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1.4.1-1.4.3全称量词和存在量词


1.4.1-1.4.2 全称量词和 存 在 量 词

复习引入
设p:a<0,实数x满足x2-4ax+3a2<0. q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0. 且非p是非q的必要不充分条件,求实数a的取 值范围.

思 考
下列语句是否是命题?(1)与(3),(1)

与(4),(2)与(5),(2)与(6)之间有什么关系? (1) x>3; (2) 2x+1是整数; (3) 对所有的x?R,x>3; (4) 存在一个 x0 ?R,使得x0 >3; (5) 对任意一个x?Z,2x+1是整数 (6) 至少有一个 x ?Z,2 x0+1是整数.
0

1.全称量词

***讲授新课***

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词.符号:?

2.全称命题:
含有全称量词的命题. 符号:?x?M,p(x)

读作:对任意x属于M,有p(x)成立。 3.存在量词: 短语“存在一个”“至少有一个”等都是表示 整体的一部分的词在逻辑通常叫做存在量词。符号: ? 4.特称命题(存在命题): 含有存在量词的命题.符号:?x?M,p(x) 读作:存在M中一个x,使p(x)成立.

例1下列命题是全称还是特称命题吗?其真假 如何?
(1)所有的素数是奇数 (2) ?x?R,x2+1?1
(3)有的平行四边形是菱形 (4) 对每个无理数x,x2也是无理数; (5)存在两个相交平面于直于同一条直线; (6) 每个指数函数都是单调函数; (7)有些实数的平方小于0.

例2判断下列语句是全称命题还是特称命题, 以及真假情况,并用符号“ ?”或“ ? ” 来表示. ? ? (1)有一个向量 a , a 的方向不能确定; (2)存在一个函数f(x),使f(x)既是奇函数 又是偶函数; 2 (3)对任意实数a,b,c,方程ax ? bx ? c ? 0 都有解; (4)在平面外的所有直线中,有一条直线和 这个平面垂直

全称命题、特称命题常用表述形式 同一个全称命题或特称命题,由于自然语言 的不同,可以有不同的表述方法。
命 题 全称命题
(1)所有x ? A, p( x)成立.

特称命题
(1)存在x0 ? A, 使p( x0 )成立.

表 (2)对一切x ? A, p( x)成立. (2)至少有一个x0 ? A, 使p( x0 ) 述 (3)对每一个x ? A, p( x)成立. 成立. 方 (4)任选一个x ? A, 使p( x) (3)对有些x0 ? A, 使p( x0 )成立. 法 成立. (4)对某个x0 ? A, 使p( x0 )成立.
(5)凡x ? A, 都有p( x)成立.
(5)有一个x0 ? A, 使p( x0 )成立.

***讲授新课***

探究:
设p:“平行四边形是矩形” (1)命题p是真命题还是假命题 (2)请写出命题p的否定形式 (3)判断?p的真假

p:“所有的平行四边形是矩形”

假命题

?p:“不是所有的平行四边形是矩形”

也就是说“存在至少一个平行四边形它不是矩形”
所以,?p : “存在平行四边形不是矩形” 真命题

***讲授新课***

探究:全称命题和特称命题的否定
(1)所有的人都喝水; (2)有实数a ,使得 | a |? 0 。
(1),“并非所有的人都喝水”, 也就是说“存在一个人不喝水”。

对于下列命题进行否定:

(2),不存在实数a,使得 | a |? 0。
也就是说?a ? R, | a |? 0。

从形式看,全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

例3、写出下列命题的否定,并判断真假。 () 1 ?x ? R, x ? 4 ? 0
2

(2)无理数的平方是无理数。 (3)存在一个x0 ? R, 使2 x0 ? 1 ? 3 (4)?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
3 2

***课堂练习***
1.(安徽理7)命题“所有能被2整除的整数都是 偶数”的否定是( D ) (A)所有不能被2整除的数都是偶数 (B)所有能被2整除的整数都不是偶数 (C)存在一个不能被2整除的数都是偶数 (D)存在一个能被2整除的数不是偶数

2. (湖南卷理2)下列命题中的假命题是(B )

A.?x ? R, 2

x ?1

?0

B.?x ? N , ( x ? 1) ? 0
2

?

C.?x ? R, lg x ? 1

D.?x ? R , tan x ? 2

x?2 ? x?4 ?3 ” 3.(安徽卷理11)命题“对任何 x ? R , 的否定是________。 (安徽卷文11)命题“ x∈R,使得x2 +2x+5=0” 的否定是 .

?

***能力提升*** 2 1.判断下列命题的真假. ? (1) x∈R,x2>x; ? (2) x∈R,sinx=cosxtanx; ? (3) x∈Q,x2-8=0; ? (4) x∈R,x2+x+1>0; ? (5) x∈R,sinx-cosx=2; ? a ? b ? 2 ab (6) a,b∈R,

真 假 假 真 假 假

2

D

小结
含有一个量词的命题的否定

一般地,我们有: “?x ? M , p( x)”的否定为“?x ? M , ?p( x)” , “?x ? M , p( x)”的否定为“?x ? M , ?p( x)”。
结论:全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题


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