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2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标II卷(数学文)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 2 卷)
文科数学 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将

答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A=﹛-2,0,2﹜,B=﹛ x | x - x - 2 ? 0 ﹜,则 A ? B= (A) ? 【答案】B 【解析】 把 M={0,1,2}中的数,代入等式,经检验 x=2 满足。所以选 B. (B) ?2? (C) ?0? (D)
2

??2?

(2)

1 ? 3i ? 1? i
(B) ?1 ? 2i (C) 1-2i (D) ? 1-2i

(A) 1 ? 2i 【答案】B 【解析】

?

1+ 3i (1+ 3i )(1+ i ) - 2 + 4i = = = -1+ 2i ∴ 选B. 1- i 2 2

(3)函数 f ? x ? 在 x=x 0 处导数存在,若 p:f(x0)=0;q:x=x0 是 f ? x ? 的极值点,则


(A) p 是 q 的充分必要条件 (B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件
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(D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 【答案】C 【解析】

? 若f ′( x0 ) = 0, 则x0不一定是极值点∴命题p不是q的充分条件 ; ? 若x0是极值点 , 则f ′( x0 ) = 0∴命题p是q的必要条件 .所以, 选C.

(4)设向量 a , b 满足 |a+b|= 10 , |a-b|= 6 ,则 a·b= (A)1 【答案】A 【解析】 (B) 2 (C)3 (D) 5

?| a + b |= 10 ∴ a + b + 2ab = 10.?| a - b |= 6 ∴ a + b - 2ab = 6.两式相减,则 ab = 1.选A.
第一节 等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = (A) n ? n ? 1? 【答案】A 【解析】 (B) n ? n ?1?

2

2

2

2

(C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

? d = 2, a2 , a4 , a8成等比∴a4 = a2 a8,即(a2 + 2d ) 2 = a2 (a2 + 6d ), 解得a2 = 4, a1 = 2.
2

∴ S 2 = 6.经验证,仅A正确.选A.

第二节 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱 体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为

第三节 【答案】 【解析】 C

17 27

(B)

5 10 (C) 9 27

(D)

1 3

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? 加工前的零件半径为 3,高6, ∴体积v1 = 9π ? 6 = 54π. ? 加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴体积v2 = 4 π ? 4 + 9π ? 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体 积之比= 54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27

第四节 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1DC1 的 体积为 (A)3 【答案】 【解析】 C (B)

3 2

(C)1

(D)

3 2

? B1C1 // BD∴ BD // 面AB1C1 , 点B和D到面AB1C1的距离相等 1 1 ∴VD- AB1C1 = VB- AB1C1 = VC1 - ABB1 = ? ? 2 ? 3 ? 3 = 1.故选C. 3 2

(8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输出 的 S=

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【答案】 【解析】 D

x = 2, t = 2, 变量变化情况如下: M S K 1 2 2 故选D.
?x ? y ?1 ? 0 ? (9)设 x,y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
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3 5 7

1 2 3

(A)8 【答案】 【解析】 B

(B)7

(C)2 (D)1

画可行区域知为三角形 ,可以代值 .两两求解,得三点坐标 (1,0), (3,2), (0,1). 代入z = x + 2 y, 则最大值为 7.故选B.

(10)设 F 为抛物线 C : y2 =3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交于 C 于 A, B 两点,则 AB =

°

(A) 【答案】 【解析】

30 3
C

(B)6

(C)12

(D) 7 3

3 设AF = 2m, BF = 2n,F ( ,0).则由抛物线的定义和直 角三角形知识可得, 4 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 AB = AF + BF = 2m + 2n = 12.故选C.

(11)若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是 (A) ? ??, ?2? 【答案】 D 【解析】 (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

? f ( x)在(1,+ ∞)上递增, ∴ f ′( x) ≥0恒成立? f ( x) = kx - ln x ∴ f ′( x) = k 1 即k ≥ 1> .所以k ∈[1,+∞ ), 选D. x

1 ≥ 0. x

2 2 (12)设点 M (x 0 ,1) ,若在圆 O : x ? y =1 上存在点 N,使得 ?OMN ? 45 ,则 x 0 的取值范围是
°

(A) ??1,1? 【答案】 【解析】 A

(B) ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

(C) ? ? 2, 2 ? (D)

?

?

? 2 2? , ? ?? 2 2 ? ?

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在坐标系中画出圆 O和直线y = 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故选A.

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个考试考生都必须做答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 第五节 填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分。 第六节 甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服种选择 1 种,则他们选择相同颜 色运动服的概率为_______.

【答案】 【解析】

1 3

1 1 1 1 ?甲乙均选择红色的概率 为 ? .同理,均选择红、或蓝 色的概率也是 ? 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ? 他们选择相同颜色的概 率为 ? + ? + ? = . 3 3 3 3 3 3 3

第七节 函数

f ( x) ? sin(x ? ? ) —2 sin ? cos x 的最大值为_________.
【答案】 【解析】 1

f ( x) = sin(x + φ) - 2 sinφ cos x = sin x cosφ + cos x sin φ - 2 sin φ cos x = sin x cosφ - cos x sin φ = sin(x - φ) ≤ 1.故最大值为 1

(15)已知函数 【答案】 【解析】 3

f ? x?

的图像关于直线 x =2 对称, f (3) =3,则 f (?1) ? _______.

? f ( x)为偶函数∴ f (-1) = f (1) ? f ( x)图像关于x = 2对称∴ f (1) = f (3) = 3 ∴ f (-1) = 3
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1 ?a ? a 1 ? a n , a =2,则 a =_________. (16)数列 n 满足 n ?1 = 2 1

【答案】 【解析】

1 2

? a2 = 2, an+1 =

1 1 1 ∴a2 = 解得a1 = . 1 - an 1 - a1 2

第八节 解答题:解答应写出文字说明过程或演算步骤。 第九节 (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2. (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。

【答案】 【解析】 (1)

π C = ,BD = 7 3 (1)

(2)

2 3

设x = BD, 分别在ΔABD,ΔBCD中,对角A, C用余弦定理, 则 1+ 4 - x 2 9+ 4 - x2 , cosC = .? A + C = π ∴ cos A + cosC = 0 2? 2 2? 2? 3 1 π 联立上式解得 x = 7 , cosC = , 所以, C = ,BD = 7 2 3 cos A =
(2)

? A + C = π,C =

π 3 ∴ sinA = sin C = 3 2 1 1 3 AB ? AD ? sin A + CB ? CD ? sin C = (1+ 3) 2 2 2

四边形ABCD面积S ABCD = SΔABD + SΔBCD = = 2 3.所以,四边形ABCD面积为2 3

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第十节 (本小题满分 12 分) 如图,四凌锥 p—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA 上面 ABCD,E 为 PD 的点。 (I)证明:PP//平面 AEC; (II)设置 AP=1,AD= 3 ,三凌

P-ABD 的体积 V=

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离。 4

【答案】 【解析】 (1)

(1) 省略

(2)

3 13 13

设 AC 的中点为 G, 连接 EG。在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB//平 面 AEC. (2)

? PA⊥ 面ABCD∴ PA⊥ BC, PA是三棱锥P - ABD的高.设x = AB, A到面PBD的距离为h 3 1 1 1 3 , VP - ABD = S ΔABD ? PA = ? ? 3 ? x ? 1, ∴ x = 4 3 3 2 2 ? AB ⊥ BC, PA⊥ BC, AB∩P A = A ∴ BC ⊥ 面P AB,BC ⊥ P B,BC为三棱锥C - P AB的高, ?VP - ABD = ?VP - ABC = VA- PBC ? PA? AB ? BC = BC ? PB ? h,由勾股定理解得 PB2 = 所以,A到面PBC的距离为
第十一节

13 3 13 ∴h = 4 13

3 13 13

(本小题满分 12 分)

某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民。根据这 50 位市民

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(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 【答案】 【解析】 (1) 两组数字是有序排列的,50 个数的中位数为第 25,26 两个数。由给出的数据可知道,市民对甲部门评 分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77 所以,市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,77 (2) 甲部门评分数高于 90 共有 5 个、乙部门评分数高于 90 共有 8 个,部门的评分做于 90 的概率。因此, 估计市民对甲、乙部门的评分小于 90 的概率分别为 (1) 75,77 (2) 0.1,0.16

p甲 =

5 8 = 0.1, p乙 = = 0.16 50 50

所以,市民对甲、乙部门的评分大于 90 的概率分别为 0.1,0.16

第十二节

(本小题满分 12 分)

设 F1 ,F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 a 2 b2

MF1 与 C 的另一个交点为 N。 (I)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。

【答案】 【解析】 (1)

(1)

1 2

(2) a = 7, b = 2 7

MF 3 b 2 1 3 ?由题知, 1 = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2
(2)
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b2 由三角形中位线知识可 知,MF2 = 2 ? 2,即 = 4. a 设F1 N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 = a + ec, NF1 = a + e(- c),且MF1 : NF1 = 4 : 1, e = , 2 a 2 2 2 a = b + c .联立解得a = 7, b = 2 7 . 所以,a = 7, b = 2 7

第十三节

(本小题满分 12 分)

3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.

第十四节

求 a;

(II)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。 【答案】 【解析】 (1) (1) 1 (2) 省略

? f ( x) = x 3 - 3x 2 + ax+ 2 ∴ f ′( x) = 3x 2 - 6 x + a,f ′(0) = a 设切点A(0,2),切线与x轴交点为B(-2,0),则k AB = f ′(0),即 所以, a = 1
(2)

2-0 = a (2) 0+ 2

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当k < 1时,令f ( x) - kx + 2 = x 3 - 3 x 2 + x - kx + 4 = 0.则x 2 - 3 x + 1+ 4 4 2 x 3 - 3x 2 - 4 令g ( x) = x - 3 x + 1+ .则g ′( x) = 2 x - 3 - 2 = . x x x2 令h( x) = 2 x 3 - 3 x 2 - 4,则h′( x) = 6 x 2 - 6 x = 6 x( x - 1)
2

4 = k, x ≠ 0 x

∴当x ∈ (0,1)时,h′( x) < 0, h( x)递减. 当x ∈ (-∞ , 0),或(1, +∞ )时,h′( x) > 0, h( x)递增;且h(0) < 0, h(2) = 0. ∴ 当x < 2时,h( x) < 0, g ′( x) < 0, g ( x)在(-∞ , 0), (0,2)上递减; 当x > 2时,h( x) > 0, g ′( x) > 0, g ( x)在(0, +∞ )上递增; ∴ 当x ∈ (0,2)∪(0, +∞ )时,g ( x) ≥g (2) = 1 当x ∈ (-∞ , 0)时,单调递减,且 g ( x) ∈ (-∞ ,+ ∞ ) ∴当k < 1时,g ( x) = k仅有一个根点 ,图像如图所示 所以, 当k < 1时,y = f ( x)与y = kx - 2仅有一个交点

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 第十五节 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
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如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点, AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明:

(I)BE=EC; (II)AD·DE=2PB 。 【解析】 (1)
2

? PC = 2 PA, PD = DC, ∴ PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。 连接AB, 则∠PAB = ∠DEB = β ,∠BCE = ∠BAE =α . ?∠PAB+ ∠BCE = ∠PAB+ ∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB + ∠DBE ∴β + α = β + ∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.
(2)

? AD ? DE = BD ? DC, PA2 = PB ? PC, PD = DC = PA, ∴BD ? DC = (PA- PB)PA= PB ? PC - PB? PA = PB( ? PC - PA) PB ? PA = PB ? 2 PB = PB2

第十六节 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 p=2cosθ, θ ? [0,

? ]。 2

(I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标。

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第十七节

(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设函数 f(x)=|x+

1 |+|x-a|(a>0)。 a

(I)证明:f(x)≥2; (II)若 f(3)<5,求 a 的取值范围。

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 2 卷)

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