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3.2均值不等式—最值问题


3.2 均值不等式的应用— 最值问题

1. 均值定理:
a?b ? ab 如果 a, b ? R ,那么 2 当且仅当a ? b 时,式中等号成
?


a?b 即两个正实数的算术平均值( )大于或等 2 于它的几何平均值

ab

2..均值定理成立的条件:一正、二定、 三相等

小结:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有最大值。 最值定理: (1)若a,b∈R+且ab=p(p为常数)则

a ? b ? 2 ab ? 2 p
(当且仅当a=b时取等号)
s ?a?b? ? ? (2)若a+b=S(a,b∈R+),则 ab ? ? 4 ? 2 ? (当且仅当a=b时取等号)

? ?a ? b?min ? 2 p
2

2

2

? ?ab?max

s ? 4

例题:求函数

y ? x ?3 ? 2x ?? 0 ? x ? 1?
的最大值为________________.

例题、(1)一个矩形的面积为100 m ,问:这个矩形的 长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少? (2)已知矩形的周长为36 m.问这个矩形的 长、宽各为多少时,矩形的面积最大?最大面积是多少?

2

小结:两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有最大值。

最值定理: (1)若a,b∈R+且ab=p(p为常数)则

a ? b ? 2 ab ? 2 p
(当且仅当a=b时取等号)
s ?a?b? (2)若a+b=S(a,b∈R+),则 ab ? ? 2 ? ? 4 ? ? (当且仅当a=b时取等号)

? ?a ? b?min ? 2 p
2

2

2

? ?ab?max

s ? 4

求最值要注意三点:
⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立

练习:求函数

以及此时x的值。

- 2 x2 + x - 3 f ( x) = , ( x > 0) 的最大值, x

1. 均值定理: a?b ? ? ab 如果 a, b ? R,那么 当且仅当 a ? b 时,式中等号成立 2. 定理:(重要不等式)
若a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab
(当且仅当a=b时,取“=”号)

2


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