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高二数学几何概型3


问题情境:
问题1:射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环,从外 向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金 色靶心叫“黄心”. 奥运会的比赛靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm, 运动员在70m外射.假设射箭 都能中靶,且射中靶面内任意 一点都是等可能的,那么射中 黄心的概率有多大?

?能用古典概型描述该事件的概率吗?为什么?
(1)试验中的基本事件是什么? 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可 以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点. (2)每个基本事件的发生是等可能的吗? (3)符合古典概型的特点吗?

问题2:取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪 断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?

3m
?能用古典概型描述该事件的概率吗?为什么?
(1)试验中的基本事件是什么? 从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位 置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
(2)每个基本事件的发生是等可能的吗? (3)符合古典概型的特点吗?

问题3: 有一杯1升的水,其中漂浮有1个微生物,用一 个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个 微生物的概率.

?能用古典概型描述该事件的概率吗?为什么?
(1)试验中的基本事件是什么?

微生物出现的每一个位置都是一个基本事件, 微生物出现位置可以是1升水中的任意一点. (2)每个基本事件的发生是等可能的吗?
(3)符合古典概型的特点吗?

?上面三个随机试验有什么共同特点?
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个; (2) 每个结果的发生都具有等可能性.

对于一个随机试验,我们将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点,该区域中每一个点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中 述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域 可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方 法处理随机试验,称为几何概型.

数学理论:
古典概型的本质特征:

1、样本空间中样本点个数有限,
2、每一个样本点都是等可能发生的.

将古典概型中的有限性推广到无限性,而保留等 可能性,就得到几何概型.
几何概型的本质特征: 1、有一个可度量的几何图形S; 2、试验E看成在S中随机地投掷一点; 3、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

?如何求几何概型的概率?
1m 3m
1 P(B)= 3
1 ? ? ? 12.2 2 4 ? 0.01 P(A)= 1 ? ? ? 1222 4

1m

P(C)=

0.1 ? 0.1 1

一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件 “该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则 事件A发生的概率为:

d的测度 P(A)= D的测度
注意:D的测度不能为0,其中“测度”的意义 依D确定.当D分别为线段,平面图形,立体图形 时,相应的“测度”分别为长度,面积,体积等.

数学运用:
例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打 开收音机,想听电台报时,求他等待的时 间不多于10分钟的概率. 解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心 的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内,因此由几何概型的求概率的公式得
1 答:“等待的时间不超过10分钟”的概率为 . 6
60 ? 50 1 P( A) ? ? , 60 6

例2:一海豚在水池中自由游弋,水池长30m,宽20m的长方形,求 此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率.
30m

20m
2m

解:设事件A“海豚嘴尖离岸边小于2m”(见阴影部分)
d的测度 = P(A)= D的测度
30 ? 20 ? 26 ?16 184 ? ? 0.31 30 ? 20 600

答:海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为0.31.

例3:取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随 机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率. 解:记“豆子落入圆内”为事件A,则

圆面积 ?a 2 ? ? ? P(A)= 2 正方形面积 4a 4
答:豆子落入圆内的概率为
?
4

撒豆试验:向正方形内撒n颗豆子,其中有m颗落在圆内,当n很大 时,频率接近于概率.

m ? m 4m P ( A) ? ? ? ?? ? . n 4 n n

练一练
练习1. 在数轴上,设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现,记a∈(-1,2]为事件A,则P(A)=( C ) A、1 B、0 C、1/2 D、1/3 -3 -1 0 2 3

练习2.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子, 从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少? 解:取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件 高为A,则

取出种子的体积 10 1 ? ? P(A)= 所有种子的体积 1000 100
答:含有麦锈病种子的概率为0.01

练习3:在正方形ABCD内随机取一点P,求∠APB > 90°的概率.

D

C

1 a 2 ? ( ) d的测度 2 2 ? P ( A) ? ? ? . 2 D的测度 a 8
∠APB =90°?

P
A B

d的测度 0 P(B) ? ? 2 ? 0. D的测度 a

概率为0的事件可能发生!

回顾小结:
1.几何概型的特点:
⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

2.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

回顾小结:
3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)? . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
4.几何概型问题的概率的求解.

课后作业:

课本 P103 习题3.3 No.1、2、3、4.

; http://www.btbplj.net 三维柔性焊接平台 焊接平台 检验平台 铸铁平台 三维柔性焊接平台 吴慧考进了名牌的大学,李想却只考到一个三流的大专,吴慧信心满满的就读着自己的大学,李想却在念完大一的时候,因为校园的生 活跟她心中的梦有了出入,而选择了放弃念书。 吴慧说“你怎么能这么自暴自弃呢,怎么样也得把毕业证拿上呀,你难道不看电视么,现在大学生就业是多么困难,你这样放弃学业, 以后该怎么办?”她说这话的时候甚是理直气壮,好似李想如果就这样离开学校就不能够很好的存活下去。 李想只是笑“我知道大学生就业很不容易,不过,我觉得现在校园的生活实在是太清闲了,我不喜欢这样的生活!” 从此以后,吴慧继续过着她风光无比的校园生活,李想却投身到现实的工作中,那个工作虽然并没有什么了不起,但是,也并没有吴慧 说的那样,她将成为一无是处的废物继而被这个社会淘汰!工作虽然比较辛苦,毕竟是没有多少技术含量的销售工作,又对学历没有太 高的要求,所以,李想在那样的一处工作场所也算过得肆意。至少,那份工作,让她感到当下的生活过得是比较充足的,不再似在学校 那般过得浑浑噩噩,每天如同混日子般,也至少,她现在可以凭借自己的努力养活自己,而不再是那个只能伸手跟父母要钱的人,至少 在这一点上,让她感到从内心中得到解脱、从而过得舒坦些!


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