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不等式选讲


不等式选讲 知识点

一、绝对值不等式 1.绝对值三角不等式 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立。 注: (1 )绝对值三角不等式的向量形式及几何意义:当 a , b 不共线时,| a + b | ≤ | a |+| b |,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 (2)不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是:不等式|a|-|b|≤ |a+b|≤|a|+|b|,在侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥ |b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≤0,左侧“=”成立的 条件是 ab≥0 且|a|≥|b|。 定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时,等号 成立。 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} {x|x>a 或 x<-a } a=0 a<0

?
{x|x∈R 且 x≠0}

?
R

注:|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义(|x|表示数轴上的点 x 到原点 O 的距离;| x-a |±|x-b|)表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和(差) (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c ? -c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ? ax+b≥c 或 ax+b≤-c. (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想。

二、证明不等式的基本方法 1.比较法 (1)作差比较法 ①理论依据:a>b ? a-b>0;a<b ? a-b<0. ②证明步骤:作差→变形→判断符号→得出结论。 注:作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系。 (2)作商比较法 ①理论依据: b ? 0,

a ? 1 ? a ? b; b a b ? 0, ? 1 ? a ? b; b

②证明步骤:作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论。 2.综合法 (1)定义:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、 论证而得到命题成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。 (2)思路:综合法的思索路线是“由因导果” ,也就是从一个(组)已知的不等式出发, 不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式。 3.分析法 (1)定义:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等) ,从而得出要证的命题 成立,这种证明方法叫做分析法。 (2)思路:分析法的思索路线是“执果索因” ,即从要证的不等式出发,不断地用充分 条件来代替前面的不等式,直到打到已知不等式为止。 注:综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单、条理 清楚。 当问题比较复杂时, 通常把分析法和综合法结合起来使用, 以分析法寻找证明的思路, 用综合法叙述、表达整个证明过程。 4.放缩法 (1)定义:证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式, 从而达到证明的目的,这种证明方法称为放缩法。 (2)思路:分析证明式的形式特点,适当放大或缩小是证题关键。


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