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张北一中高二12月月考数学试题


张北一中高二 12 月月考数学试题
一、选择题(每小题5分,满分60分)

? 1? i ? 1、i为虚数单位,则 ? ? ? 1? i ?
A、-i B、-1
2

2016

=( ) C、i D、1

2、命题“对任意的 x ? R, x2 ? 3x ? 1≤ 0

”的否定是( ) A.不存在 x0 ? R, x0 ? 3x0 ?1≤ 0 B.存在 x0 ? R, x0 ? 3x0 ?1≤ 0
2
2 C.存在 x0 ? R, x0 ? 3x0 ? 1 ? 0

D.对任意的 x ? R, x ? 3x ? 1 ? 0
2

3、 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( ) A、 ?1 B、1 C、

?2

D、 2

4、已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5 x ? 6 ? x 2 ,则 ?p 是 ?q 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 真命题是 ( ) B.若 l⊥β 且 α∥β,则 l⊥α. D.若 α∩β=m 且 l∥m,则 l∥α B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、在下列关于直线 l、m 与平面 α、β 的命题中, A.若 l ? β 且 α⊥β,则 l⊥α. C.若 l⊥β 且 α⊥β,则 l∥α. 6、若 f ( x) ? ? 范围是( A、 [?1, ??) 7、 双曲线

1 2 x ? b ln( x ? 2) 在(-1, 2 )
B、 (?1, ??)

?? )上是减函数,则实数 b 的取值
C、 (??, ?1] D、 (??, ?1)

x2 y 2 ? ? 1(mn ? 0) 的离心率为 2, 有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 m n

重合,则 mn 的值为( ) A.
3 16

B.

3 8

C.

16 3

D.

8 3
1

8、在区间【-1,1】上随机取一个数 x,则 cos A、
1 3

1 ?x 介于 0 到 之间的概率为( ) 2 2

B、

2 ?

C、

1 2

D、

2 3

9、方程 x 2 sin 2? ? y 2 cos? ? 1 表示椭圆,则 ? 的取值范围( A、 ( 2k? ,2k? ?



?

2 ? ( 2 k ? , 2 k ? ? ) C、 6

)

B、 ( k? , k? ?

?
2

)
) ? (2k? ?

D、(2k? , 2k? ?
2

?
6

?
6

, 2k? ?

?
2

)k?Z

10、 以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆 x 圆心的抛物线的方程( ) A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2 B. y ? 3x 2

? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9x

11、若点 A 的坐标为 (3, 2) ,F 是抛物线 y 2 ? 2x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时, 使 MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为( ) A、 ?0,0? 12、若函数
? B、 ? ? ,1? 1 ?2 ?

C、 ?1, 2 ?

D、 ?2,2?

f ( x) ? 2x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 2, k ? 1) 上不

3 3 (? , ) C、 2 2

是单调函数,则实数 k 的取值范围是(
5 (2, ) A、 2

1 5 (? , ) B、 2 2

5 [2, ) 2 D、

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、

?

2

0

4 ? ( x ? 2)2 dx ? ___________________
2

.

14、已知集合 M={x|3+2x﹣ x ﹥0 } , N={ x|x﹥a }若 M 值范围为 ___________________
???? ? ???? ?

? N 则实数 a 的取

15.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点总在椭圆的内部(不包 括边界),则椭圆的离心率的取值范围为 16、 设曲线 y ? x
n?1

(n ? N ? ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,

令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a99 的值为_______________
2

三、解答题 17、(本小题满分 10 分)计算下列问题: (1+i)7 (1-i)7 (3-4i)(2+2i)3 (1) + - ; 1-i 1+i 4+3i 3 1 2+2i 8 (2)(- - i)12+( ). 2 2 1- 3i

18、已知 c ? 0 且 c
2

? 1 ,设 p : 函数 y ? (2c ?1) ? c x 在 R 上为减函数, q : 不等

式 x ? ( x ? 2c) ? 1 的解集为 R.若“ p 或 q ”为真命题, “ p 且 q ”为假命题, 求实数

c 的取值范围.

19、某加油站 20 名员工日销售量的频率分布直方图如下图所示: ( 1 )补全该频率分布直方图在 [20,30) 的部 分,并分别计算日销售量在 [10, 20),[20,30) 的员工数 (2)在日销售量为 [10, 30) 的员工中随机抽 取 2 人,求这两名员工日销售量在 [20,30) 的 概率
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 频率 组距

O

10 20 30 40 50 60日销售量 (百升)

20、已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 3 ,焦距为 2 3 (I)求该双曲线方程. (II)是否一定存在过点 P (1 ,1 )的直线 l 与该双曲线交于 A ,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点?若存在, 请求出直线 l 的方程, 若不存在, 说明理由.

3

21、已知函数

f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是

y ? 5x ? 10 。
(I)求函数 f ( x) 的解析式;

1 g ( x ) ? f ( x ) ? mx ,若 g ( x ) 的极值存在,求实数 m 的取值范 (II)设函数 3
围以及函数 g ( x ) 取得极值时对应的自变量 x 的值.

22、 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形, AB∥CD, AB⊥AD, △PAB 和△PAD 是两个边长为 2 的正三角形,DC=4,O 为 BD 的 中点,E 为 PA 的中点. (1)求证 PO⊥平面 ABCD. (2)OE∥平面 PDC (3)求直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值.

4

张北一中高二 12 月月考数学试题答案
一、 选择题 1-5 DCAAB 二、 填空题 13、_ ? _ 三、 解答题 17 、 解 析 : (1) 原 式 = [(1 + i)2]3· 8(3-4i)(1+i)2(1-i) (3-4i)i 8·2i(1+i) =(2i)3·i+(-2i)3·(-i)- 1+i 1-i + [(1 - i)2]3· - 1-i 1+i 14、a≤-1 15、 (0,
2 ) 2

6-10 CAADD

11-12DD

16、 ? 2

i

=8+8-16-16i=-16i.

(5 分)

1+i ? 3 1 12 2+2i 8 12 1 3 12 ? ? 3 ?8 (2)(- - i) +( ) =i ·(- + i) + 1 2 2 2 2 ?2+ 2 i ? 1- 3i ? ? 1 3 =[(- + i)3]4+ 2 2 1 3 [(1+i)2]4( - i) 2 2 1 3 [( - i)3]3 2 2 (10 分)

1 3 =1-(2i)4( - i)=1-8+8 3i=-7+8 3i. 2 2 18、解:当 p 为真时,
? 函数 y ? (2c ?1) ? c x 在 R 上为减函数,
?2c ? 1 ? 0, ?2c ? 1 ? 0, 1 或? 得 ? c ? 1. ?? 2 ?c ? 1, ?0 ? c ? 1.

(3 分)

5

当 q 为真时,
? 不等式 x ? ( x ? 2c)2 ? 1 的解集为 R,即 x ? R 时, x2 ? (4c ?1) x ? (4c2 ?1) ? 0 恒成立.
5 ? ? ? (4c ?1)2 ? 4 ? (4c2 ?1) ? 0 ,得 c ? . 8

(6 分)

“ p 且 q ”为假命题, ? “ p 或 q ”为真命题,
?1 ? c ? 1, ? 1 5 ?2 解得 ? c ? . ? 当 p 为真 q 为假时, ? 2 8 ?c ? 5 . ? 8 ? 1 ? 0 ? c ? 或c ? 1, ? ? 2 当 p 为假 q 为真时, ? 解得 c ? 1 . ?c ? 5 . ? 8 ?

(9 分)

综上所述,实数 c 的取值范围是 ( , ] ? (1, ??) . 19、 (1) 补图 2 人,4 人
2 (2)P= 5

1 5 2 8

(12 分)
频率 组距

(3 分) (6 分) (12 分)
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

O

10 20 30 40 50 60日销售量 (百升)

20、 (1) x 2 ?

y2 ?1 2

(6 分)
y2 ? 1得 2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线: y ? kx ? 1 ? k ,代入方程 x 2 ?
(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0 ( 2 ? k 2 ? 0 )



x1 ? x 2 k (1 ? k ) ? ? 1,解得 k ? 2 ,此时方程为 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , ? ? 0 2 2 2?k

方程没有实数根。所以直线 l 不存在。 (12 分)

6

21、 【解析】 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……① 又 f ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……② 联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 (II)因为 g ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? mx 令 g ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? m ? 0
1 0 实 数 解 , 当 函 数 有 极 值 时 , 则 ?? 0 , 方 程 3 x 2 ? 4 x ? 1 ? m ?有 3 1 3 1 3

…………………………………4 分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m
3 3

? 1.

1 1 g ?( x) ? 0 有两个实数根 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如 当 m ? 1 时,

下表:
x
g ?( x )
g ( x)

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 ? ?)

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; …………………………………12 分 22、 解: (Ⅰ)证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF,则 DF=AB.∵AB⊥AD,AB=AD, AB∥DC,∴四边形 ABFD 为正方形. ∵O 为 BD 的中点,∴O 为 AF,BD 的交点,∵PD=PB=2,∴PO⊥BD, (2 分) ∵ = ,∴ = , ,
1 3 1 3

7

在三角形 PAO 中, po2 + A02 = AP 2 = =4,∴PO⊥AO,∵AO∩BD=O,∴PO⊥ 平面 ABCD. …(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 PO⊥平面 ABCD, 又 AB⊥AD,所以过 O 分别做 AD,AB 的平行线,以它们做 x,y 轴,以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系,如图所示: 由已知得:A(﹣1,﹣1,0) ,B(﹣1,1,0) ,D(1,﹣1,0)F(1,1, 0) ,C(1,3,0) , , , ∴ . , , .

,∴OE∥PF,∵OE? 平面 PDC,PF? 平面 PDC, …(8 分) ,直线 CB 与平面 PDC

∴OE∥平面 PDC.

(Ⅲ) 设平面 PDC 的法向量为 所成角 θ,



,即

,解得 ,又 ,

,令 z1=1, ,

则平面 PDC 的一个法向量为 则

∴直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为

. (12 分)

8


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