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两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件


第3课时

两角和与差的正弦、

余弦和正切公式

2014高考导航
考纲展示 的余弦公式. 角差的正弦、正切公式. 备考指南 弦、余弦、正切公式进 求值是高考中常考点.

1.会用向量的数量积推导出两角差 1.利用两角和与差的正 2.能利用两角差的余弦公式导出两 行三角函数式的化简、 3

.能利用两角差的余弦公式导出两 2.公式逆用、变形应用 角和的正弦、余弦、正切公式,进 是高考热点.

而导出二倍角的正弦、余弦、正切 3.题型以选择题、解答
公式,并了解它们的内在联系. 题为主.

目录

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 cosαcosβ-sinαsinβ (1)cos(α+β)=______________________,

cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=_______________________;
sinαcosβ+cosαsinβ (2)sin(α+β)=______________________, sin αcos β-cos αsin β sin(α-β)=________________________;

目录

tan α+tan β 1-tan αtan β (3)tan(α+β)=____________________, tan α-tan β 1+tan αtan β tan(α-β)=_____________________. π (α,β,α+β,α-β 均不等于 kπ+ ,k∈Z) 2 tan(α+β)(1-tanαtanβ) 其变形为:tan α+tan β=________________________, tan(α-β)(1+tanαtanβ) tan α-tan β=_______________________________. 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 2sinαcosα (1)sin 2α=___________________; (2)cos 2α=______________=________-1=1-______; 2cos2α 2sin2α cos2α-sin2α 2tan α kπ π π 2 (3)tan 2α=_________ (α≠ + 且 α≠kπ+ ,k∈Z). 1-tan α 2 4 2

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课前热身
?π+θ?=1,则 sin 2θ=( 1.(2011· 高考辽宁卷)设 sin 4 ? ? 3
7 A.- 9 1 C. 9 1 B.- 9 7 D. 9 )

?π+θ ?= 2(sin θ+cos θ)=1,将上式两边平 解析:选 A.sin 4 ? ? 2 3
1 1 7 方,得 (1+sin 2θ)= ,∴sin 2θ=- . 2 9 9

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π 4 2.已知 x∈(- ,0),cos x= ,则 tan 2x=( 2 5 7 A. 24 24 C. 7 7 B.- 24 24 D.- 7
2

)

3 sin x 解析: D.依题意得 sin x=- 1-cos x=- , x= 选 tan 5 cos x 3 2× (- ) 4 3 2tan x 24 =- ,所以 tan 2x= = =- ,故选 D. 4 3 2 7 1-tan2x 1-(- ) 4
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cos 2α 2 3.若 =- ,则 cos α+sin α=( π? 2 ?α- sin ? 4? 7 A.- 2 1 C. 2 1 B.- 2

)

7 D. 2 cos2α-sin2α 2 解析:选 C.由已知条件 =- , 2 2 2 sin α- cos α 2 2
1 则 cos α+sin α= . 2
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4.化简:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=________. 解析:原式=sin(α+β-β)=sin α.

答案:sin α
1 π α 5.若 cos α= ,其中 α∈(- ,0),则 sin 的值是________. 2 2 2
1-cos α 1 解析:sin = = . 2 2 4


α ? π ?,∴sinα=-1 又 ∈ - 4,0 2 ? ? 2 2

1 答案:- 2
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 三角函数公式的直接应用 (1)(2013· 陕西宝鸡模拟)设 α,β 均为锐角,且 cos(α )

例1

+β)=sin(α-β),则 tan α 的值为( A.2 C.1 B. 3 3 D. 3

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5 π (2)(2013· 济南市调研)已知 α 为锐角, α= , tan( + cos 则 5 4 2α)=( A.-3 C.- 4 3 ) 1 B.- 7 D.-7

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【解析】

(1)由已知得 cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-

cos αsin β,所以 cos α(cos β+sin β)=sin α(cos β+sin β). 因为 β 为锐角,所以 sin β+cos β≠0,所以 sin α=cos α,即 tan α=1,故选 C. 2 5 2×2 4 (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- , 5 3 1-4 4 1- 3 π 1 所以 tan( +2α)= =- . 4 4 7 1+ 3 【答案】 (1)C (2)B
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【规律小结】

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公

式的推广,可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数,在使

用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的
关系,完成统一角和角与角转换的目的.

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跟踪训练
π 1 π 1.已知 α∈(0, ),tan α= ,求 tan 2α 和 sin(2α+ )的值. 2 2 3 1 2× 2 2tan α 4 解:tan 2α= = = . 1 2 3 1-tan2α 1-( ) 2
π 4 ∵α∈(0, ),2α∈(0,π),tan 2α= >0, 2 3 π 4 3 π ∴2α∈(0, ),∴sin 2α= ,cos 2α= ,∴sin(2α+ )= 2 5 5 3 π π 4 1 3 3 4+3 3 sin 2α· +cos 2α· = × + × = cos sin . 3 3 5 2 5 2 10
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考点 2

三角函数公式的逆用与变形应用 )

π 例2 (1)函数 f(x)= 3sin x+cos? +x ?的最大值为( ?3 ? A.2 B. 3 1 C.1 D. 2 1 2cos x-2cos x+ 2 (2)化简: =________. ?π -x?sin2?π +x? 2tan ?4 ? ?4 ?
4 2

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【解析】

π π (1)f(x)= 3sin x+cos ?cos x-sin sin x 3 3

1 3 ?x+π ?.∴f(x) =1. = cos x+ sin x=sin max 2 2 6? ? 1 (4cos4x-4cos2x+1) 2 (2)原式= ?π -x ? sin ?4 ? 2?π 2? · cos -x? ?4 ? ?π -x? cos ?4 ? (2cos2 x-1) 2 cos22x cos22x 1 = = = = cos 2x. 2cos 2x 2 π π π 4sin? -x? cos? -x ? 2sin? -2x ? ?4 ? ?4 ? ?2 ?
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【答案】

1 (1)C (2) cos 2x 2

【规律小结】

运用两角和与差的三角函数公式时,不但要

熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β= tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆 用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更

能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有
熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.

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跟踪训练
3π 2.(1)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________; 4

? 1 -tan 5° ?=________. (2)sin 10° tan 5° ? ?
tan α+tan β 3π 解析:(1)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2.

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?cos 5°- sin 5° ? (2)sin 10°? sin 5° cos 5° ? ? ?
cos25°-sin25° =sin 10°? sin 5°cos 5° cos 10° =sin 10°? . 1 sin 10° 2 =2cos 10°.

答案:(1)2 (2)2cos 10°

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考点 3

角的变换

π π 2 1 例3 (1)已知 tan(α+β)= ,tan?β- ?= ,那么 tan?α+ ? 5 ? 4? 4 ? 4? 等于( 13 A. 18 3 C. 22 ) 13 B. 22 1 D. 6

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π π (2)(2011· 高考浙江卷)若 0<α< ,- <β<0, 2 2

?π+α?=1,cos?π-β ?= 3,则 cos?α+β ?=( cos 4 ?4 2 ? 3 ? 2? ? ? 3
3 A. 3 5 3 C. 9 3 B.- 3 6 D.- 9

)

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【解析】

π ?β-π ?, (1)因为 α+ =(α+β)- 4 ? 4?

?α+π ?=tan?(α+β)-?β- π ?? 所以 tan ? 4? ? ? 4 ?? ?β-π ? tan(α+β)-tan ? 4? 3 = = . π ? 22 1+tan(α+β)tan?β-4 ? ?

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π π π 3π (2)∵0<α< ,∴ <α+ < . 2 4 4 4

?π+α ?=1,∴sin?π+α ?=2 2. ∵cos 4 ? ? 3 ?4 ? 3
π π π β π ?π-β ?= 3, ∵- <β<0,∴ < - < .∵cos?4 2 ? 2 4 4 2 2 3

?π-β ?= 6.∴cos?α+β ?=cos??π+α?-?π -β? ? ∴sin?4 2 ? ? 2? ??4 ? ?4 2? ? 3 ?π+α ?cos?π-β ?+sin?π+α?sin?π-β ? =cos 4 ? ? ?4 2 ? ?4 ? ?4 2 ?
1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9

【答案】

(1)C

(2)C
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【思维升华】

(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示

为两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成 “已知角”. (3)常见的配角技巧: α 1 α=2·; α=(α+β)-β; α=β-(β-α); α= [(α+β)+(α-β)]; 2 2 1 π π ?π β= [(α+β)-(α-β)]; +α= - 4-α ?. 2 4 2 ? ?
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跟踪训练
5 3.(2013· 东北三校联考)设 α、 都是锐角, cos α= , β 且 sin(α 5 3 +β)= ,则 cos β=( 5 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 ) 2 5 B. 5 5 5 D. 或 5 25

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2 5 解析:选 A.依题意得 sin α= 1-cos α= ,cos(α+β)= 5
2

4 ± 1-sin (α+β)=± . 5
2

又 α、β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β), 4 5 4 4 注意到 > >- ,所以 cos(α+β)=- . 5 5 5 5 4 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- 5 5 3 2 5 2 5 × + × = ,故选 A. 5 5 5 25
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方法感悟
1.三角函数式的化简是指综合利用诱导公式、同角基本关系 式、两角和与差的三角函数公式及二倍角公式,将较复杂的 三角函数式进行化简.化简的方法主要有异角化同角、复角 化单角、异次化同次、切函数化弦函数等,化简的结果必须 是最简形式. 2.三角函数的求值问题要始终围绕“角”做文章,角与角的 联系,特殊角的相互转换,角的分解,角的合并等,都在求 值的过程中起重要的作用. 例如常见的几种角的变换:α=(α +β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α α -β),α=2× 等. 2
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名师讲坛精彩呈现
难题易解
破解三角函数求值问题



?α+π ?=4,则 (2012· 高考江苏卷)设 α 为锐角,若 cos ? 6? 5

?2α+ π ?的值为________. sin 12? ?

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抓信息 破难点

?α+π ?=4求 sin α 与 cos α 的值时,不易求解. (1)由 cos ? 6? 5 ?α+π ? 和 ?2α+ π ? 关 系 不 明 朗 , 需 仔 细 观 察 , 即 (2) 12? ? 6? ? ?2α+ π ?=2?α+π ?-π. 12? ? ? 6? 4

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?α+π ?=4, 【解析】 ∵α 为锐角且 cos ? 6? 5 ?α+π ?=3.∴sin 2?α+π ?=24,cos 2?α+π ?= 7 , ∴sin ? 6? 5 ? 6 ? 25 ? 6 ? 25 ?2α+ π ?=sin?2?α+π ?-π ? ∴sin 12? ? ? ? 6 ? 4? ?2?α+π ? ?· π-cos?2?α+π ? ?· π =sin ? ? 6 ? ? cos4 ? ? 6 ? ? sin 4
24 2 7 2 17 2 = × - × = . 25 2 25 2 50

17 2 【答案】 50
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【方法提炼】

解决条件求值的问题时,要充分利用条件,

其解题技巧主要体现在角的拆分变换,其中包括:已知角与

特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变
换、两角与其和差角的变换.

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跟踪训练
π 2 3 7π 4.已知 cos(α+ )-sin α= ,则 sin(α- )的值是( 6 3 6 2 3 A.- 3 2 C.- 3 2 3 B. 3 2 D. 3 )

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π 2 3 解析:选 D.由 cos(α+ )-sin α= , 6 3 3 3 2 3 得 cos α- sin α= , 2 2 3 3 1 2 即-( sin α- cos α)= , 2 2 3 π 2 即 sin(α- )=- . 6 3 7π π 所以 sin(α- )=sin(α- -π) 6 6 π 2 =-sin(α- )= ,故选 D. 6 3
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知能演练轻松闯关

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