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函数问题的题型与方法


个性化教案

函数问题的题型与方法
适用学科 适用区域 知识点
数学 山西

适用年级

高三

课时时长 (分钟) 90

1.了解映射的概念,理解函数的概念。 2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调 性和奇偶性的方法,并能利用函数的性

质简化函数图象的绘制过程。 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简 单函数的反函数。 4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数 的概念、图象和性质。 1.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图 象和性质。 2.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的 实际问题。 1.灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法,解 函数综合题。 2.应用函数知识及思想方法,解决函数的最值问题、探索性问题与应 用性问题,提高分析问题和解决问题的能力。 应用函数知识及思想方法,解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问 题,提高分析问题和解决问题的能力

学习目标

学习重点

学习难点

学习过程
一、复习预习
函数概念的复习当然应该从函数的定义开始.函数有二种定义,一是变量观点下的定 义,一是映射观点下的定义.复习中不能仅满足对这两种定义的背诵,而应在判断是否构成 函数关系, 两个函数关系是否相同等问题中得到深化, 更应在有关反函数问题中正确运用. 具 体要求是: 1.深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用,并能以此为指导正确理解函数与 其反函数的关系. 2.系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法.在熟练有关技能的同 时,注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用. 3.通过对分段定义函数,复合函数,抽象函数等的认识,进一步体会函数关系的本质, 进一步树立运动变化,相互联系、制约的函数思想,为函数思想的广泛运用打好基础. 本部分内容的重点是不仅从认识上,而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体 上把握函数概念的要求, 对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识, 对于给出解析式的 函数,会求其反函数. 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识,真正明确不仅函数的对应 法则,而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用,并真正以此作为处理问题的指导.其 次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性,不仅要用到解方程,解不等式等知识, 还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合.

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函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础,不能仅满足会背诵定义,会 做一些有关题目, 要从联系、 应用的角度求得理解上的深度, 还要对确定函数三要素的类型、 方法作好系统梳理, 这样才能进一步为综合运用打好基础. 复习的重点是求得对这些问题的 系统认识,而不是急于做过难的综合题.

二、知识讲解
考点/易错点 1 深化对函数概念的认识
从概念看,这里应判断对于给出函数值域内的任意值,依据相应的对应法则,是否在 其定义域内都只有惟一确定的值与之对应, 因此可作出给定函数的图象, 用数形结合法作判 断,这是常用方法,请读者自己一试. 例 1.下列函数中,不存在反函数的是 ( )

分析:处理本题有多种思路.分别求所给各函数的反函数,看是否存在是不好的,因 为过程太繁琐. 此题作为选择题还可采用估算的方法.对于 D,y=3 是其值域内一个值,但若 y=3,则 可能 x=2(2>1),也可能 x=-1(-1≤-1).依据概念,则易得出 D 中函数不存在反函数.于是决 定本题选 D. 说明:不论采取什么思路,理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键. 由于函数三要素在函数概念中的重要地位,那么掌握确定函数三要素的基本方法当然 成了函数概念复习中的重要课题.

考点/易错点 2 求函数定义域的基本类型和常用方法
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的 取值范围. 它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练. 这里的最高层次要求是给出的 解析式还含有其他字 例 2.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域:

分析:x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数,其中 x 是自变 量,u 是中间变量.由于 f(x),f(u)是同一个函数,故(1)为已知 0<u<2,即 0<x <2.求 x 的取值范围. 解:(1)由 0<x <2, 得
2 2

2

2

说明:本例(1)是求函数定义域的第二种类型,即不给出 f(x)的解析式,由 f(x)的定义域 求函数 f[g(x)]的定义域.关键在于理解复合函数的意义,用好换元法.(2)是二种类型的综 合.

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求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义 域,后面还会涉及到.

考点/易错点 3 求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的. 其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些“运算” 而得函数的值域.

三、例题精析
题型一 1.对函数单调性和奇偶性定义的理解
例 1.下面四个结论:① 偶函数的图象一定与 y 轴相交;② 奇函数的图象一定通过原点; ③ 偶函数的图象关于 y 轴对称; ④ 既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈ R), 其中正 确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③ 正确,① 错误. 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此② 不正确. 若 y=f(x)既是奇函数, 又是偶函数, 由定义可得 f(x)=0, 但不一定 x∈ R, 如例 1 中的(3), 故④ 错误,选 A. 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零.

题型二 2.复合函数的性质
复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的,因变量 y 通过中间变量 u 与自变 量 x 建立起函数关系,函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集. 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律: (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间 [m, n] 上是单调函数, 且函数 y=f(u)在区间[g(m), g(n)] (或[g(n), g(m)])上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u)增减 性不同,则 y=f[g(x)]为减函数. (2)奇偶性规律 若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是奇函数 时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数. 例 2.若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:① 使 log a (2-ax)有意义,即 a>0 且 a≠1,2-ax>0.② 使 log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数.由于所给函数可分解为 y=log a u, u=2-ax, 其中 u=2-ax 在 a>0 时为减函数, 所以必须 a>1; ③ [0, 1]必须是 y=log a (2-ax) 定义域的子集. 解法一:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1), 即 log a 2>log a (2-a).

解法二:由对数概念显然有 a>0 且 a≠1,因此 u=2-ax 在[0,1] 上是减函数,y= log a u 应为增函数,得 a>1,排除 A,C,再令

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故排除 D,选 B.

题型三 3.函数单调性与奇偶性的综合运用
例 3.甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已 知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km /h)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶. 分析:(1)难度不大,抓住关系式:全程运输成本=单位时间运输成本× 全程运输时间, 而全程运输时间=(全程距离)÷ (平均速度)就可以解决.

故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm/h,所以(2)的解决需要

论函数的增减性来解决.

由于 v 1 v 2 >0,v 2 -v 1 >0,并且

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又 S>0,所以



则当 v=c 时,y 取最小值.

四、课堂运用
【基础】
1.对函数 f ( x) ? 3x 2 ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是 A. g (t ) ? log1 t
2
t B. g (t ) ? ( )

(

)

1 2

C.g(t)=(t-1)2

D.g(t)=cost

解析:不改变 f(x)值域,即不能缩小原函数定义域。选项 B,C,D 均缩小了 f ( x ) 的定义域, 故选 A。 2.方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程 f(2-x,y)=0 的曲线是 ( )

解析: 先作出 f(x,y)=0 关于 y 轴对称的函数的图象,即为函数 f(-x,y)=0 的图象,又 f(2-x,y)=0 即为 f (?( x ? 2), y) ? 0 ,即由 f(-x,y)=0 向右平移 2 个单位。故选 C。

【巩固】
3.已知命题 p:函数 y ? log0.5 ( x 2 ? 2x ? a) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ?(5 ? 2a) 是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 解析:命题 p 为真时,即真数部分能够取到大于零的所有实数,故二次函数 x ? 2 x ? a 的判 别式 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,从而 a ? 1 ;命题 q 为真时, 5 ? 2a ? 1 ? a ? 2 。 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,故 p 和 q 中只有一个是真命题,一个是假命题。 若 p 为真,q 为假时,无解;若 p 为假,q 为真时,结果为 1<a<2,故选 C. 4.方程 lgx+x=3 的解所在的区间为 ( )
2

x

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A. (0,1)

B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,+∞)

解析:图像法解方程,也可代入各区间的一个数(特值法或代入法) ,选 C; 5.如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么( A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) 解析:函数 f(x)的对称轴为 2,结合其单调性,选 A;
2



【拔高】
6.已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a (a 是常数) A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 解析:从反面考虑,注意应用特例,选 B; 7.已知 sinθ+cosθ= ,θ∈ ( A. - ( ) D.不同于以上结论

1 5

4 3

π ,π),则 tanθ 的值是 2 3 4 B. - C. 4 3

( D.



3 4

解析:设 tan

1? x2 1 ? 2x =x (x>0) ,则 + = ,解出 x=2,再用万能公式,选 A; 2 5 1? x2 1? x2

五、课程小结
1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统,由单一到综合 的发展过程.这个过程不是一次完成的,而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的 同时,使基础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西,是解决数学 问题的灵魂, 同时它又离不开具体的数学知识. 函数内容最重要的数学思想是函数思想和数 形结合的思想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学 问题要进行一系列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想.

六、课后作业
【基础】
1.已知等差数列的前 n 项和为 S n ,且 S =S q 解析:利用
p

(p≠q,p、q∈ N),则 S p ? q =_________。

S p? q Sn m m 是关于 n 的一次函数,设 S p =S q =m, =x,则( ,p) 、( ,q)、 n p q p?q

(x,p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得 x=0,则答案:0; 2.关于 x 的方程 sin x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是__________。 解析:设 cosx=t,t∈ [-1,1],则 a=t -t-1∈ [-
2 2

5 5 ,1],所以答案:[- ,1]; 4 4

【巩固】
3.正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为___________。

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解析:设高 h,由体积解出 h=2 3 ,答案:24 6 ; 4. 建造一个容积为 8m ,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分 别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为___________。 解析:设长 x,则宽
3

5.已知函数 f ( x ) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则

4 16 ,造价 y=4×120+4x×80+ ×80≥1760,答案:1760。 x x


f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
解析:运用条件知:

f (n ? 1) ? f (1) =2,且 f ( n)

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
=

2 f (2) 2 f (4) 2 f (6) 2 f (8) ? ? ? =16 f (1) f (3) f (5) f (7)

【拔高】
6 . 已 知 a, b, c 为 正 整 数 , 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的 两 实 根 为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 且

| x1 |? 1,| x2 |? 1 ,则 a ? b ? c 的最小值为________________________。
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 解析.依题意可知 ? ,从而可知 x1 , x2 ? (?1,0) ,所以有 b ? x ? x ? ? ? 0 ? 1 2 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?

? ?b 2 ? 4ac ? 0 ?b 2 ? 4ac ? ? ? f (?1) ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? a ? c ,又 a, b, c 为正整数,取 c ? 1 ,则 ?c ? a ? c ? ? x1 x2 ? ? 1 a ? a ? 1 ? b ? a ? b ,所以 a2 ? b2 ? 4ac ? 4a ? a ? 4 ,从而 a ? 5 ,所以 b2 ? 4ac ? 20 , 又 b ? 5 ? 1 ? 6 ,所以 b ? 5 ,因此 a ? b ? c 有最小值为 11 。 2 下面可证 c ? 2 时, a ? 3 ,从而 b ? 4 ac ? 24 ,所以 b ? 5 , 又 a ? c ? b ? 5 , 所以 a ? c ? 6 ,所以 a ? b ? c ? 11 ,综上可得: a ? b ? c 的最小值为 11。
7.设函数 f(x)=lg(ax +2x+1). (1)若 f(x)的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域是 R,求实数 a 的取值范围. 解析:这是有关函数定义域、值域的问题,题目是逆向给出的,解好本题要运用复合函数, 把 f(x)分解为 u=ax +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解.
2 2 解:(1) f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) 的定义域是 R ? u ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 对一切实数 x 恒成立.

2

2

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a=0 或 a<0 不合题意, 所以 ?

?a ? 0
2 ? ? ? 2 ? 4a ? 0

? a ?1

故 a>1.即为所求. (2) f ( x) ? lg(ax2 ? 2 x ? 1) 的值域域是 R ? u ? ax 2 ? 2 x ? 1 能取遍一切正实数. a<0 时不合题意; a=0 时,u=2x+1,u 能取遍一切正实数; a>0 时,其判别式 Δ=22-4×a×1≥0,解得 0<a≤1. 所以当 0≤a≤1 时 f(x)的值域是 R.


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