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直线与椭圆的位置关系


增补拓展

直线与椭圆的位置 关系

复习回顾
思考一:直线与圆有几种位置关系? ? 答:有三种:相交、相切、相离。

思考二:如何判定直线与圆的位置关系?
? 1 几何法:
? (1)d<r =〉 相交 ? (2)d=r =〉 相切 ? (3)d>r =〉 相离 ? 2 代

数法: ? 把直线与圆的方程联立方程组,消去 x (或y)得到 2 关于y(或x)的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0) ? (1) △>0 =〉相交 ? (2) △=0 =〉相切 ? (3) △<0 =〉相离

学习目标:

今天特指

椭圆

? 1.给出直线与圆锥曲线的方程 能够判断它们的位置关系 ? 2.能够根据位置关系解决一 些简单问题

问题一:直线与椭圆公共点的个数有几种可能?

1.有两个不同的公共点 =〉相交 2.有且只有一个公共点 =〉相切 3.没有公共点 =〉相离

问题二:如何判定直线与椭圆的位置关系?
答:和直线与圆位置关系的判定方法相同

课堂练习
1.直线 相切 系是__
y?

y?

3 x ?1 2

与 x ? 4 y ? 1 的位置关
2 2

析:由{

x ? 4y ?1
2 2

3 x ?1 2

得 4x ? 4 3x ? 3 ? 0 △=0
2

课堂练习
2、直线 y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆 x2/5+y2/m=1 总有 公共点,则m的取值范围是 [1,5) 。

3、过点M(-2,0)的直线l与椭圆 x2+2y2=2 交于P1、P2两 点,线段P1P2的中点为P,设直线 l 的斜率为k1(k1≠0),直

线OP的斜率为k2,则 k1k2 的值为

_________ ?

1 2

相交 __

x2 y2 4.直线y=kx+1与椭圆 4 ? 2 ? 1 的位置关系是

8

6

4

2

-10

-5

L

L' 5

10

-2

H

-4

-6

-8

例1:已知直线l :y=2x+m, 试问当m 取何值时,直线l与椭圆c: (1) 相交 (2)相切 (3)相离

x2 y 2 椭圆c:4 ? 2 ? 1
2

解:由

{

? ? (8m) ? 4 ? 9 ? (2m ? 4) ? ? 8m 2 ? 144 ?当 ? 3 2 ? m ? 3 2时,直线和椭圆相交。 ?当m ? ?3 2时, 直线和椭圆相切。 ?当m<-3 2或m ? 3 2时, 直线和椭圆相离。

消去y得: 9x x y ? ?1 2 24 2
2 2

y=2x+m

? 8mx ? 2m ? 4 ? 0
2

(1)由? ? 0得 ? 3 2 ? m ? 3 2

(2)由? ? 0得 m = ? 3 2

(3) 由? ? 0得 m<-3 2或m ? 3 2

小结:(1)相交=>△>0,相切=>△=0,相离=> △<0. (2)计算准确,一元二次方程在步骤中必须出现。

课堂练习
5.直线y=kx+2和椭圆2x ? 3 y ? 6 有 交点,则k的取值范围是__
2 2

析:把y=kx+2代入椭圆2x ? 3 y ? 6
2 2

得: (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 12 kx ? 6 ? 0 得:? ? 144k 2 ? 4 ? 6 ? (2 ? 3k 2 ) ? 0 6 6 即3k ? 2 ? 0 ? k ? 或k ? ? 3 3
2

典型例题
例2.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与x 轴的负半轴交于A,与y轴的负半轴交于B,F1是 7 左焦点,F1到直线AB的距离 F1 H ? OB 求椭 7 圆的离心率. 2 2 x y 思路:设椭圆方程为 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0)

寻找a,b,c的关系式.

1 e? 2

例3.如果点A的坐标为(1,1),F1是椭圆 2 2 的左焦点,点P是椭圆上 的动 5x ? 9 y ? 45 点,求:(1)2|PA | +3 | PF1 | 的最小值; (2)|PA | +| PF1 |的最大值和最小值.

分析:(1) 2|PA | +3 | PF1 |=2(|PA | +d1)=d 易得:11; (2)设右焦点为 F2 , 欲求 PA ? PF1 的最大 值.怎样使它与 PF1 ? PF2 联系在一起呢?

PA ? PF1 ? 2a ? PF2 ? PA ? 2a ? PA ? PF2
? 6 ? AF2 ? 6 ?
| PA | ?| PF 1| ?2a ?(| PF |2 ? | PA |) ?a 2 ?F A | 2 ?| 6 ?

2

2

数形结合简便直观

典型例题
例4.设AB为过椭圆 的中心的 弦,F1是左焦点,求?ABF1 的面积的最大值.
x2 y2 ? ?1 25 16

思路1:把?ABF1分割 成?AOF1 和 ? BOF 1 ?ABF 补形为 思路2:把
1

F1

A

B

O F2

平行四边形AF1BF2
S?ABF1 1 1 1 ? S AF1 BF2 ? S?AF1F2 ? ? 6? | y |? ? 6 ? 4 ? 12 2 2 2

化归思想,化繁为简。

典型例题
x y 例5 已知椭圆 ? ? 1,能否在椭圆 4 3
2 2

上找到一点M,使点M到左准线L的距 离 |MN|为点M到两焦点 F1,F 的距 2 离的等比中项?并说明理由.
解:假设椭圆上存在一点 M ( x0 , y0 ) 满足题意
1 由椭圆方程,得:a=2, b= 3 ,c=1, e= 2 左准线L:x=-4, |MN|= x0 ? 4 ? x0 ? 4

若|MN|是 MF1 与 MF2 的等比中项

典型例题
由椭圆第二定义,得:

1 MF1 ? a ? ex 0 ? 2 ? x0 2
2

1 MF2 ? a ? ex 0 ? 2 ? x0 2

12 解得: x0 ? ?4 或 x0 ? ? 5 因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆上,故应有
12 x0 ? ? 的点不能在椭圆上,故点M不存在 5

1 ?? 1 ? ? ? ?x0 ? 4? ? ? 2 ? x0 ?? 2 ? x0 ? 2 ?? 2 ? ?

? 2 ? x0 ? 2,显然横坐标为 x0 ? ?4



例6椭圆 mx ? ny ? 1 ,与直线
2 2

x ? y ? 1相交

于A,B两点,C是AB的中点,若 AB ? 2 2 ,OC 斜率为 2 (O为原点),试确定椭圆的方程.
2

解:法一:由方程组 得

x ? y ?1
2 2

mx ? ny ? 1 2 ?m ? n?x ? 2nx ? n ?1 ? 0

设: A?x1 , y1 ? B?x2 , y2 ? C ?x0 , y0 ? 则
2n x1 ? x2 ? m?n

n ?1 x1 ? x2 ? m?n 2n 2m y1 ? y2 ? 2 ? ?x1 ? x2 ? ? 2 ? ? m?n m?n

x1 ? x2 n x0 ? ? 2 m?n

y1 ? y2 m y0 ? ? 2 m?n

由题设得:

m 2 ? n 2

?1?

又 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2

?x1 ? x2 ?
2

2

? 4 x1 x2

?

2

? 2n ? ? ? ?m?n?

4?n ? 1? ? m?n

m ? n ? mn ?2 2? ?2 2 m?n 1 2 解 (1) (2) 得 m? n? 3 3
2 2 x 2 y 所以,椭圆方程为 ? ?1 3 3

?2?

2 x 解法二: 由得OC的方程为 y ? 2 2

由方程组

y ?

x ? y ?1

2

x

解得

C 2 ? 2 , 2 ?1

?

?

mx2 ? ny2 ? 1 2 ? ? 得 m ? n x ? 2nx ? n ?1 ? 0
x1 ? x2 n ? ? ? 2? 2 2 m?n

又由方程组

x ? y ?1

? n ? 2m
2

? AB ? 1 ? ?? 1? ?x1 ? x2 ? ? 2 2
2

?



m? n ? mn ?1 2 ?m ? n ?

?

?1?

?2?

解 (1) (2) 得

1 m? 3
2

2 n? 3
2

所以,椭圆方程为

x 2y ? ?1 3 3

小结

今天特指 椭圆

1.直线与圆锥曲线的位置关系,可转化为 直线与圆锥曲线方程的公共解问题,体现 了方程的思想,数形结合也是解决直线和 圆锥曲线位置关系的常用方法. 2.一些最值问题用函数思想,如运用根与 系数间关系求中点和弦长问题,是经常使 用的方法.

课堂小结
(1) △>0 (2) △=0 (3) △<0 〈=〉相交 〈=〉相切 〈=〉相离

今天特指 椭圆

1.知识: 直线与圆锥曲线的位置关系:

2.方法:数形结合,转化,类比的数学思想方法。

巩固提高
x2 y2 ? ?1 9 1.已知椭圆 25 A(4,0),B(2,2)是椭圆

内的两点,P是椭圆上任意一点.求 (1) 5 PA ? 4 PB 的最小值; (2) PA ? PB 的最大值和最小值. 2 2 x y ? ?1 2.已知椭圆 上不同的三点 25 9
(1)求证:x1+x2=8;

A(x1,y1),B(4,9/5),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等 差数列.

(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT 的斜率.


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