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2018北师大版高中数学选修1-1学案:第二章 2.2 抛物线的简单性质(一)


数学 2.2 学习目标 抛物线的简单性质(一) 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线 的性质解决一些简单的抛物线问题. 知识点一 抛物线的简单性质 思考 1 类比椭圆、双曲线的简单性质,结合图像,你能说出抛物线 y2=2px(p>0)中 x 的范 围、对称性、顶点坐标吗? 思考 2 参数 p 对抛物线开口大小有何影响? 梳理 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 性 质 对称轴 顶点 离心率 x≥0,y∈R x轴 x≤0,y∈R x∈R,y≥0 y轴 x∈R,y≤0 e=______ 知识点二 焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则: y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p 数学 y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) |AB|=p-(x1+x2) |AB|=y1+y2+p |AB|=p-(y1+y2) 类型一 抛物线简单性质的应用 例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于 A,B 两 点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于 4,求此抛物线的标准方程. 引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y2=2px(p>0), O 为抛物线的顶点, OA⊥OB,则△AOB 的面积是_____________________________________________________. 反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单性质 (1)开口:由抛物线标准方程看图像开口,关键是明确二次项是 x 还是 y,一次项的系数是 正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为 p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p;离心率恒 等于 1. 跟踪训练 1 已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点, 其上一点 P 到准线及对称轴 距离分别为 10 和 6,求抛物线的方程. 数学 类型二 抛物线的焦点弦问题 例 2 已知直线 l 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60° ,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 反思与感悟 (1)抛物线的焦半径 定义 抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 P(x0,y0)为抛物线上一点,F 为焦点. p ①若抛物线 y2=2px(p>0),则|PF|=x0+ ; 2 焦半径公式 p ②若抛物线 y2=-2px(p>0),则|PF|= -x0; 2 p ③若抛物线 x2=2py(p>0),则|PF|=y0+ ; 2 p ④若抛物线 x2=-2py(p>0),则|PF|= -y0 2 (2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.然 后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立,消元,由根与系数的关系求出 x1+x2 即可. 跟踪训练 2 直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线交于 A,B 两点,若|AB|=8,则直 线 l 的方程为_____________________________________________

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