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2.2.3向量数乘运算hjh


2.2.3向量的数乘运算

向量的加法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

b

a
a

o
a+b b

作法:在平面中任取 一点O, 过O作OA= a
过A作AB= b B 则OB= a+b.

/>A

向量的加法(平行四边形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.

a

b

作法:在平面中任取一点O,
b

o
a +b

B 过O作OB= b
以OA,OB为边作 平行四边形

过O作OA= a

a

A

C

则对角线 OC= a+b

向量的减法(三角形法则)
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.

a

b

作法:
在平面中任取一点O,

o
a a-b

b

B

a 过O作OB= b 则BA= a-b
过O作OA=

A

已知非零向量 a (如图)
a 试作出: a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)

a
O A

a
B

a
C

-a
N M

-a
Q

-a
P

相同向量相加以后, 和的长度与方向有什么变化?

一般地,实数λ与向量a的积是一个向量, 这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa, 它的长度和方向规定如下:
(1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当λ=0或a=0时, λa=0

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零 向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3(2a )

? b ?

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

a

? ? 2a ? 2b

? 2b
? 2a

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 ? ? 对于任意的向量 a、b, 以及任意实数 ?、?1、?2, 恒有

? ? ? ? ?(?1a ? ?2b)=??1a ? ??2b

例1.计算:

? (1)(?3) ? 4a; -12a ? ? ? ? ? (2)3(a ? b) ? 2(a ? b) ? a; 5b ? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c) ? (3a ? 2b ? c). -a+5b-2c

对于向量 a (a≠0), b ,以及实数λ,μ
问题1:如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线? 问题2:如果 向量a与b共线 那么,b=λa ? 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一个实数λ,使得 b=λa

向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一个实数λ,使得 b=λa

例2 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。
C A B D E

??? ? ? ? ? ? 例2.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作 OA ? a ? b, ??? ? ? ? ??? ? ? ? OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么? ? ? a b
C

? 3b ? 2b

B

A

? b
O

? a

??? ? ? ???? ? 例3.如图, ABCD 的两条对角线相交于点M,且 AB ? a, AD ? b, ? ? ???? ???? ???? ? ???? ? 你能用 a 、 b 来表示 MA 、 MB、 MC 和 MD 。

?

D M

C

b
A

? a

B

小结回顾
一、①λ

a 的定义及运算律

②向量共线定理
b=λa

(a≠0)
向量a与b共线
A,B,C三点共线

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:

AB=λCD

AB∥CD

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。
提示:设AB = a BC = b

如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
A

D

C

N M B


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