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惠州市2012届高三第三次调研考试数学(文科)试题及答案


惠州市 2012 届高三第三次调研考试
数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求.) 1.设全集U ? ? ,2,3,4,5?, A ? ? ,3,5?, B ? ?2,5? ,则 A ??U B 为( 1 1 )

A. ?2?
2

B. ? ,3? 1
)

C . ?3?

D. ? ,3,4,5? 1

2.复数 ?1 ? i ? 的虚部为(

A. -2
3.不等式

B. 2
)

C . ? 2i

D. 2i

2? x ? 0 的解集是( x?4
B. ? ?4, 2?

A.

? ?4, 2?

C . ? ??, ?4? ??2, ???

D. ? ??, ?4? ??2, ???
) 条件

4.“ a ? ?2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 垂直于直线 x ? y ? 1 ”的(

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充分必要

D. 既不充分也不必要

5.公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 9 ,且 a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则数列 ?an ? 的公差等于( )

A. 1

B. 2

C .3

D. 4

6.已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ? 4) ? f ( x) ,当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? x ? 2 , 则 f (7 ) ? ( )

A. ?3

B. 3

C . ?1

D. 1

7.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是(

)

A. 若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C . 若 l //? , m ? ? ,则 l //m
8. 以下给出的是计算

B. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D. 若 l //? , m//? ,则 l //m
开始

1 1 1 1 的值 ? ? ? ??? ? 2 4 6 20

的一个程序框图(如图所示) ,其中判断 框内应填入的条件是( )

s ? 0, n ? 2, i ? 1

A. i ? 10 C. i ? 10

B. i ? 10 D. i ? 20




a b ? ad ? bc, 则 函 数 9. 定 义 运 算 c d 2 sin x 1 f ( x) ? 图像的一条对称轴 ?2 cos x
方程是( )

s ? s?

1 n

输出 s

n ? n?2
i ? i ?1
结束

A. x ?

?
2

B. x ?

?
4

C. x ? ?
10. 若椭圆

D. x ? 0

1 x2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e ? , 右焦点为 F ?c,0? , 方程 ax ? 2bx ? c ? 0 2 2 a b
)

的两个实数根分别是 x1 和 x2 ,则点 P( x1, , x2 ) 到原点的距离为(

A.

2

B.

7 2

C. 2

D.

7 4

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 ) 11.为了保证食品安全,现采用分层抽样的方法对某市场甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉进 行检测,若甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉分别为 120 袋、100 袋、80 袋、60 袋,已 知从甲、乙两个厂家抽取的袋数之和为 22 袋,则从四个厂家共抽取了________袋。

?2 x ? 3 y ? 6 ? 12.已知 ? x ? y ? 0 则 z ? 3x ? y 的最大值为________. ?y ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13.已知 a ? 6, b ? 6 2 ,若 (a ? b) ? (a ? 3b) ? ?108 ,则 a 与 b 的夹角 ? a, b ?? ________.
(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 14 题的分。 ) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, P ( 2, . 点 直线 l : 3? cos? ? 4? sin ? ? 3 的距离为________. 15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A ,

3? )到 2

PA ? 2 , AC 是 圆 O 的 直径 , PC 与 圆 O 交 于 点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R 的长为________.
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,又 cos A ? (1)求 cos
2

4 . 5

A 1 ? cos 2 A ? 的值; 2 2

(2)若 b ? 2 , ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 a 的值。 17. (本小题满分 12 分) 如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40 名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分 .... 布直方图如下:观察图形,回答下列问题: (1)80 ~ 90 这一组的频数、频率分 别是多少? (2)估计这次环保知识竞赛成绩的 平均数、众数、中位数。 (不要 求写过程) (3) 从成绩是 80 分以上(包括 80 分)的学生中选两人,求他们在 同一分数段的概率. 18.(本小题满分 14 分)
0.035

频率 组距

0.025
组距

0.015

0.005

40

50

60

70

80

90

100

分数

如图正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AA1 =2 , E 为棱 CC1 的中点, F 为棱 BB1 的中点。 (1) 求证: B1D1 ? AE ; (2) 求证:平面 ACF // 平面 B1DE 。

D1
A1

C1

B1
F
D

E

C
B

19.(本小题满分 14 分)

A

* 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ,有 an ?

2 ( S n ? n) . 3

(1)求证:数列 ?an ?1 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? (2)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn 。

20.(本小题满分 14 分) 已知平面内一动点 P 到点 F (1, 0) 的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1 , l2 . l1 与轨迹 C 相交于点 A, B , 2 与轨迹 C 设 l 相交于点 D, E ,求 FA ? FB ? FD ? FE 的最小值.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (1)若 a ? 2 , 求曲线 y ? f (x) 在点 x ? 1 处的切线方程; (2)求 f (x) 的单调区间; (3)设 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ,若对任意 x1 ? (0, ??) ,均存在 x 2 ? ?0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 求 a 的取值范围.

惠州市 2012 届高三第三次调研考试
文科数学参考答案与评分标准
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 A 7 B 8 A 9 B 10 A

1. 【解析】 ? A ? {2,4,5} , ? B ? {1,5} ;故 (痧A) ? ( U B) ? ?5? ,所以选 D. U U U 2. 【解析】 ?1 ? i ? ? ?2i .故选 A
2

3. 【解析】原不等式等价于,解得 ?4 ? x ? 2 ,故原不等式的解集为 ? ?4, 2? .选 A. 4. 【解析】由直线垂直有斜率积为-1 得 a ? ?2 选 C 5.【解析】由下标和性质知 3a2 ? 9 ,∴ a2 ? 3, 又 a2 ? ?a2 ? d ??a2 ? 3d ? ,得 d ? 2 故选 B .
2

6. 【解析】 f (7) ? f (3) ? f (?1 ? 4) ? ? f (1) ? ?3 故选 A 7. 【解析】由线面垂直的定义得 B 正确 8. 【解析】 i 是计数变量,共有 10 个数相加,故选 A 9. 【解析】 f ( x) ?

2 sin x 1 ? = 2 sin x. cos x ? 2 ? sin 2 x ? 2 ,而 sin 2 ? ? 1 ,故选 B ?2 cos x 4
c 1 2b b 3 ? ,所以 c ? 2a ,由 a 2 ? b2 ?c2 ,得 ? . x1 ? x2 = ? ? ? 3, a 2 a a 2

10. 【解析】因为 e ?

x1 x2 =

c 1 2 ? ,点 P( x1 , x2 )到原点(0,0)的距离为:d= x12 ? x2 = ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 = 2 a 2

二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的横线上) 11. 36 ; 11. 【解析】 12. 9 ; 13.

? ; 14. 1 ; 4

15. 3 。

22 ? (120 ? 100 ? 80 ? 60) ? 36 120 ? 100

12. 【解析】做出可行域易得 z ? 3x ? y 的最大值为 9 13. 【解析】 (a ? b)? a ? 3b) ? a ? 2a? ? 3b ? 36 ? 72 2 cos ? a, b ? ?216 ? ?108 ( b

? ?

?

?

?2

??

?2

? ?

? ? 2 ? cos ? a, b ?? 2

又 ? a, b ??[0, ? ]

? ?

? ? ? ?? a, b ?? 4

14. 【解析】在相应直角坐标系中, p(0,?2) ,直线 l 方程:3x ? 4 y ? 3 ? 0 ,所以 p 到 l 的距离: |3×0-4×? -2? -3| d= =1. 32+42 15.【解析】如右图,连接 AB, ∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAB=∠C, 又∵∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA, PA PB PA PB PA·AB 2× 22-12 ∴ = , 即 = , ∴R= = = 3. AC AB 2R AB 2PB 2×1 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (1) cos

A 1 1 1 ? cos 2 A ? ? (1 ? cos A) ? 2 cos 2 A ? 1 ? ????3 分 2 2 2 2 1 16 1 4 42 2 ? ? ? = 2 cos A ? cos A ? 2 ? ????????6 分 2 25 2 5 25
2

(2)

????????8 分 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 ?
2 2 2

4 ? 13 5

????11 分

? a ? 13
17. (本题满分 12 分)

???????????????????????12 分

解: (1)依题意, 80 ~ 90 间的频率为: 1-(0.01+0.015+0.025+0.035+0.005) ? 10=0.1 频数为: 40×0.1=4 ?????2 分

?????????????4 分 ???8 分

(2)这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数分别是:68.5、75、70

(3)因为 80 ~ 90 有 4 人,设为 a,b,c,d, 90~100 有 2 人,设为 A,B,从中任选 2 人, 共有如下 15 个基本事件 (a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A), (c,B)(d,A)(d,B),(A,B) , , ????????????10 分

设分在同组记为事件 M , 分在同一组的有 (a,b) ,(a,c),(a,d), (b,c),(b,d), (c,d),

(A,B)共 7 个, 所以 P( M ) = 18.(本小题满分 14 分)

?????????????11 分

7 15

?????????????12 分

D1
A1

C1

(1)证明:连结 BD ,则 BD // B1D1 ,????1 分 ∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD . ????2 分 ∵ CE ? 面 ABCD ,∴ CE ? BD . 又 AC ? CE ? C ,∴ BD ? 面 ACE . ∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE , ∴ B1D1 ? AE . (2)证明:连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE ∴四边形 B1FCE 是平行四边形, ∴ CF// B1 E . CF ? 面 B1DE ????3 分 ????4 分 ????5 分 ????6 分

B1
D

E

C
B

A

B1F ,??7 分
????8 分

B1 E ? 面 B1DE

? CF// 面 B1DE

????10 分

∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD . ∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED ,?? 12 分

AF ? 面 B1DE

ED ? 面 B1DE

AF// 面 B1DE ????13 分
????14 分

∵ AF ? CF ? C ,∴平面 ACF // 面 B1DE . 19. (本小题满分 14 分)
* 解: (1)∵ 对任意 n∈ N ,有 an ?

2 ( Sn ? n) ,且 S1 ? a1 , 3
????? 1 分

2 2 ( S1 ? 1) ? (a1 ? 1) ,得 a1 = 2. 3 3 2 3 又由 an ? ( S n ? n) ,得 S n ? an ? n . 3 2
∴ a1 ? 当 n≥2 且 n∈ N
*

时,

有 an ? S n ? S n ?1 ? ( an ? n) ? [ an ?1 ? (n ? 1)] ?

3 2

3 2

3 3 an ? an ?1 ? 1 ,????? 3 分 2 2

即 an ? 3an?1 ? 2 , ∴ an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) , 由此表明 ?an ?1 是以 a1 + 1 = 3 为首项,3 为公比的等比数列。 ? 需验证 n 取 1,2 时也成立. ∴ an ? 1 ? 3 ? 3( n?1) ,有 an ? 3n ?1. ????? 5 分

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ?1. ????? 6 分
n n n (2)n an = n( 3 ? 1)= n · 3 -n,设数列 n ? 3

?

?

的前 n 项和为 K n ,

则 K n = 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3
1 2 3

n

????? 8 分

∴ 3 K n = 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ? ? (n ?1) ? 3n ? n ? 3( n?1) , 两式相减,得 -2 K n = 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
1 2 3 4 n ( n ?1)

=

3(1 ? 3n ) ? n ? 3( n ?1) ,????? 10 分 1? 3

∴ Kn ?

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 , 4

?????12 分

因此 Tn ? K n ?

n(n ? 1) (2n ? 1) ? 3n?1 ? 2n(n ? 1) ? 3 . ? 2 4

????? 14 分

20. (本小题满分 14 分)
2 2 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,由题意为 ( x ? 1) ? y ? | x |? 1. ???? 2 分

化简得 y ? 2 x ? 2 | x |, ???? 3 分
2

当 x ? 0时, y ? 4 x;当x ? 0时,y=0. ???? 4 分
2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 , y ? 4x( x ? 0)和y=0(x ? 0).???? 5 分
2

(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k ,则 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) .? 6 分 由?

? y ? k ( x ? 1) 2 2 2 2 ,得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0. ???? 8 分 y2 ? 4x ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 , x2 是上述方程的两个实根,

4 , x1 x2 ? 1 .???? 9 分 k2 1 因为 l1 ? l2 ,所以 l2 的斜率为 ? .设 D( x3 , y3 ), E( x4 , y4 ), 则同理可得 k ???? ??? ??? 2 ??? ??? ??? ? ? ? ? ? x3 ? xEB ? ( AF , ???4 ?( ??? ? ??? ) 4k FD EF FB AD 4 ? ???? ? ??? 2 ???? ?x3 x? )? 1 ???? 10 分 ? ? ? ? ??? EB AF FD EF ? ? ? ? ? ? AD ? ??? ? ??? ? ??? ?( ??? ? FB ???? ? ??????(???????? ?)??? ???? ??? ) ????? ? AF FB ? FD ? ? ??? FB ? ??? EB?? (??? ? FD)??? ??? FB) ? ??? AF ??? AF ??? ?( EF ? ??? ? ? EF ? ? ? EF FD ? AD ? ? FB 故 AF ?EF ? ? FD ? FE ? ?EF ? FD?FB FA ? ??? ??? AF ???? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ???? ? ???? ??? ??? ??? FB FD ? ? ? ? ?| AF ?EF ? |AF ?FB |? ??? ?EF ? FD?FB AF | FB ? FD | FD ??? |? ??? ? | ??? ? EF | ? ? ? ? ? ?| ??? |? ??? | ? | ??? |? ??? | AF | FB FD | EF ? ? ? ( x1? 1)( x? ? 1) ? ( x3 ? 1)( x4 ? 1) ? ??? 11 分 ?| (AF?|? FB |? 1) FDx|?? 1)(|x ? 1) | x2 ? | ? ( | EF ? x1 1)( 2 3 4 4 ( ? ? ? 42 ? 1) ? 1 ? ? 1)( x k 2 ? ? 1x1 (21)( x2 ) ? 1? ( x3 (2 ? 44 ?)1) 1 ? 1 ? (2 ? k 2 ) ? 1 ? 1 ? (2 ? 4k 2 ) ? 1 4 ? 1 ? (2 ?2k 2 )1 1 ? 1 ? (2 ? 4k 2 2 ?1 ? ) 1 ??? 12 分 ? 8 ? 4(k k? 12 ) ? 8 ? 4 ? 2 k ? 12 ? 16 ? 8 ? 4(k 2 ? k 2 ) ? 8 ? 4 ? 2 k 2 ?k 2 ? 16 1 1 ? 8 ? 4(k 2 ? k 2 ) ? 8 ? 4 ? 2 k 2 ?k 2 ? 16 k k ??? 14 分
于是 x1 ? x2 ? 2 ? 所以 FA ? FB ? FD ? FE 的最小值为 16. 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知 , ??????1 分

.故曲线



处切线的斜率为 .??????2 分

而 f (1) ? 2 ,所以切点为 (1, 2) ??????3 分

y ? f (x) 在点 x ? 1 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ??????4 分

(2)

.

??????5 分

①当

时,由于

,故



所以,

的单调递增区间为

.

??????6 分

②当

时,由

,得

.

??????7 分

在区间

上,

,在区间





??????8 分

所以,函数

的单调递增区间为

,单调递减区间为

.

???9 分

(3)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max .

??????10 分

??????11 分

由(2)知,当

时,



上单调递增,值域为

,故不符合题意.

(或者举出反例:存在

,故不符合题意.)

??????12 分



时,



上单调递增,在

上单调递减,



的极大值即为最大值,



???13 分

所以

,解得

.

???14 分


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