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解一元二次方程综合解法


解一元二次方程
配方法 一:用直接开平方法解下列方程: (1)x ? 225 ;
2

(2)( x ? 1) ? 9 ;
2

(3)(6 x ? 1) ? 25 ? 0 .
2

(4)81( x ? 2) ? 16 .
2

二:用配方法解下列方程 (1) x ? x ? 1 ? 0
2

(2)3x ? 6 x ? 1 ? 0
2

(3)( x ? 1) ? 2( x ? 1) ?
2

1 ?0 2

(4)2 x ? 5x ? 4 ? 0
2

三: 用配方法证明:多项式 2 x ? 4 x ? 1 的值总大于 x ? 2 x ? 4 的值.
4 2 4 2

因式分解法 一:用因式分解法解下列方程: 2 (1)y +7y+6=0; (2)t(2t-1)=3(2t-1); (3)(2x-1)(x-1)=1.

(4)x +12x=0;

2

(5)4x -1=0;

2

(6)x =7x;

2

(7)x -4x-21=0;

2

(8)(x-1)(x+3)=12;

(9)3x +2x-1=0;

2

(10)10x -x-3=0;

2

(11)(x-1) -4(x-1)-21=0.

2

二:已知 x -xy-2y =0,且 x≠0,y≠0,求代数式

2

2

x 2 ? 2 xy ? 5 y 2 的值. x 2 ? 2 xy ? 5 y 2

公式法 用公式法解方程 (1)x +4x+2=0 ;
2

(2)3x -6x+1=0;

2

(3)4x -16x+17=0 ;

2

(4)3x +4x+7=0. (1)2x -x-1=0;

2

2

(5)4x -3x+2=0 ;

2

(6)x +15x=-3x;

2

(7)x -

2

x+

=0.

1.用直接开平方法解下列方程: (1) 5(2 y ? 1) ? 180 ;
2

(2)

1 (3x ? 1) 2 ? 64 ; 4

(3) 6( x ? 2) ? 1 ;
2

2.用配方法解下列方程 (1) x ? x ? 1 ? 0 ;
2

(2) 3x ? 9 x ? 2 ? 0 .
2

(3) y ? 3 y ? 1 ? 0 .
2

3. 方程 x ?
2

2 x ? 1 ? 0 左边配成一个完全平方式,所得的方程是 3
, x2 ?

. .

2 2 2 4. 关于 x 的方程 x ? 9a ? 12ab ? 4b ? 0 的根 x1 ?

5. 关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? a ? 0 的解为
2 2 2

6. 用适当的方法解方程 (1) 3( x ? 1) ? 12 ;
2

(2) y ? 4 y ? 1 ? 0 ;
2

(3) x ? 8x ? 84 ;
2

7. 用配方法证明: (1) a 2 ? a ? 1 的值恒为正; (2) ?9 x2 ? 8x ? 2 的值恒小于 0.

8. 已知正方形边长为 a ,面积为 S ,则( A. S ?

) C. S 的平方根是 a D. a 是 S 的算术平方根
2

a

B. a ? ? S

9. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是:化二次项系数为 1,把方程化为 x ? mx ? n ? 0 的形式;把常数

项移到方程右边即

m2 方程两边同时加上 4 ,整理得到

?

m2 ?n 4 ;当

m m2 m2 m2 (x ? ? ? ? n) ? n≥ 0 ?n?0 2 4 4 时, ,当 4 时,原方程
10. 解方程 3x ? 27 ? 0 ,得该方程的根是(
2



) D.无实数根

A. x ? ?3

B. x ? 3
2

C. x ? ?3

11. x 取何值时, x ? 2 2 x 的值为 ?2 ?

12. 把方程 x ? (2m ? 1) x ? m ? m ? 0 化成 ( x ? a) ? b 的形式是:________________________.
2 2 2

因式分解法 1.方程(x-16)(x+8)=0 的根是( A.x1=-16,x2=8
2

) C.x1=16,x2=8 D.x1=-16,x2=-8 )

B.x1=16,x2=-8
2 2

2.下列方程 4x -3x-1=0,5x -7x+2=0,13x -15x+2=0 中,有一个公共解是(

1 A. .x= 2

B.x=2 )

C.x=1

D.x=-1

3.方程 5x(x+3)=3(x+3)解为( A.x1=

3 ,x2=3 5

B.x=

3 5
) B.y=5

C.x1=-

3 ,x2=-3 5

D.x1=

3 ,x2=-3 5

4.方程(y-5)(y+2)=1 的根为( A.y1=5,y2=-2
2 2

C.y=-2 )

D.以上答案都不对

5.方程(x-1) -4(x+2) =0 的根为( A.x1=1,x2=-5
2

B.x1=-1,x2=-5 C.x1=1,x2=5
2

D.x1=-1,x2=5 )

6.一元二次方程 x +5x=0 的较大的一个根设为 m,x -3x+2=0 较小的根设为 n,则 m+n 的值为( A.1 B.2
2

C.-4

D.4 )

7.已知三角形两边长为 4 和 7,第三边的长是方程 x -16x+55=0 的一个根,则第三边长是( A.5
2

B.5 或 11 )

C.6

D.11

8.方程 x -3|x-1|=1 的不同解的个数是( A.0 B.1

C.2
2

D.3

9.方程 t(t+3)=28 的解为_______.
2

10.方程(2x+1) +3(2x+1)=0 的解为__________. 12.关于 x 的方程 x +(m+n)x+mn=0 的解为______.
2

11.方程(2y+1) +3(2y+1)+2=0 的解为______. 13.方程 x(x- 5 )= 5 -x 的解为__________. 14.用适当方法解下列方程: (1)x -4x+3=0;
2

(2)(x-2) =256;

2

(3)x -3x+1=0;

2

(4)x -2x-3=0;

2

(5)(2t+3) =3(2t+3);

2

(6)(3-y) +y =9;

2

2

(7)(1+ 2 )x -(1- 2 )x=0;

2

(8) 5 x -(5 2 +1)x+ 10 =0;

2

(9)2x -8x=7;

2

(10)(x+5) -2(x+5)-8=0.

2

16.已知 x +3xy-4y =0(y≠0),试求

2

2

x? y 的值. x? y

17.已知(x +y )(x -1+y )-12=0.求 x +y 的值.

2

2

2

2

2

2

18.已知 x +3x+5 的值为 9,试求 3x +9x-2 的值.

2

2

公式法 1.用公式法解方程 4x -12x=3,得到( ) .
2

?3 ? 6 2 A.x=

3? 6 B.x= 2

?3 ? 2 3 2 C.x=

3? 2 3 2 D.x=

2 2.方程 2 x +4 3 x+6 2 =0 的根是( ) .

A.x1= 2 ,x2= 3
2 2 2

B.x1=6,x2= 2 C.x1=2 2 ,x2= 2
2 2

D.x1=x2=- 6

3. -n2) -n -2)-8=0,则 m -n 的值是( ) (m (m . A.4 B.-2
2

C.4 或-2

D.-4 或 2

5.一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________. 6.当 x=______时,代数式 x -8x+12 的值是-4. 7.若关于 x 的一元二次方程(m-1)x +x+m +2m-3=0 有一根为 0,则 m 的值是_____. 8.设 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根, (1)试推导 x1+x2= ?
2 2 2 2

c b ,x1·x2= ; (2)?求代数 a a

式 a(x1 +x2 )+b(x1 +x2 )+c(x1+x2)的值.

3

3

2

2

22.2.5 解一元二次方程(因式分解法)
教学内容 用因式分解法解一元二次方程. 教学目标 掌握用因式分解法解一元二次方程. 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方 程,并应用因式分解法解决一些具体问题. 重难点关键 1.重点:用因式分解法解一元二次方程. 2.?难点与关键:让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)解下列方程. (1)2x2+x=0(用配方法) (2)3x2+6x=0(用公式法) 老师点评: (1)配方法将方程两边同除以 2 后,x 前面的系数应为 (

1 1 1 , 的一半应为 ,因此,应加上 2 2 4

1 2 1 ) ,同时减去( )2. (2)直接用公式求解. 4 4
二、探索新知 (学生活动)请同学们口答下面各题. (老师提问) (1)上面两个方程中有没有常数项? (2)等式左边的各项有没有共同因式? (学生先答,老师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因式分解: 2x2+x=x(2x+1) 2+6x=3x(x+2) ,3x 因此,上面两个方程都可以写成: (1)x(2x+1)=0 (2)3x(x+2)=0 因为两个因式乘积要等于 0, 至少其中一个因式要等于 0, 也就是 (1) x=0 或 2x+1=0, 所以 x1=0, 2=x

1 . 2

(2)3x=0 或 x+2=0,所以 x1=0,x2=-2. 因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个 一次式的乘积等于 0 的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法. 例 1.解方程 (1)4x2=11x (2) (x-2)2=2x-4 分析: (1)移项提取公因式 x; (2)等号右侧移项到左侧得-2x+4 提取-2 因式,即-2(x-2) ,再提取公因 式 x-2,便可达到分解因式;一边为两个一次式的乘积,?另一边为 0 的形式 解: (1)移项,得:4x2-11x=0 因式分解,得:x(4x-11)=0 于是,得:x=0 或 4x-11=0 x1=0,x2=

11 4

(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0 (x-2)2-2(x-2)=0 因式分解,得: (x-2) (x-2-2)=0 整理,得: (x-2) (x-4)=0

于是,得 x-2=0 或 x-4=0 x1=2,x2=4 例 2.已知 9a2-4b2=0,求代数式

a b a 2 ? b2 的值. ? ? b a ab

分析:要求

a b a 2 ? b2 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出 a 与 b 的关系后代 ? ? b a ab

入,但也可以直接代入,因计算量比较大,比较容易发生错误. 解:原式=

a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 2b ?? ab a

∵9a2-4b2=0 ∴(3a+2b) (3a-2b)=0 3a+2b=0 或 3a-2b=0,

2 2 b 或 a= b 3 3 2 2b 当 a=- b 时,原式==3 2 3 ? b 3 2 当 a= b 时,原式=-3. 3
a=三、巩固练习 教材 P45 练习 1、2. 四、应用拓展 例 3.我们知道 x2-(a+b)x+ab=(x-a) (x-b) ,那么 x2-(a+b)x+ab=0 就可转化为(x-a) (x-b)=0,请 你用上面的方法解下列方程. (1)x2-3x-4=0 (2)x2-7x+6=0 (3)x2+4x-5=0 分析:二次三项式 x2-(a+b)x+ab 的最大特点是 x2 项是由 x·x 而成,常数项 ab 是由-a· (-b)而成的, 而一次项是由-a·x+(-b·x)交叉相乘而成的.根据上面的分析,?我们可以对上面的三题分解因式. 解(1)∵x2-3x-4=(x-4) (x+1) ∴(x-4) (x+1)=0 ∴x-4=0 或 x+1=0 ∴x1=4,x2=-1 (2)∵x2-7x+6=(x-6) (x-1) ∴(x-6) (x-1)=0 ∴x-6=0 或 x-1=0 ∴x1=6,x2=1 (3)∵x2+4x-5=(x+5) (x-1) ∴(x+5) (x-1)=0 ∴x+5=0 或 x-1=0 ∴x1=-5,x2=1 上面这种方法,我们把它称为十字相乘法. 五、归纳小结 本节课要掌握: (1)用因式分解法,即用提取公因式法、?十字相乘法等解一元二次方程及其应用.

(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别: 联系①降次,即它的解题的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次. ②公式法是由配方法推导而得到. ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法适用于某些一元二次方程. 区别:①配方法要先配方,再开方求根. ②公式法直接利用公式求根. ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为 0,?再分别使各一次因式等于 0. 六、布置作业 教材 P46 复习巩固 5 综合运用 8、10 拓广探索 11. 第六课时作业设计 一、选择题 1.下面一元二次方程解法中,正确的是( ) . A. (x-3) (x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 B. (2-5x)+(5x-2)2=0,∴(5x-2) (5x-3)=0,∴x1=

2 3 ,x2= 5 5

C. (x+2)2+4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x2=x 两边同除以 x,得 x=1 2.下列命题①方程 kx2-x-2=0 是一元二次方程;②x=1 与方程 x2=1 是同解方程;③方程 x2=x 与方程 x=1 是同解方程;④由(x+1) (x-1)=3 可得 x+1=3 或 x-1=3,其中正确的命题有( ) . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2 3.如果不为零的 n 是关于 x 的方程 x -mx+n=0 的根,那么 m-n 的值为( ) . A.-

1 2

B.-1

C.

1 2

D.1

二、填空题 1.x2-5x 因式分解结果为_______;2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是______. 2.方程(2x-1)2=2x-1 的根是________. 3.二次三项式 x2+20x+96 分解因式的结果为________;如果令 x2+20x+96=0,那么它的两个根是 _________. 三、综合提高题 1.用因式分解法解下列方程. (1)3y2-6y=0 (2)25y2-16=0

(3)x2-12x-28=0

(4)x2-12x+35=0

2.已知(x+y) (x+y-1)=0,求 x+y 的值.

3.今年初,湖北武穴市发生禽流感,某养鸡专业户在禽流感后,打算改建养鸡场,建一个面积为 150m2

的长方形养鸡场.为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长 am,另三边用竹篱围成,如果篱笆 的长为 35m,问鸡场长与宽各为多少?(其中 a≥20m)

答案: 一、1.B 2.A 3.D 二、1.x(x-5)(x-3) , (2x-5) 2.x1=

1 ,x2=1 2

3. (x+12) (x+8) 1=-12,x2=-8 ,x 三、1. (1)3y(y-2)=0,y1=0,y0=2 (2) (5y)2-42=0 (5y+4) (5y-4)=0,y1=-

4 4 ,y2= 5 5

(3)?(x-14) (x+2)=0 x1=14,x2=-2 (4) (x-7) (x-5)=0 x1=7,x2=5 2.x+y=0 或 x+y-1=0,即 x+y=0 或 x+y=1 3.设宽为 x,则长为 35-2x,依题意,得 x(35-2x)=150 2x2-35x+150=0 (2x-15) (x-10)=0, x1=7.5,x2=10, 当宽 x1=7.5 时,长为 35-2x=20, 当宽 x=10 时,长为 15, 因 a≥20m,两根都满足条件.


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