当前位置:首页 >> 数学 >>

4.2.1直线与圆的位置关系


如果我们把太阳看成一个圆, 地平线看成一条直线,那你能根 据直线与圆的公共点的个数想 象一下,直线和圆的位置关系 有几种?

地平线

你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点的个数有 三种 种 情况。

1、想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系? 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系? (1)直线与圆相交

, 直线和圆有两个公共点;

(2)直线与圆相切, 直线和圆只有一个公共点;
(3)直线与圆相离, 直线和圆没有公共点.

(1)

(2)

(3)

直线和圆的位置关系

r

d

C
l

C l

C l

相交:d

?r

相切:d

?r

相离:d

?r

直线与圆的 位置关系

相交

相切

相离
O r d





A

O r d

l B

O r d A

l

l

公共点个数 公共点名称

直线名称
圆心到直线距离 d与半径r的关系

2个 交点 割线 d<r

1个 切点 切线
d=r

没有

d>r

2、我们前面刚学习了直线方程和圆的方程, 想想如何用直线方程和圆的方程判断它们之间 的位置关系?

看看以下例题,从问题中总结规律.

例1.已知直线l : 3x ? y ? 6 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0
判断l与圆的位置关系 解:几何法 y B

x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 2 2 x ? ( y ?1) ? 5
圆心C(0,1)r ? 5 C到直线l的距离为d

d C
O A x

d?

| 3? 0 ?1? 6 | 3 ?1
2 2

5 10 ? ? ? 5 2 10

所以直线l与圆相交 有两个公共点

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

直线和圆的位置关系的判断方法
几何方法
确定圆的圆心坐标和半径 r

计算圆心到直线的距离 d

判断 d与圆半径r的大小关系

?d ? r, 直线与圆相离 ? ?d ? r, 直线与圆相切 ?d ? r, 直线与圆相交 ?

2 2 l : 3 x ? y ? 6 ? 0 x ? y ? 2y ? 4 ? 0 ? 例1.已知直线 与圆

? 判断l与圆的位置关系 解:代数法

联立圆和直线的方程得 ?3x ? y ? 6 ? 0 ① ? 2 2 x ? y ? 2y ? 4 ? 0 ② ? 由①得 y ? ?3x ? 6 ③ 把上式代入②

y

B

C O A x

x ? 3x ? 2 ? 0 ④ 2 ? ? (?3) ? 4 ?1? (2) ? 1 ? 0
2

所以方程④有两个不相等的实根x1,x2

把x1,x2代入方程③得到y1,y2 所以直线l与圆有两个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2)

直线和圆的位置关系的判断方法
代数方法
把直线方程代入圆的方程

得到一元二次方程

求出△的值

? ? ? 0,直线与圆相交 ? ? ? ? 0, 直线与圆相切 ? ? ? 0, 直线与圆相离 ?

直线和圆的位置关系的判断方法 几何方法
确定圆的圆心坐标和半径r

代数方法
把直线方程代入圆的方程

计算圆心到直线的距离 d

得到一元 二次方程

判断 d 与圆半径 r 的大小关系

求 出 △ 的 值

?d ? r, 直线与圆相离 ? ?d ? r, 直线与圆相切 ?d ? r, 直线与圆相交 ?

? ? ? 0,直线与圆相交 ? ? ? ? 0, 直线与圆相切 ? ? ? 0, 直线与圆相离 ?

应用:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到 气象台的台风预报:台风中心位于轮船正70km处 ,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域,已 知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船 不改变航线,那么它是否会受到台风的影响? 分析:以台风中心为原点O,东 (0,4) 西方向为x轴,建立如图所示的 直角坐标系,其中,取10km为单 位长度. 问题归结为圆O与直线l 是否有交点
圆C : x ? y ? 9
2 2

l

(7,0)

x y 直线l : ? ? 1 ? 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 7 4

2 2 l : 3 x ? y ? 6 ? 0 x ? y ? 2y ? 4 ? 0 ? 例1.已知直线 与圆

? 判断l与圆的位置关系 (1)如果相交,求他们的交点坐标
解:
由 x2

? 3x ? 2 ? 0 ,解得:

x1 ? 2, x2 ? 1


y1 ? 0 x1 ? 2,代入方程①,得 x2 ? 1



x1 ? 把 2, x2 ? 1代入方程① ,得 y2 ? 3.
所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是: A(2,0),B(1,3)

2 2 l : 3 x ? y ? 6 ? 0 x ? y ? 2y ? 4 ? 0 ? 例1.已知直线 与圆

? 判断l与圆的位置关系

(2)如果相交,求直线被圆所截得的弦长
法一:
A(2,0),B(1,3)

AB ?
法二:

?2 ? 1?2 ? (0 ? 3) 2

? 10

5 10 由d ? ? , 2 10

r? 5

AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 10

2 2 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 M ( ? 3 , ? 3 ) 例2 已知过点 的直线被圆

所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.
解:将圆的方程写成标准形式,得:

x ? ( y ? 2) ? 25
2 2

如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ,所以弦心距为

4 5 2 5 ?( ) ? 5 2
2

即圆心到所求直线的距离为 5 .

2 2 例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0

所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.
因为直线l 过点 当斜率存在时, 可设所求直线l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 3) 即: kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离: , M (?3,? 3)

d?
因此:

| 2 ? 3k ? 3 | k2 ?1
k ?1
2

| 2 ? 3k ? 3 |

? 5

例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0
2 2

所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.
即: | 3k ? 1 |?

5 ? 5k 2
2

两边平方,并整理得到: 2k ? 3k ? 2 ? 0

1 解得: k ? ? ,或k ? 2 2

所以,所求直线l有两条,它们的方程 分别为: 1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2
即:

x ? 2 y ? 9 ? 0,或2x ? y ? 3 ? 0

当斜率不存在时,x=-3不符合题意

思考: 设直线
求实数m的值。

mx? y ? 2 ? 0 和圆 x ? y ? 1 相切,
2 2

思考: 设直线

mx? y ? 2 ? 0 和圆 x ? y ? 1 相切,
2 2

求实数m的值。
解法一:已知圆的圆心为O( 0, 0), 半径r =1,

则O到已知直线的距离

y

d?

m ? 0 ? (?1) ? 0 ? 2 m 2 ? (?1) 2

?

2 m2 ? 1

(0,2)

由已知得 d=r , 即 解得 m=

2 m ?1
2

?1

x O

? 3

思考: 设直线

mx? y ? 2 ? 0 和圆 x ? y ? 1 相切,
2 2

求实数m的值。 解法二:把直线方程与圆的方程 联立得

? y ? mx ? 2 ① ? 2 2 ? x ? y ? 1②
2 2

把①代入②中 得
y 2

(1 ? m ) x ? 4mx? 3 ? 0
由直线和圆相切可得:

? ? 16m ? 4 ? 3? (1 ? m ) ? 0
2 2

x O

m ? 3?m ? ? 3
2

学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识

请同学们谈谈这节课 学到了什么东西。

归纳小节
几何方法

直线和圆的位置关系的判断方法
代数方法
把直线方程代入圆的方程

确定圆的圆心坐标和半径r

计算圆心到直线的距离 d

得到一元 二次方程

判断 d 与圆半径 r 的大小关系

求 出 △ 的 值

?d ? r, 直线与圆相离 ? ?d ? r, 直线与圆相切 ?d ? r, 直线与圆相交 ?

? ? ? 0,直线与圆相交 ? ? ? ? 0, 直线与圆相切 ? ? ? 0, 直线与圆相离 ?

作业P132 5

课后巩固练习P128
1.判断直线4x-3y=50与圆 x ? y ? 100的 位置关系.如果相交,求出交点坐标.
2 2

解:因为圆心O(0,0)到直线4x-3y=50的距离

| 0 ? 0 ? 50 | d? ? 10. 5 而圆的半径长是10,所以直线与圆相切.
圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0 ?4 x ? 3 y ? 50, ? x ? 8, 解方程组? 得 ? ?3x ? 4 y ? 0, ? y ? ?6. 切点坐标是(8,-6)

2.判断直线3x+4y+2=0与圆 x ? y -2x ? 0 的位置关系.
2 2
2 2 2 2 ( x ? 1) ? y ? 1. x ? y - 2 x ? 0 解: 方程 经过配方,得 圆心坐标是(1,0),半径长r =1.

| 3? 0? 2| 圆心到直线3x+4y+2=0的距离 d ? ? 1. 5

因为d=r,所以直线3x+4y+2=0与圆相切.

3.已知直线l:y=x+6,圆C: 试判断直线l与圆C有无公共点,有几个公共点.
解: 圆C的圆心坐标是(0,1),半径长r = 圆心到直线y=x +6的距离
d? 5 2 ? 2

x2 ? y2-2 y ? 4 ? 0.

5 ,
5.

所以直线l与圆C无公共点.

小结:判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r (配方法) 圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)

代数方法
?( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ? ? Ax ? By ? C ? 0
消去y(或x)

px 2 ? qx ? t ? 0

?d ? r : 相交 ? ?d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?


相关文章:
4.2.1直线与圆的位置关系教案
教案课题名称:4.2.1 直线与圆的位置关系 一、教学目标 1、知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线...
4.2.1《直线与圆的位置关系》
4.2.1 一、三维目标 1、知识与技能 直线与圆的位置关系 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)...
4.2.1直线与圆的位置关系
4.通过新知应用完成检测目标(目标达成率达 85%) 学习过程、用移动的观点认识直线与圆的位置关系 1、同学们也许看过海上日出,如右图中,如果我们把太阳看 作...
4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知,引入新课.4.2.1 直线与圆的位置关系(一)教学目标 1.知...
4.2.1直线与圆的位置关系1
4.2.1 直线与圆的位置关系(学)案 主备人:魏太平 4.2.21 直线与圆的位置关系教学目标: 1、理解直线与圆的位置的种类; 2、利用平面直角坐标系中点到直线的...
4.2.1 直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系相切 ___个 d___r 相离 ___个 d___r 直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断 位置关系 相交 公共...
4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系一.选择题 1.直线 3x+4y-5=0 与圆 2x +2y -4x-2y+1=0 的位置关系是( A.相离 B.相切 2 2 ) C.相交且直线不过圆心 D....
§4.2.1 直线与圆的位置关系
2.直线和圆的位置关系的判断: (1)几何法:求出圆心到直线的距离 d。 (1) d r ? 直线和圆相离; (2) d r ? 直线和圆相切; (3) d r ? 直线和圆...
4.2.1直线与圆的位置关系(二)
4.2.1直线与圆的位置关系(二)_数学_高中教育_教育专区。曙光中学高二数学导学案 班级: 姓名: 课题 4.2.1 直线与圆的位置关系(二)审核人:孙振兴,周俊杰 编制人...
更多相关标签:
4.2直线 圆的位置关系 | 直线与圆的位置关系 | 直线与椭圆的位置关系 | 两条直线的位置关系 | 直线与平面的位置关系 | 直线与直线的位置关系 | 直线和圆的位置关系 | 两直线的位置关系 |