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2014再谈解题切入点的找寻


再谈解题切入点的找寻 求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点,那么,如何寻找解题的切入点 呢?文[1]做出了一些有益的探索,本文结合实例再谈一些具体做法。 1. 紧扣定义 理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙,也是寻找解题切入点的一条重 要途径。 2 2 例 1. 若点 M(x,y)满足 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? | x ? y ? 3 |?

0 ,则点 M 的轨迹是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 2 2 解:由 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? | x ? y ? 3 |? 0 , ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 得 ? 2 | x ? y ?3| 2 此式可以看成是动点 M(x,y)到定点(-3,1)与到定直线 x ? y ? 3 ? 0 距离之比 为 2 的点的轨迹,根据圆锥曲线的定义,此轨迹为双曲线,故选 C。 注:本题若移项再平方,可进行化简,但表达式中会出现 xy 项,对曲线的形状的判 断有点难度,通过对原式的合理变形,利用圆锥曲线的定义则能很快解决。 2. 深挖隐含 隐含条件是指隐而不显,含而不露的已知条件,它们常常巧妙地隐藏在题目的背后, 极易被解题者忽视,从而造成错解或繁解,甚至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少 运算量,简化或避免复杂的变化与讨论,找到解题切入点,使问题简捷获解。 例 2. 已 知 x , y 是 实 数 , 且 满 足 ( x ? 1) 3 ? 1997 ( x ? 1) ? ?1 , ( y ? 1) 3 ? 1997 ( y ? 1) ? 1 ,则 x ? y ? _________。 分析:按常规思路是解方程分别求出 x 和 y,而 x,y 无法求出,思维受阻。若观察 题目条件,发现 ( x ? 1) ? 1997 ( x ? 1) 与 ( y ? 1) ? 1997 ( y ? 1) 具有对称性。 3 3 若令 f (t ) ? t ? 1997 t ,则 3 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 3 ? 1997 ( x ? 1) , f ( y ? 1) ? ( y ? 1) 3 ? 1997 ( y ? 1) 。这样使两方 程联系起来。 解:令 f (t ) ? t ? 1997 t 3 则 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1997 ( x ? 1) ? ?1 3 f ( y ? 1) ? ( y ? 1) 3 ? 1997 ( y ? 1) ? 1 又易知 f ( x) 在 R 上是奇函数,则 f ( x ? 1) ? ? f ( y ? 1) ? f (1 ? y) ,又 f ( x) 在 R 上是增函数,故 x ? 1 ? 1 ? y ,即 x? y ? 2。 例 3. 解方程组 ?| x ? 1 | ? | 1 ? y |? 4 ? ?| x ? 1 |? 3 y ? 3 (1) (2) 分析:此题按常规方法,需要分四种情况,讨论去掉绝对值符号,然后解方程组。但 我们观察(2)式可以挖掘出一个隐含条件 y ? 1 ? 0 ,利用这个隐含条件可以避免讨论。 解:由(2)知 y ? 1 ? 0 , (1)式可以变形为 | x ? 1 | ?( y ? 1) ? 4 (3) 由(2) , (3)解得 | x ? 1 |? 3 ? x1 ? 2,x2 ? ?4 ,分别代入(2)得原方程组的解为 ? x1 ? 2 ? x2 ? ?4 , ? ?

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