*3=4,且有一个非零实数 m, 使得对任意实数 x,都有 x*m=2x,则 m= .

i≥100? 是 输出 S 结 束



2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a =(sin( ⑴求 f(x)的最小正周期和单调增区间; ⑵如果三角形 ABC 中,满足 f(A)=

?

? ? ? ? +x), 3 cosx), b =(sinx,cosx), f(x)= a · b . 2

3 ,求角 A 的值. 2

18.(本小题满分 12 分)如图:直三棱柱(侧棱⊥底面)ABC—A1B1C1 中, ∠ACB=90°,AA1=AC=1,BC= 2 ,CD⊥AB,垂足为 D. ⑴求证:BC∥平面 AB1C1; ⑵求点 B1 到面 A1CD 的距离.
A1 C1

B1

P A D

C B

19.(本小题满分 12 分)旅游公司为 4 个旅游团提供 5 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (1)求 4 个旅游团选择互不相同的线路共有多少种方法; (2)求恰有 2 条线路被选中的概率; (3)求选择甲线路旅游团数的数学期望.

3

20. (本小题满分 12 分)数列{an}满足 a1+2a2+2 a3+?+2 an=4 . ⑴求通项 an; ⑵求数列{an}的前 n 项和 Sn.

2

n-1

n

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=alnx+bx,且 f(1)= -1,f′(1)=0, ⑴求 f(x); ⑵求 f(x)的最大值; ⑶若 x>0,y>0,证明:lnx+lny≤

xy ? x ? y ? 3 . 2

22.(本小题满分 14 分)设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点, a2 b2

若椭圆 C 上的点 A(1,

3 )到 F1,F2 两点的距离之和等于 4. 2

⑴写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵过点 P(1,

1 )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP=PE,求直线 DE 的方程; 4

⑶过点 Q(1,0)的直线与椭圆交于两点 M、N,若△OMN 面积取得最大,求直线 MN 的方程.

4

高三数学(理)模拟测试答案 一、选择题: ACCD BABD AC 二、填空题: 11、 ? 1 ? a ? 3 ;12. cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 13. 14. 1683 15.

7 ? OD ? ? 3? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?1 ? ? 25 ? OC ? ?5?

2

2

3

16. 3

三、解答题:17.满分 12 分. 解:⑴f(x)= sinxcosx+

? 3 3 3 + cos2x = sin(2x+ )+ ???3 分 3 2 2 2

T=π ,2 kπ -

? ? ? ≤2x+ ≤2 kπ + ,k∈Z, 2 3 2

? ? ? 7? )=0, <2A+ < ,?????9 分 3 3 3 3 ? ? 5? ∴2A+ =π 或 2π ,∴A= 或 ????????12 分 6 3 3
⑵由 sin(2A+

最小正周期为π ,单调增区间,k∈Z.????????6 分

18..满分 12 分. ⑴证明:直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC∥B1C1, 又 BC ? 平面 A B1C1,B1C1 ? 平面 A B1C1,∴B1C1∥平面 A B1C1;?????? 5 分 ⑵(解法一)∵CD⊥AB 且平面 ABB1A1⊥平面 AB C, C1 ∴CD⊥平面 ABB1A1 ,∴CD⊥AD 且 CD⊥A1D , ∴∠A1DA 是二面角 A1—CD—A 的平面角,
A1 B1

在 Rt△ABC,AC=1,BC= 2 , ∴AB= 3 ,又 CD⊥AB,∴AC =AD×AB
2

P A D

C B

∴AD=

3 ,AA1=1,∴∠DA1B1=∠A1DA=60°,∠A1B1A=30°,∴AB1⊥A1D 3
3 . 2
A1

又 CD⊥A1D,∴AB1⊥平面 A1CD,设 A1D∩AB1=P,∴B1P 为所求点 B1 到面 A1CD 的距离. B1P=A1B1cos∠A1B1A= 3 cos30°=
z C1

3 即点 B1 到面 A1CD 的距离为 .?? 12 分 2
(2) (解法二) 由 VB1-A1CD=VC-A1B1D=

B1

1 3 ?1 6 2 × × = , 3 2 3 6
A x

C


B D y

2 6 3 cos∠A1CD= × = , 3 3 2

5

S△A1CD=

1 1 3 6 6 2 2 2 × 2× × = ,设 B1 到平面 A1CD 距离为 h,则 × h= ,得 h= 为所求. 2 3 2 3 3 3 3 6

⑶(解法三)分别以 CA、CB、CC1 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系(如图)则 A(1,0, 0),A1(1,0,1), C(0,0,0),C1(0,0,1), B(0, 2 ,0),B1(0, 2 ,1),

∴D(

? ???? 2 2 , ,0) CB1 =(0, 2 ,1),设平面 A1CD 的法向量 n =(x,y,z),则 3 3

? ??? ? ?3n ? CD ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ? ? ???? n ,取 =(1,- 2 ,-1) ?n ? CA1 ? x ? z ? 0
? ???? n ? CB1 3 点 B1 到面 A1CD 的距离为 d= ??????????????12 分 ? ? 2 n
19.本题主要考查排列,典型的离散型随机变量的概率计算和离散型随机变量分布列及期望等基 础知识和基本运算能力. 4 解:(1)4 个旅游团选择互不相同的线路共有:A5 =120 种方法; ?3 分 (2)恰有两条线路被选中的概率为:P2=

C52 ? (24 ? 2) 28 ? ?7 分 54 125
1 ) 5

(3)设选择甲线路旅游团数为 ξ ,则 ξ ~B(4, ∴期望 Eξ =np=4×

1 4 = ??????11 分 5 5

答: (1)线路共有 120 种,(2)恰有两条线路被选中的概率为 0.224, (3)所求期望为 0.8 个 团数.?????????12 分 20.本题主要考查数列的基础知识,考查分类讨论的数学思想,考查考生综合应用所学知识创造 性解决问题的能力. 2 n-1 n 解:(1)a1+2a2+2 a3+?+2 an=4 , 2 n n+1 n n n ∴a1+2a2+2 a3+?+2 an+1=4 ,相减得 2 an+1=3×4 , ∴an+1=3×2 , 又 n=1 时 a1=4,∴综上 an= ?
n

(n ? 1) ?4 为所求;?????????8 分 n ?1 (n ? 2) ?3 ? 2

⑵n≥2 时,Sn=4+3(2 -2), 又 n=1 时 S1=4 也成立, n ∴Sn=3×2 -2??????12 分 21.本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题,同时考查考 生用函数放缩的方法证明不等式的能力. 解:⑴由 b= f(1)= -1, f′(1)=a+b=0, ∴a=1,∴f(x)=lnx-x 为所求; ?????4 分

6

⑵∵x>0,f′(x)=

1 1? x -1= , x x
x=1
0 极大值

x f′( x) f(x)

0<x<1 + ↗

x>1


∴f(x)在 x=1 处取得极大值-1,即所求最大值为-1; ?????8 分 ⑶由⑵得 lnx≤x-1 恒成立, ∴lnx+lny=

ln xy ln x ? ln y xy ? 1 x ? 1 ? y ? 1 xy ? x ? y ? 3 + ≤ + = 成立???12 分 2 2 2 2 2

22.本题考查解析几何的基本思想和方法,求曲线方程及曲线性质处理的方法要求考生能正确分 析问题,寻找较好的解题方向,同时兼顾考查算理和逻辑推理的能力,要求对代数式合理演变, 正确分析最值问题. 解:⑴椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.;

3 2 2 1 又点 A(1, ) 在椭圆上,因此 2 ? 4 ? 1. 得 b =1,于是 c =3; 2 2 2 b
所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1, 焦点F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). ,???4 分 4 ⑵∵P 在椭圆内,∴直线 DE 与椭圆相交, ∴设 D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆 C 的方程得
2

3

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得 2(x1-x2)+4×2×
∴DE 方程为 y-1= -1(x-

1 (y1-y2)=0,∴斜率为 k=-1 4

1 ),即 4x+4y=5;???9 分 4 2m 3 , y1y2=- 2 ,且△>0 成立. 2 m ?4 m ?4

(Ⅲ)直线 MN 不与 y 轴垂直,∴设 MN 方程为 my=x-1,代入椭圆 C 的方程得 (m +4)y +2my-3=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=2 2

又 S△OMN= S△OMN=

4m2 ? 12(m2 ? 4) 2 m2 ? 3 1 1 |y1-y2|= × = ,设 t= m2 ? 3 ≥ 3 ,则 2 2 2 2 m ?4 m ?4

2 t? 1 t

,(t+ )′=1-t >0 对 t≥ 3 恒成立,∴t= 3 时 t+ 取得最小,S△OMN 最大,
-2

1 t

1 t

此时 m=0,∴MN 方程为 x=1?????14 分

7


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