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第1章1.1.3命题及其关系 四种命题间的相互关系


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第1章 常用逻辑用语

课 前 自 主 学 案

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系

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第1章 常用逻辑用语

学习目标 1.了解四种命题的概念. 2.认识四种命题的结构形式,会写出某命题 的逆命题、否命题和逆否命题. 3.认识四种命题之间的关系以及真假之间的 联系.

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第1章 常用逻辑用语

1.1.3

四 种 命 题 间 的 相 互 关 系

课前自主学案

课 前 自 主 学 案

课堂互动讲练

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知能优化训练

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第1章 常用逻辑用语

课前自主学案

温故夯基

课 前 自 主 学 案

1.判断一个语句是不是命题的两个要素:第
陈述句 ;第二是_________________ 可以判断真假. 一是__________

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2.“若p,则q”这种形式的命题,命题中的
条件 ,q叫做_________ 结论. p叫做______

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第1章 常用逻辑用语

知新益能 1.四种命题
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定义 表示形式

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对于两个命题,如果一个命 题的条件和结论分别是另一 原命题为“若 p , 条件 个命题的______ 结论 和_______, 则 q”,逆命题为 互逆命题 那么这样的两个命题叫做 若q,则p “___________” 互逆命题 ______________ ,其中一个 . 命题叫做原命题,另一个叫 逆命题 做原命题的____________.
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第1章 常用逻辑用语

栏目 内容 名称

定义 对于两个命题,其中一个 命题的条件和结论恰好是 另一个命题的 _______________ 和 条件的否定 _________________ ,这样 结论的否定 的两个命题叫做 互否命题. __________________ 如果把 其中的一个命题叫做原命 题,那么另一个叫做原命 题的____________. 否命题

表示形式

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互否命题

原命题为“ 若 p , 则 q” , 否命题为“ 若綈p,则綈 q”.

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第1章 常用逻辑用语

栏目 内容 名称

定义

表示形式

对于两个命题,其中 一个命题的条件和结 论恰好是另一个命题 结论的否定 的_______________ 条件的否定 和________________ , 原命题为“若p,则 互为逆否命题 这样的两个命题叫做 q”;逆否命题为“ 若綈q,则綈p . 互为逆否命题.如果 ______________” 把其中的一个命题叫 做原命题,那么另一 个叫做原命题的 逆否命题 _____________.
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第1章 常用逻辑用语

2.四种命题之间的相互关系

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第1章 常用逻辑用语

3.四种命题的真假性

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的
真假性 ; ___________ (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 没有关系. 真假性______________

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第1章 常用逻辑用语

问题探究

1.在四种命题中,原命题是固定的吗? 提示:不是.原命题是人为指定的,是相对 于其他三种命题而言的,可以把任何一个命 题看作原命题,进而研究它的其他形式. 2.在四种命题中,真命题的个数可能会有几 种情况? 提示:因为原命题和逆否命题,逆命题和否 命题互为逆否命题,它们同真同假,所以真 命题的个数可能为0,2,4.
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第1章 常用逻辑用语

课堂互动讲练

考点突破 命题的四种形式 写已知命题的四种形式时,首先要找出命题 的条件和结论,然后写出命题的条件的否定 和结论的否定,再根据四种命题的结构写出 所求命题.
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第1章 常用逻辑用语

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否

命题,并判断其真假: (1)若m,n都是奇数,则m+n是奇数; (2)若x+y=5,则x=3且y=2. 【思路点拨】 解答本题可先逐一分清两个

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命题的条件和结论,然后依据定义,写出其 逆命题、否命题和逆否命题,再利用有关知 识判断它们的真假.
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第1章 常用逻辑用语

【解】

(1) 逆命题:“若 m + n 是奇数,则 m

,n都是奇数”,假命题.
否命题:“若m,n不都是奇数,则m+n不是

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奇数”,假命题.
逆否命题:“若m+n不是奇数,则m,n不都

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是奇数”,假命题.

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第1章 常用逻辑用语

(2)逆命题:“若x=3且y=2,则x+y=5”,

真命题.
否命题:“若 x + y≠5 ,则 x≠3 或 y≠2”,真

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命题.
逆否命题:“若 x≠3 或 y≠2 ,则 x + y≠5”,

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假命题.

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第1章 常用逻辑用语

互动探究 1 如果将命题改为以下形式,试写 出它们的四种形式. (1)当x=2时,x2-3x+2=0; (2)两个全等三角形的面积相等. 解:(1)原命题:若x=2,则x2-3x+2=0. 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2. 否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0. 逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2.

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第1章 常用逻辑用语

(2) 原命题:若两个三角形全等,则它们的面 积相等. 逆命题:若两个三角形的面积相等,则它们 全等. 否命题:若两个三角形不全等,则它们的面 积不相等. 逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则 它们不全等.

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第1章 常用逻辑用语

四种命题真假的判断 对于命题在判断它的真假性时,如果直接判 断有难度,可以利用原命题与逆否命题、逆 命题与否命题的等价性,先判断等价命题的 真假,由等价命题的真假再确定原来命题的 真假.

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第1章 常用逻辑用语

下列命题中正确的是( ) ①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命 题; ②“正三角形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆 否命题; ④“若 x- 2是有理数, 则 x 是无理数”的逆 否命题.

例2

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第1章 常用逻辑用语

A.①②③④ C.②③④

B.①③④ D.①④

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【思路点拨】 → 判断其真假

确定条件和结论 → 所求命题

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第1章 常用逻辑用语

【解析】

①原命题的否命题为“若x2+y2=

0,则x,y全为零”.真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似,

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则这两个三角形是正三角形”.假命题
③原命题的逆否命题为“若x2+x-m=0无实 根,则m≤0”. ∵方程无实根, ∴判别式Δ=1+4m<0,
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第1章 常用逻辑用语

1 ∴m<- ≤0.真命题 4 ④原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数,则 x- 2不是有理数”. ∵x 不是无理数,∴x 是有理数. 又 2是无理数, ∴x- 2是无理数,不是有理数.真命题 故正确的命题为①③④,故选 B.

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第1章 常用逻辑用语

【答案】

B

互动探究 2

判断本例②中“正三角形都相似

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”的否命题和逆否命题的真假.

解:否命题:若两个三角形不是正三角形,
则它们不相似,假命题;

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逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不
都是正三角形,真命题.
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第1章 常用逻辑用语

等价命题的应用 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 即互为逆否命题的命题具有等价性,所以我们 在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可 以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地 证明原命题为真命题. 例3 判断命题“已知a,x为实数,若关于x 的不等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集非空, 则a≥1”的逆否命题的真假.

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【思路点拨】

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第1章 常用逻辑用语

【解】 法一:原命题的逆否命题: 已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式 x2 + (2a + 1)x + a2 + 2≤0 的解集为空集.判断 其真假如下: 抛物线 y = x2 + (2a + 1)x + a2 + 2 的图象开口向 上, 判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. 因为a<1,所以4a-7<0. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2的图象与x轴 无交点.
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第1章 常用逻辑用语

所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的 解集为空集. 故原命题的逆否命题为真. 法二:先判断原命题的真假: 2 因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x +(2a +1)x+a2+2≤0 的解集非空, 所以 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即 4a-7≥0, 7 7 解得 a≥ .因为 a≥ , 4 4 所以 a≥1,所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价, 所以逆否命题为真.
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第1章 常用逻辑用语

【名师点评】

命题的问题可以和其他很多

知识相结合,例如本题就是一道有关集合,
不等式的解集,二次函数的图象,四种命题

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的关系的综合题.要求对这几方面的内容非
常熟练,且要有一定的分析推理能力,通过

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一题多解,培养学生创新的能力.

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第1章 常用逻辑用语

方法感悟

1.在写命题的四种形式时,一定要先找出原命题 的条件和结论,把结论作为条件,条件作为结论 得到的命题为原命题的逆命题.把否定条件作为 条件,否定结论作为结论得到的命题为原命题的 否命题.否命题的逆命题为原命题的逆否命题. 2.一个命题与它的逆否命题同真同假,所以当一 个命题的真假不易判断时,往往可以判断原命题 的逆否命题的真假,从而判断出原命题的真假.

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