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第二章


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章末检测

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y=ln(x-1)的定义域是( ) A.(1,2) B.[1,+∞) C.(1,+∞) D.(1,2)∪(2,+∞) 2.若 xlog23=1,则 3x+9x 的值为( ) 5 1 A.3 B. C.6

D. 2 2 3.已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是( ) - A.y=logax 与 y=(logxa) 1 B.y=alogax 与 y=x C.y=2x 与 y=logaa2x D.y=logax2 与 y=2logax 4.若函数 y=ax+m-1 (a>0,a≠1)的图象在第一、三、四象限内,则( ) A.a>1 B.a>1,且 m<0 C.0<a<1,且 m>0 D.0<a<1 1 ? 5.已知函数 f(log4x)=x,则 f? ) ?2?等于( 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 6.已知函数 y=loga(3a-1)的值恒为正数,则 a 的取值范围是( ) 1 1 2 A.a> B. <a≤ 3 3 3 1 2 C.a>1 D. <a< 或 a>1 3 3 ?x>0??3x ?x≤0? , 7.已知函数 f(x)={log3x 1 则 f[f( )]的值是( ) 9 1 A.9 B. 9 1 C.-9 D.- 9 8.已知 f(x)={?3a-1?x+4a ?x<1??logax ?x≥1? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是( ) 1 ? A.(0,1) B.? ?0,3? 1 1? ?1,1? , C.? D. ?7 3? ?7 ? 1 9.已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21-loga 3,则( 2 A.x>y>z B.z>y>x C.y>x>z D.z>x>y 1 x 10.关于 x 的方程 a =log x(a>0,且 a≠1)( ) a A.无解 B.必有唯一解 C.仅当 a>1 时有唯一解 D.仅当 0<a<1 时有唯一解

)

2 11.函数 y=lg( -1)的图象关于( ) 1-x A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.原点对称 D.y=x 对称 1 ? -x ?x≤0??x ?x>0? , 12.设函数 f(x)=?2 -1 2 ? 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 y=log(2x-1) 3x-2的定义域是__________________. 1 14.函数 f(x)=log (x2-3x+2)的递增区间是__________. 2 1 15.已知函数 f(x)=a- x ,若 f(x)是奇函数,则 a=________. 2 +1 ? 1?x 16.给出函数 f(x)=?? ?x≥4??f?x+1? ?x<4? , ??2? 则 f(log23)=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(12 分)计算: 3? 2 1 -1 0 (1)? ?-38?-3+(0.002)-2-10( 5-2) +( 2- 3) ; 2 (2)2lg 5+ lg 8+lg 5· lg 20+lg22. 3

18.(12 分)若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0 且 a≠1)的定义域和值域均为[0,1],求 a 的值.

1 19.(12 分)已知函数 f(x)=-2x ,求 f(x)的定义域,并证明在 f(x)的定义域内,当 x1<x2 2 时,f(x1)>f(x2).

20.(12 分)已知函数 f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且 a≠1),令 F(x)=f(x)- g(x). (1)求函数 y=F(x)的定义域; (2)判断函数 y=F(x)的奇偶性.

21.(12 分)已知函数 f(x)=3x,且 f(a)=2,g(x)=3ax-4x. (1)求 g(x)的解析式; (2)当 x∈[-2,1]时,求 g(x)的值域.

1 1-ax 22.(14 分)设 f(x)=log ( )为奇函数,a 为常数. 2 x-1 (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(1,+∞)内单调递增; 1 (3)若对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)>( )x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

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答案

1.C 2.C [xlog23=1?log23x=1, ∴3x=2,9x=(3x)2=22=4, ∴3x+9x=6.] 3.C [对 A,解析式不同,定义域不同;对 B,定义域不同;对 D,定义域不同;对 C,是相等函数.] 4. B [由函数 y=ax+m-1 (a>0, a≠1)的图象在第一、 三象限知 a>1.又过第四象限内, ∴a0+m-1<0,则有 m<0.] 1 1 5.D [令 log4x= ,则 x=4 =2.] 2 2 ?a>1 ? 6.D [由 y>0 得:? ?3a-1>1 ? ?0<a<1 ? 或? , ?0<3a-1<1 ? 1 2 解得 a>1 或 <a< .] 3 3 7.B 8.C [当 x=1 时,logax=0,若为 R 上的减函数,则(3a-1)x+4a>0 在 x<1 时恒成立. 令 g(x)=(3a-1)x+4a,则 g(x)>0 在 x<1 上恒成立,故 3a-1<0 且 g(1)≥0,

? ?3a-1<0, 1 1 即? ? ≤a< ,故选 C.] 7 3 ?3a-1+4a≥0. ?

9.C [x=loga 2+loga 3=loga 6, 1 21 y= loga5=loga 5,zloga 21-loga 3=loga =loga 7, 2 3 ∵0<a<1,∴y=logax 在定义域上是减函数. ∴y>x>z.] 10.B 1 [在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y=ax,y=log x 的图象. a

1 由图象可知方程 ax=log x 必有唯一解.] a 1+x 2 11.C [f(x)=lg( -1)=lg , 1-x 1-x 1-x 2 f(-x)=lg =-f(x),所以 y=lg( -1)的图象关于原点对称,故选 C.] 1+x 1-x 12.D [当 x≤0 时, - 由 2 x-1>1 得 x<-1; 1 当 x>0 时,由 x >1 得 x>1.] 2 2 13.( ,1)∪(1,+∞) 3 解析 由题意得 0<2x-1<1 或 2x-1>1,且必须满足 3x-2>0, 2 ∴x 的取值范围是( ,1)∪(1,+∞). 3 14.(-∞,1) 1 15. 2 1 解析 方法一 函数 f(x)=a- x 的定义域为 R,且为奇函数, 2 +1 1 1 ∴f(0)=0,即 a- 0 =0,∴a= . 2 2 +1 1 2x 方法二 f(-x)=a- -x =a- , 2 +1 1+2x ∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x), 1 2x ∴a- x =-a+ . 2 +1 1+2x 2x+1 1 ∴2a= x =1,∴a= . 2 2 +1 1 16. 24 解析 ∵log23<4, ∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+3) =f(log224), 1? ∵log224>4,∴f(log224)=? ?2?log224



1 . 24

2 3? 2 ? 1 ? 1 10 3 - + 17.解 (1)原式=(-1)- ? - - +1 3? 8? 3 ?500? 2 5-2 27? 2 1 =? ? 8 ?-3+5002-10( 5+2)+1 4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9 2 3 (2)原式=2lg 5+ lg 2 +lg 5· lg(4×5)+lg22 3 =2lg 5+2lg 2+2lg 5· lg 2+lg25+lg22 =2(lg 5+lg 2)+2lg 5· lg 2+lg25+lg22 2 =2+(lg 5+lg 2) =2+1=3. 18.解 当 a>1 时,函数 f(x)在区间[0,1]上为增函数, ? ?f?0?=0 ∴? ,解得 a=2. ?f?1?=1 ? 当 0<a<1 时, 函数 f(x)在区间[0,1]上为减函数, ?f?0?=1 ? ∴? ,方程组无解. ? ?f?1?=0 综上可知 a=2. 1 19.解 ∵f(x)=-2x =-2 x, 2 ∴函数 f(x)的定义域为[0,+∞), 当 0≤x1<x2 时, 1 1 f(x1)-f(x2)=-2x 1+2x 2 2 2 x2-x1 =2( x2- x1)=2 , x2+ x1 ∵0≤x1<x2, ∴x2-x1>0, x2+ x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ? ?x+1>0 20.解 (1)由? ,解得-1<x<1, ? ?1-x>0 故函数 F(x)的定义域是(-1,1). (2)因为函数 F(x)的定义域关于原点对称,且 F(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) 1-x 1+x =loga =-loga 1+x 1-x =-[loga(x+1)-loga(1-x)] =-F(x), 所以 F(x)是奇函数. 21.解 (1)由 f(a)=2,得 3a=2,a=log32, ∴g(x)=(3a)x-4x=(3log32)x-4x =2x-4x=-(2x)2+2x. 1 (2)设 2x=t,∵x∈[-2,1],∴ ≤t≤2. 4 12 1 2 g(t)=-t +t=-(t- ) + , 2 4

1 由 g(t)在 t∈[ ,2]上的图象可得, 4 1 1 当 t= ,即 x=-1 时,g(x)有最大值 ; 2 4 当 t=2,即 x=1 时,g(x)有最小值-2. 1 故 g(x)的值域是[-2, ]. 4 22.(1)解 ∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x), 1 1+ax 1 1-ax ∴log ( )=-log ( ) 2 -x-1 2 x-1 1+ax x-1 ? = >0 -x-1 1-ax ?1-a2x2=1-x2?a=± 1. 检验 a=1(舍), ∴a=-1. (2)证明 任取 x1>x2>1, ∴x1-1>x2-1>0, 2 2 ∴0< < ? x1-1 x2-1 2 2 0<1+ <1+ x1-1 x2-1 x1+1 x2+1 ?0< < x1-1 x2-1 1x1+1 1x2+1 ?log >log , 2x1-1 2x2-1 即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(1,+∞)内单调递增. 1 (3)解 f(x)-( )x>m 恒成立. 2 1 令 g(x)=f(x)-( )x,只需 g(x)min>m, 2 用定义可以证明 g(x)在[3,4]上是增函数, 9 ∴g(x)min=g(3)=- , 8 9 ∴m<- 时原式恒成立. 8 9 即 m 的取值范围为(-∞,- ). 8


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