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深圳市宝安中学2016-2017学年度上学期高一期中考试数学试题


宝安中学 2016-2017 学年度上学期期中考试
高一数学试题
命题:余成军 审题:胡士军. 第Ⅰ卷(60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 M ? {1,3,5} , N ? {2,5} ,则 Venn 图中阴影 部分表示的集合是 A. {5} B. {1,3} C. {2, 4} ( ) D. {2,3, 4} ( y ) y

2.下列四个图形中不可能是函数 y

? f ( x) 图象的是
y

.

y

.

o

.
A

.

.

x

o B

x

o C

x

o D

x

24

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y

( )
t

?x

B. y ? ? x

3

C. y ?

1 x


D.

y ? ( )x

1 2

h

4.

3

2?
A. 2
5 6



3

B. 2
2 a ?1

3 2

C. 2

1 6

D. 2

? 1 ?3 ? ? ?2?

1

W

5.已知 f ( x) ? ax A. 2

? b ? 1是幂函数,则 a ? b ?
B. 1 C.

( )
M

L

1 2

D. 0

6.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 是定义域为 ? a, a ? 1? 的偶函数,则 a ? a ?
b





o

A. 0

B.

3 4

C. ?

1 2

D.

1 2

U

7.函数 y=ax﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是(



3

A.

B.

C.

D.

u

-1-

8.若集合 A ? {x | kx2 ? 2x ?1 ? 0} 只有一个元素,则实数 k 的取值集合为( ) A.

w

??1?

B. {0}

C. {?1, 0}

D. (??, ?1] ? {0}

G

0.3 , c ? 0.32 9.已知 a ? log 2 0.3 , b ? 2

,则 a, b, c 的大小关系是( C. b ? c ? a



h

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

D. c ? b ? a

D

10..设全集 U ? {x ? Z | ?5 ? x ? 5} ,集合 S ? {?1,1,3} ,若 CU P ?S ,则这样的集合 P 的个数共 有( )
J

A.3

B.4

C.7 (
S

D.8 )
g

N

11. 下列说法正确的个数有 ①函数 f ( x) ? lg(2 x ? 1) 的值域为 R;

? 2? ? 2? ②若 ? ? ? ? ? ,则 a ? b ; ? 3? ? 3?
③已知 f ( x) ? ?

a

b

P

? x3 ? 1 x ? 0 ?2017 x ? 1 x ? 0

,则 f ? f (0)? ? 1

F

④已知 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2016) ,则 f ( x ) 在 [1, 2016] 上是增函数 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个
g

8

12. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 域 为 (0, ??) 的 单 调 函 数 , 若 对 任 意 的 x ? (0, ??) , 都 有

1? ? f ? f ( x)? ? ? 2,则 f (2016) ? x? ?
A.





=

1 2016

B.

2015 2016

C.

2017 2016

D.

4033 2016

=

第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题:本大概题共 4 小题,每小题 5 分. 13.集合 M ? {a | 0 ? 2a ? 1 ? 5, a ? Z} 用列举法表示为_________. 14. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数

1 ? x ? v ? log 3 ? ?? 2 ? 100 ? ,单位是 m / s ,其中 x 表示鱼的耗氧量的单位数。则一条鲑鱼静止时
耗氧量的单位数是 .
-2-

15. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0]上是减函数,且 f(-2)=0,则 f(x)<0 的取值 范围为 16. 已知 2 ? 5 ? m, 且
a b

1 1 ? ? 1, 则 m ? a b
1 ? x ? 2} , 2

三.解答题: (17—22 题,共 70 分)解答应写出文字说明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A ? {x | 0 ? ax ? 1 ? 5}, B ? {x | ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 A ? B ; (Ⅱ)若 A ? B ? ? 且 a ? 0 ,求实数 a 的取值集合.

1 ? 2 ? 3 3 2 ? 2a b ? ?6 a b ? ? 18.(1)化简:

?

?
2 ? log 5 1 ? log 5 14 ? 10lg3 50

1

5

3a 6 b 6
(2)求值: log 5 35 ? 2 log 0.5

19. (本小题满分 12 分)已知幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点 ( 3, ) . (1)求函数 f ( x) 的解析式,并判断奇偶性; (2)判断函数 f ( x) 在 (??,0) 上的单调性,并用单调性定义证明. (3)作出函数 f ( x) 在定义域内的大致图像(不必写出作图过程).

?

1 3

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f ( x) ? lg ? lo1g?

? ?

B ? ? x| x ? 1,或 x ? 3 ?.
(1)求 A ? B, ?R B ? A ;

?1 x? 2 ? 2

?? ? 的定义域为集合 A ,集合 ?1 ??

?

?

(2) 若 2a ? A, 且 log2 ? 2a ?1? ? B, 求实数 a 的取值范围.

-3-

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ?1) ? f ( x) ? 2 x 2 ? 4 . (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)当 x ?[t , t ? 2], t ? R 时,求函数 f ( x ) 的最小值(用 t 表示).

22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 定 义 在 [? 4 , 4 ] 上 的 奇 函 数 f ( x) , 已 知 当 x ? [?4, 0] 时 ,

f (x ) ?

1 a ? ( a?R ) . 4 x 3x

(1)求 f ( x) 在 [0, 4] 上的解析式; (2)若 x ?[?2, ?1] 时,不等式 f ( x) ?

m 1 ? x ?1 恒成立,求实数 m 的取值范围. x 2 3

-4-

宝安中学 2016-2017 学年度上学期高一期中考试数学试题 参考答案 一、BCBC ADDC CDCC

100
二、13. {1, 2,3} 14.

?

.

15.

? ?2, 2?

16. 10

17.解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 A ? {x |1 ? x ? 6} ,所以, A ? B ? {x | ? (Ⅱ)因为 a ? 0 ,所以 A ? {x |

1 ? x ? 6} ……4 分; 2

1 6 ? x ? }; a a 1 1 由于 A ? B ? ? ,所以, ? 2 即 0 ? a ? a 2

综上所述:实数 a 的取值集合 ? 0, ? ……10 分。 2

? ?

1? ?

1 ? 2 ? 3 3 2 2 a b ? ? ?6 a b 1 1 1 1 5 ? ? ? ? 2 ? ? ?6 ? 2 ? ? 3 2 6 2 3 6 18.解: (1) ? a b ? ?4ab0 ? ?4a 1 5 3 3a 6 b 6

?

?

………6 分 (2)log535+2log0.5 ﹣log5 ﹣log514+10
g3

=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3 =1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3 =1﹣1+2+3=5. 19.解: (1)依题得: 故 f ( x) = x
- 2

……….12 分

1 = ( 3)? , \ ? = - 2. 3
y

.………………3 分

f (- x) = (- x)- 2 =

1 1 = 2 = x- 2 = f ( x ) , 2 (- x) x
x

所以, f ( x) 是偶函数……………………………………4 分 O (2)假设任意 x1 < x2 < 0,

f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1- 2 - x2- 2 =
\ f ( x1 ) < f ( x2 )

2 x2 - x12 ( x2 + x1 )( x2 - x1 ) 1 1 = = <0 2 2 2 x12 x2 x12 x2 x12 x2

\ f ( x) 在 (??,0) 上是增函数.………………8 分

(3)如图.…………………………………………………………12 分 20.解: (1). log 1 ( x ? 1) ? 0, ? 0 ?
2

1 2

1 x ? 1 ? 1, ? 2 ? x ? 4, 2

? A ? ? 2, 4 ? ,…2 分
-5-

, ? B ? ? ??,1? ? ?3, ???

??R B ? ?1, 3 ? ……4 分

? A ? B ? ? ??,1? ? ? 2, ??? ;

? ?? B? ? A ? ? 2 , 3
R

……6 分

(2)? 2a ? A,?2 ? 2a ? 4,?1 ? a ? 2

……8 分

?log2 ? 2a ?1? ? B,?log2 ? 2a ?1? ? 1或log2 ? 2a ?1? ? 3,?0 ? 2a ?1 ? 2或2a ?1 ? 8
1 3 9 ……10 分 ? ? a ? 或a ? 2 2 2 3 ?1 ? a ? . ……12 分 2
21.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,

? a ? x ? 1? ? b ? x ? 1? ? c ? ax 2 ? bx ? c
2

? 2ax 2 ? (2b ? 2a ) x ? a ? b ? 2c ? 2 x 2 ? 4

? 2a ? 2 ?a ? 1 ? ? ? ?2b ? 2a ? 0 解得? ?b ? 1 ? f ( x) ? x2 ? x ? 2 ? a ? b ? 2c ? 4 ?c ? 2 ? ?
(2)? f ( x) ? x ? x ? 2 的对称轴为 x ? ?
2

……6 分

1 2

当t ? ? 当t ? ?

1 5 1 ? 1? 7 ? t ? 2 即 ? ? t ? ? 时 f ( x)min ? f ? ? ? ? 2 2 2 ? 2? 4

1 2 2 时, f ( x) ? x ? x ? 2 在 x ?[t , t ? 2] 上单调递增, f ( x)min ? f ?t ? ? t ? t ? 2 2 5 2 当 t ? ? 时, f ( x) ? x ? x ? 2 在 x ?[t , t ? 2] 上单调递减, 2

f ( x)min ? f ?t ? 2? ? t 2 ? 5t ? 8
5 ?2 ?t ? 5t ? 8 t ? ? 2 ? 5 1 ?7 ?? ? ?t ?? 2 2 ?4 1 ?2 ?t ? t ? 2 t ? ? 2 ?

综上: f ( x ) min

…………12 分

-6-

22.解: (1) f ( x) 是定义在 [?4, 4] 上的奇函数,? f (0) ? 1 ? a ? 0, ? a ? ?1 ……2 分

? f ( x) ?

1 1 ? 4 x 3x

设 x ? [0, 4] ,?? x ? [?4, 0],

1 ? ? 1 ? f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ? ? ? x ? ? x ? ? 3x ? 4 x 3 ? ?4
? x ?[ 0 , 4 ] f ( x) ? 3x ? 4x 时,
(2)? x ?[?2, ?1] , f ( x) ? 即 …………6 分

m 1 1 1 m 1 ? x ?1 即 x ? x ? x ? x ?1 x 2 3 4 3 2 3

1 2 m ? ? 4 x 3x 2 x
x
x

x ?[ ?2 , ? 1 ] 时恒成立
x

?1? ? 2? ? 2 ? 0 ?? ? ? 2 ? ? ? ? m ? 2? ? 3? ?1? ? 2? ? g ( x) ? ? ? ? 2 ? ? ? 在 R 上单调递减, ?2? ? 3?
x x

……9 分

17 ?1? ? 2? ?1? ?2? ? x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ? ? ? 2 ? ? ? 的最大值为 g (?2) ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ?2? ? 3? ?2? ?3?
?m ? 17 2
…………12 分

x

x

?2

?2

-7-


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