当前位置:首页 >> 数学 >>

2012届新课标数学考点预测(03):立体几何初步


本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

2012 届新课标数学考点预测(03) : 立体几何初步 一、考点介绍
09 考试大纲中,对本节的要求如下: (1)空间几何体 ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活 中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等

的简易组合)的三视图, 能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空 间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作 严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (2)点、直线、平面之间的位置关系 ① 理解空间直线、 平面位置关系的定义, 并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互 补. ② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直 的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行, 经过该直线的任一个平面与此平面相交, 那么这条直 线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

二、高考真题
1.2008 年广东卷, ( 数学理科, 数学文科, 将正三棱柱截去三个角 5, 7) (如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点) 得到几何体如图 2, 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 (或 称左视图)为( )

H

A B I C

G 侧视 D E

A B C D F 图2 E B E A.

B E B.

B E

B

E F 图1

C.

D.

〖解析〗本题考查几何体的三视图,解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案. 〖答案〗A 2. (2008 年上海春卷,数学,8)已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面 展开图如右图所示,则该凸多面体的体积 V ? . 〖解析〗本题考查空间想象能力及相应几何体的体积,由题知,凸多面 体是由一个棱为 1 的正四棱锥和一个棱长为 1 的正方体并接而成,正四 棱锥的高为 12 ? (

2 2 2 1 2 2 ) ? ,?V ? 13 ? ? 2 ? ? 1 ? 1 . 2 2 3 2 6

〖答案〗 1 ?

2 6

3. (2008 年江西卷,数学理科,16) 如图 1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底 的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将 容器倒置,水面也恰好过点 P (图 2) 。有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满 其中真命题的代号是: (写出所有真命题的 代号) . 图 1 图 2 〖解析〗易知所盛水的容积为容器容量的一半,故 D 正确, 于是 A 错误; 水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点 P,故 B 正确;C 的错误可由图 1 中容器位置向右边倾斜一些可推知点 P 将露出水面。 〖答案〗真命题的代号是: BD 。 4. (2007 年广东卷,数学文科,6)若 l、m、n 是互不相同的空间直线, ? 、 ? 是不重合 的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n C. 若 l ? n, m ? n ,则 l // m B.若 ? ? ? ,l ? ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

〖解析〗考查直线和平面与直线和平面的相互关系,对 A,当? ∥? , ? ? ? ?时, ? 只是平 行于 ? 中某一直线而非所有,因而 ? 未必能平行于 n;对 B,只有在 ? 垂直与两面的交线才 有结论 ? ⊥? 成立; 对 C,直线 ? 和 m 可以是异面,立方体的棱就能体现这种关系。 〖答案〗D 5. (2008 年海南宁夏卷,数学文科,18)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个 角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm)(1)在正视图下面, 。

按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2) 按照给出的尺寸, 求该多面体的体积; (3) 在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG。
D' G F B'
4 6 2 2

C'

2

E D A B C
4

正视图

侧视图

〖解析〗长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识 〖答案〗(1)如图

(2)所求多面体的体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (3)证明:如图,在长方体 ABCD ? A B C D 中,连接 AD ,则 AD ∥ BC
' ' ' '
' '

1 ?1 3 ?2

? ?

284 ? cm3 ? 3

'

因为E,G分别为 AA' , A' D' 中点,所以 AD ∥ EG ,从而 EG ∥ BC ,
' ' 又 BC ? 平面EFG , 所以 BC ∥平面EFG;

'

'

, 6. (2007 年宁夏、 海南卷,数学文科,18)如图, A B,C,D 为空间四点.在 △ ABC
中, AB ? 2,AC ? BC ? 2 . 等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ ADB 转动时,是否总有 AB ? CD ? 证明你的结论.

D

A

B

C

〖解析〗考查直线和平面与平面和平面的相互关系 〖答案〗 (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE , 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC , 可知 DE ? CE 由已知可得 DE ? 3 EC ? 1 ,在 Rt△DEC 中, ,

D

E B

A

CD ? DE2 ? EC2 ? 2 .

C

D (Ⅱ) △ AB 以 AB 为轴转动时, 当 总有 AB ? CD . 证明: (ⅰ)当 D 在平面 ABC 内时,因为 AC= BC,AD ? BD , 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ? CD .
(ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ?DE .又因 AC ? BC ,所以 AB ? CE . D . 又 DE,CE 为相交直线, 所以 AB ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE , A ? 由 得 B C 综上所述,总有 AB ? CD . 7. (2008 年山东卷,数学理科,20)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥ 平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 ,求二面角 E—AF 2

—C 的余弦值. 〖解析〗 本题考查线线垂直的证明, 和二面角的求法, 理科生应学会利用空间向量解决问题。
? 〖答案〗 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60 ,可得 △ ABC 为正三角形.

因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD ,所以 AE ? PD . (Ⅱ)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ? 平面 PAD , B 则 ? EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中, AE ? 3 , 所以当 AH 最短时, ? EHA 最大, 即当 AH ? PD 时, ? EHA 最大. 此时 tan ?EHA ?

P H S A E O C F D

AE 3 6 , ? ? AH AH 2

? 因此 AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45 ,所以 PA ? 2 .

解法一:因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC ,所以平面 PAC ? 平面 ABCD . 过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES ,则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角, 在 Rt△ AOE 中, EO ? AE ? 30? ? sin

3 3 cos ? , AO ? AE ? 30 ? , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ ASO 中, SO ? AO? 45? ? sin

3 2 , 4

又 SE ?

EO 2 ? SO 2 ?

3 9 30 , ? ? 4 8 4
3 2 4 ? 15 ,即所求二面角的余弦值为 15 . 5 5 30 4

SO ? 在 Rt△ESO 中, cos ?ESO ? SE

AD AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角 解法二:由(Ⅰ)知 AE, , 坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以 z A(0,0) B( 3,1 0) C( 31 0) D(0,0) , 0,, ? ,, , ,, 2, P
? 3 1 ? P(0, 2) E ( 3, 0) F ? 0,, 0,, ? ,, , 1? ? ? 2 2 ? ??? ? ??? ? 3 1 ? ? 0,, 1? 所以 AE ? ( 3, 0) AF ? ? ? 2 ,, . 2 ? ? ?
设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) , A B D E x C F y

??? ? ? 3x1 ? 0, ?m ?AE ? 0, ? ? 则 ? ??? 因此 ? 3 取 z1 ? ?1,则 m ? (0, ? 1) , 2, ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ?m ?AF ? 0, ? ? ? 2 2 因为 BD ? AC , BD ? PA , PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 AFC , ??? ? 故 BD 为平面 AFC 的一法向量. ??? ? ??? ? ??? ? m ?BD 2?3 15 又 BD ? (? 3,0) ,所以 cos ? m, ?? . BD ? 3, ??? ? ? 5 5 ? 12 m ?BD
因为二面角 E ? AF ? C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

三、名校试题

1 . 山 东 省 烟 台 市 2008 年 高 三 适 应 性 练 习 ( 三 ) , 数 学 理 科 , 6 ) 已 知 直 线 (

l ? 平面? , 直线m ? 平面? , 则下列四个命题:
① ? // ? ? l ? m ; ③ l // m ? ? ? ? ; 其中正确的是 A.①② 〖答案〗D 2. (宁夏区银川一中 2008 届高三年级第五次月考测试,数学理科,12)如图,一个几何体 的正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰三角形, 俯视图是一个圆 及其圆心,当这个几何体的体积最大时圆的半径是 ( ) 1 1 1 1 A. B.③④ C.②④ D.①③ 〖解析〗本题考查线面位置关系的判断,②④显然不正确 ② ? ? ? ? l // m ; ④ l ? m ? ? // ? ( )

3 3

B.

1 3

C.

6 3

D.

2 3

〖解析〗本题考查三视图及椎体的体积计算。设底面半径为,
1 1 1 高位 h ,又 r 2 ? h2 ? 1 ,则 V ? Sh ? ? r 2 h ? ? (1 ? h2 )h ,当 3 3 3
3 6 ,即 r ? 时,体积最大。 3 3 【答案】C h?

正视图

侧视图

俯视图

3. (山东省潍坊市 2008 年 5 月高三教学质量检测,数学理科,12)如图,ABCD 中,AB⊥BD, 沿 BD 将△ABD 折起,使面 ABD⊥面 BCD,连结 AC,则在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直 的平面有( )对 A.1 B.2 C.3 D.4 〖解析〗本题考查图形的翻折,和面面垂直的 判定,显然面 ABD⊥面 BCD,面 ABC⊥面 BCD, 面 ABD⊥面 ACD, 【答案】C 4. 广东省中山市 2009 年四校联考数学, ( 数学理科, 给出下列关于互不相同的直线 m, l , n 5) 和平面 ? , ? 的四个命题: ①若 m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m, 则l与m不共面; ②若 m, l 是异面直线, l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ? ; ③若 l // ? , m // ? ,? // ? , 则l // m ; ④若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? , 则? // ? . 其中为假命题的是 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 〖解析〗本题考查线线,线面及面面位置关系的判定 【答案】C 5. (南通四县市 2008 届高三联合考试,数学,17)如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB= AD=2.

(1)证明:面 BDD1 B1⊥面 ACD1; (2)若 E 是 BC1 的中点,P 是 AC 的中点,F 是 A1C1 上的点, C1F=mFA1,试求 m 的值, 使得 EF∥D1P. 〖解析〗本题考查面面垂直的证明,以及线线垂直的探究 【答案】证明(1):在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB= AD=2, 故四边形 ABCD 是正方形,AP⊥DP, D1 又∵D1D⊥面 ABCD,AP ? 面 ABCD A1 ∴D1D⊥AP ,D1D∩ DP=D ∴AP⊥面 BDD1B1 ∵AP ? 面 AD1C A ∴面 BDB1D1⊥面 ACD1 (2) :记 A1C1 与 B1D1 的交点为 Q,连 BQ, ∵P 是 AC 的中点,∴D1P∥BQ,要使得 EF∥D1P, 则必有 EF∥BQ 在△QBC1 中,E 是 BC1 的中点, F 是 QC1 上的点,EF∥BQ ∴F 是 QC1 的中点,即 3C1F=FA1,故所求 m 的值是 . 6. (山东省烟台市 2008 年高三适应性练习(三),数学理科,19)如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的 中 点。 (1)求证:PB//平面 EFG; (2)求异面直线 EG 与 BD 所成的角的余弦值; (3)在线段 CD 上是否存在一点 Q,使得点 A 到平面 EFQ 的距 离为 D P B

C1 F B1 E C

1 3

4 , 若存在, 求出 CQ 的值; 若不存在, 请说明理由。 5

〖解析〗本题考查线面平行的证明,和异面直线所成角的求法, 及点面距离的求解,理科生应学会利用空间向量解决问题。 〖答案〗解法一: (1)证明:取 AB 为中点 H,连结 GH,HE, ∵E,F,G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点, ∴GH//AD//EF, ∴E,F,G,H 四点共面。 又 H 为 AB 中点, ∴EH//PB。 又 EH ? 面 EFG,PB ? 平面 EFG, ∴PB//面 EFG。 (2)解:取 BC 的中点 M,连结 GM、AM、EM,则 GM//BD, ∴∠EGM(或其补角)就是异面直线 EG 与 BD 所成的角。 在 Rt△MAE 中, EM ? 同理 EG ?

EA2 ? AM 2 ? 6 ,
1 BD ? 2 , 2

6 , 又GM ?

EG 2 ? GM 2 ? ME 2 3 ∴在 Rt△MGE 中, cos ?EGM ? ? 2 EG ? GM 6
故异面直线 EG 与 BD 所成角的余弦值为

3 . 6

(3)假设在线段 CD 上存在一点 Q,满足题设条件,过点 Q 作 OR⊥AB 于 R,连结 RE, 则 QR//AD。 ∵ABCD 是正方形,△PAD 是直角三角形 ,且 PA=AD=2, ∴AD⊥AB,AD⊥PA 又 AB ? PA=A, ∴AD⊥平面 PAB。 又∵E,F 分别是 PA,PD 中点, ∴EF//AD, ∴EF⊥平面 PAB 又 EF ? 面 EFQ, ∴EFQ⊥平面 PAB。 过 A 作 AT⊥ER 于 T,则 AT⊥面 EFQ, ∴AT 就是点 A 到平面 EFQ 的距离。 设 CQ ? x(0 ? x ? 2),则BR ? CQ ? x, AR ? 2 ? x, AE ? 1, 在 Rt△EAR 中,AT ?

AR ? AE ( 2 ? x) ? 1 4 ? ? 2 2 RE 5 ( 2 ? x) ? 1

解得 x ?

2 。 3 2 4 时,点 A 到平面 EFQ 的距离为 3 5

故存在点 Q,当 CQ ?

解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0,,C(2,2,0) ) , D(0,2,0)P(0,0,2) ,E(0,0,1) , F(0,1,1) ,G(1,2,0) 。 (1)证明:∵ PB ? (2,0,?2), FE ? (0,?1,0)

FG ? (1,1,?1)
设 PB ? s FE ? t FG 即(2,0,—2)=S(0,—1,0)+t(1,1,—1) 解得 s=t=2 ∴ PB ? 2FE ? 2FG 又∵ FE与FG不共线 ., www.ks5u.com

∴ PB, FE与FG 共面。 ∵ PB ? 平面EFG, ∴PB//平面 EFG。 (2)解∵ EG ? (1,2,?1), BD ? (?2,2,0) ∴ cos ? EG , BD ??

EG ? BD | EG | ? | BD |

?

3 6

故平面直线 EG 与 BD 所成角的余弦值为

3 6

(3)假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足题设条件。 令 CQ ? m(0 ? m ? 2) ,则 DQ=2-m ∴点 Q 的坐标为( 2 ? m,2,0 ) ∴ EQ ? (2 ? m,2,?1) 而 EF ? (0,1,0),设平面 EFQ的法向量为 ( x, y, z) ,则 n

?n ? EF ? ( x, y, z ) ? (0,1,0) ? 0 ? ? ?n ? EQ ? ( x, y, z ) ? (2 ? m,2,?1) ? 0 ?
∴?

?y ? 0 ?(2 ? m) x ? 2 y ? z ? 0

令 x ? 1, 则n ? (1,0,2 ? m). 又 AE ? (0,0,1) ∴点 A 到平面 EFQ 的距离 d ?
2 即 ( 2 ? m) ?

| AE ? n | |n|

?

|2?m| 1 ? ( 2 ? m)
2

?

4 5

16 , 9 2 10 ? 2 不合题意,舍去。 ∴ m ? 或m ? 3 3 2 4 故存在点 Q,当 CQ ? 时, 点 A 到平面 EFQ 的距离为 3 5
7. (浙江省余姚中学 08-09 学年上学期高三第三次质量检测,数学理科,19)如图,四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90°,面 PAD⊥面 ABCD,

且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求锐二面角 B—PD—C 的余弦值. 〖解析〗本题考查线面平行及面面垂直的证明, 并计算二面角 〖答案〗证明: (1)如图,连接 AC,∵ABCD 为矩形且 F 是 BD 的中点, ∴AC 必经过 F 又 E 是 PC 的中点, 所以,EF∥AP ∵EF 在面 PAD 外,PA 在面内,∴EF∥面 PAD (2)∵面 PAD⊥面 ABCD,CD⊥AD,面 PAD ? 面 ABCD=AD,∴CD⊥面 PAD, 又 AP ? 面 PAD,∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD,PD 和 CD 是相交直线,AP⊥面 PCD 又 AD ? 面 PAD,所以,面 PDC⊥面 PAD (3)由 P 作 PO⊥AD 于 O,以 OA 为 x 轴,以 OF 为 y 轴,以 OP 为 z 轴,则 A(1,0,0) ,P(0,0,1) 由(2)知 AP ? (?1,0,1) 是面 PCD 的法向量,B(1,1,0) ,D(一 1,0,0) ,

??? ?

??? ? ??? ? BD ? (?2, ?1,0) , PD ? (?1,0, ?1)
设面 BPD 的法向量 n ? ( x, y, z) , 由 n ? PD, n ? BD 得 ?

?

?

??? ? ?

??? ?

??2 x ? y ? 0 ?? x ? z ? 0

取 x ? 1 ,则 n ? (1, ?2, ?1) , 向量 AP ? (?1,0,1) 和 n 的夹角的余弦

?

??? ?

?

(1, ?2, ?1) ? (?1,01) 3 ?? 3 2 6

所以,锐二面角 B—PD—C 的余弦值

3 3

四、考点预测
(一)文字介绍 立体几何每年高考必考,一般为一小一大,小题多考位置关系的简单的概念性判断,和 三视图以及面积体积,尤其三视图是新课标的新增内容,在高考中将成为命题的热点,解答 题多以证明位置关系,计算角与距离为为,文科侧重于证明,理科要学会用空间向量解决相 应问题。 (二)考点预测题 1. (广东省湛江一中 08-09 高三理科数学月考试卷 2009.2, 数学, 已知 m, n 为直线,a , b 8) 为平面,给出下列命题:

?m ? ? ①? ? n // ? ?m ? n

?m ? ? ②? ? m // n ?n ? ?

?m ? ? ③? ? ? // ? ?m ? ?

?m ? ? ? ④ ? n ? ? ? m // n ? ? // ? ?

其中的正确命题序号是: A ③④ B ②③ C ①② 〖解析〗本题考查位置关系的判定,属于简单题 〖答案〗 B

D ①②③④

2. (江苏省盐城中学 2008 年高三上学期第二次调研测试题,数学,8)如图,直三棱柱的侧 棱长和底面边长均为 2,正视图和俯视图如图所示,则其左视图的面积为
D C D C



A

B

A

正视图

B

俯视图

〖解析〗本题考查三视图几面积的计算,先画出左视图,再进行求解,左视图如上图,故所 求面积为 2 ? 3 ? 2 3 【答案】 2 3 3.(山东省烟台市 2008—2009 学年高三年级模块检测,数学文科,19) 如图,已知三棱 锥 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形。 (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积。 〖解析〗本题考查线面平行的证明,面面垂直的证明以及 三棱锥体积的计算 【答案】 (1)∵M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, ∴MD//AP, 又∴MD ? 平面 ABC ∴DM//平面 APC。 (2)∵△PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点。

∴MD⊥PB。 又由(1)∴知 MD//AP, ∴AP⊥PB。 又已知 AP⊥PC ∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC。 ∴BC⊥平面 APC, ∴平面 ABC⊥平面 PAC, (3)∵AB=20 ∴MB=10 ∴PB=10 又 BC=4, PC ? 100? 16 ? 84 ? 2 21.

1 1 1 S ?PBC ? PC ? BC ? ? 4 ? 2 21 ? 2 21. 2 4 4 1 1 20 2 ? 10 2 ? 5 3. 又 MD ? AP ? 2 2 1 1 ∴VD-BCM=VM-BCD= S ?BDC ? DM ? ? 2 21 ? 5 3 ? 10 7 3 3
∴ S ?BDC ? 4. (沈阳二中 2009 届高三期末数学试题,数学理科,18)如图甲正三角形 ABC 的边长为 4, CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,先将△ABC 沿 CD 折叠成直二面角 A-DC-B(如图乙) ,在乙图中 (Ⅰ)求二面角 E-DF-C 的余弦值; (Ⅱ)在线段 BC 上找一点 P,使 AP⊥DE,并求 BP. (Ⅲ)求三棱锥 D-ABC 外接球的表面积.(只需用数字回答,可不写过程) A E D F B 图甲 B C D F 图乙 A E C

〖解析〗本题考查翻折几何体的相关问题,并计算二面角的大小,以及有关点的位置的探究 和球的体积计算 【答案】(1)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平角 ∴ AD⊥BD ∴AD⊥平面 BCD,取 CD 的中点 M,这时 EM∥AD,∴EM⊥平面 BCD 过 M 作 MN⊥DF 于点 N,连结 EN,则 EN⊥DF ∴∠MNE 是二面角 E-DF-N 的平面角 在 Rt△EMN 中,EM= A E D Q N B P 图甲 B B P 图乙 M F C D Q N

1 1 3 7 21 AD= AB=1,MN= ∴EN= ,cos∠MNE= 2 4 2 2 7
A E M F C

(2) 在线段 BC 上取点 P,使 BP= 过 P 作 PQ⊥CD 于点 Q, ∴ PQ⊥平面 ACD ∵DQ=

1 4 BC= , 3 3

1 2 3 DC= ,在等边△ADE 中,∠DAQ=30 3 3

∴AQ⊥DE,∴AP⊥DE (3) 2R= 2 ? 2 ? (2 3) ? 2 5
2 2 2

S ? 4? R 2 ? 20?

苏州工业园区第三中学 谈杰 215021


相关文章:
2011年数学高考考点预测(03):立体几何初步
2012高考新课标数学考点总... 28页 免费 2013高考新课标数学考点总... 28页...2011年数学高考考点预测(03):立体几何初步 gggg隐藏>> 2011 年数学高考考点预测...
七彩教育网2009届新课标数学考点预测(03):立体几何初步
七彩教育网 http://www.7caiedu.cn 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2009 届新课标数学考点预测(03) : 立体几何初步 一、考点介绍 09 ...
2012届新课标数学考点预测(14):空间向量与立体几何
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2012 届新课标数学考点预测(14) 空间向量与立体几何 一、考点介绍 1.利用向量处理平行问题 空间图形的平行...
2012届新课标数学考点预测(01):集合
本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2012 届新课标数学考点预测(01) : 集合 一、考点介绍本节内容考试大纲的具体要求如下: (1)集合的含义与...
2012届新课标数学考点预测(23):填空题的解法
//www.7caiedu.cn 2012 届新课标数学考点预测(23) 填空题的解法数学填空题...对于一些含有几何背景的填空题, 若能数中思形, 以形助数, 则往往可以简捷地...
2012届新课标数学考点预测(05):算法初步
2012届新课标数学考点预测(05):算法初步_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2012届新课标数学考点预测(05):算法初步_数学_高中教育_...
2012高考新课标数学考点:立体几何全面解析
向北方看东方贡献于2012-03-21 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 ...2012高考新课标数学考点:立体几何全面解析2012高考新课标数学考点:立体几何全面解析...
2012届新课标数学考点预测(12):常用逻辑用语
2012届新课标数学考点预测(12):常用逻辑用语_数学_高中教育_教育专区。本资料来源...3 C. 2 D. 1 答案:B 评析:本题考查了命题真值与立体几何中的平行垂直 ...
2012届新课标数学考点预测(05):算法初步
2012届新课标数学考点预测2012届新课标数学考点预测隐藏>> 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 2009 届新课标数学考点预测(05) 算法初步 一、考...
更多相关标签: