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一元二次方程综合培优(难度大,含参考答案)


一元二次方程拓展提高题
1、已知 x 2 ? 5x ? 2000 ? 0 ,则

?x ? 2?3 ? ?x ? 1?2 ? 1 的值是
x?2

.

2004 ? _________. a2 ?1 a 3、若 ab ? 1 ,且 5a 2 ? 2005a ? 7 ? 0 , 7b 2 ? 2005b ? 5 ? 0 ,则 ? _________. b
2、已知 a 2 ? 2004a ? 1 ? 0 ,则 2a 2 ? 4007a ? 4、已知方程 2 x 2 ? 2ax ? 3a ? 4 ? 0 没有实数根,则代数式 a 2 ? 8a ? 16 ? 2 ? a ? _____. 5、已知 y ? 2 x ? 6 ? x ,则 y 的最大值为 6、已知 a ? b ? c ? 0 , abc ? 2 , c ? 0 ,则( A、 ab ? 0 B、 a ? b ? ?2 . ) C、 a ? b ? ?3 D、 a ? b ? ?4

7、已知 a ? b ? 8 , ab ? c 2 ? 16 ? 0 ,则 a ? b ? c ? ________. 8、已知 m 2 ? m ? 1 ? 0 ,则 m 3 ? 2m 2 ? 2006 ? ________. 9、已知 a ? b ? 4 , ab ? c 2 ? 4 ? 0 ,则 a ? b ? ________. 10、若方程 x 2 ? px ? q ? 0 的二根为 x 1 , x2 ,且 x1 ? 1 , p ? q ? 3 ? 0 ,则 x2 ( A、小于 1 B、等于 1 C、大于 1
3

)

D、不能确定 .

11、已知 ? 是方程 x 2 ? x ?

1 ? ?1 的值为 ? 0 的一个根,则 3 4 ? ??
) C、2009 . )

12、若 3x 2 ? x ? 1 ,则 9 x 4 ? 12x 3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 2008 ? ( A、2011 B、2010

D、2008

13、方程 3x ? 2 ? 3x ? 2 ? 2 的解为

14、已知 2x 2 ? 6x ? y 2 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 2 x 的最大值是( A、14 B、15 C、16 )

D、18

15、方程 x 2 ? 2 | x | ?2 ? m 恰有 3 个实根,则 m ? ( A、1 16、方程 x 2 ? 3x ? A、60 B、1.5 C、2

D、2.5 ) D、 ? 10

3 ? 9 的全体实数根之积为( x 2 ? 3x ? 7
B、 ? 60 C、10

17、 关于 x 的一元二次方程 2 x 2 ? 5x ? a ? 0(a 为常数) 的两根之比 x1 : x 2 ? 2 : 3 , 则 x 2 ? x1 ? ( )

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A、1

B、2

C、

1 2

D、

3 2

18、已知是 ? 、 ? 方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实根,则 ? 4 ? 3? ? _______. 19、若关于 x 的方程

2a x ax ? 1 只有一解,求 a 的值。 ? ? x ?1 x2 ? x x

中考真题
1、若 x ?

1 1 ? 1 ,则 x 3 ? 3 的值为( x x

) )

2、 已知实数 ? 、? 满足 ? 2 ? 3? ? 1 ? 0 ,? 2 ? 3? ? 1 ? 0 , 且 ?? ? 1 , 则 ? ?2 ? 3? 的值为 ( A、1 B、3 C、-3 D、10 ) D、不存在 ) D、5
2

3、实数 x、y 满足方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 y 最大值为( A、

1 2

B、

3 2

C、

3 4

4、方程 x 2 ? x ? 1 A、2

?

?

x ?3

? 1 的所有整数解的个数是(
B、3
2

C、4

5、已知关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根分别为 ?3 和 1,则方程 bx ? cx ? a ? 0 的两根为 ( A、 ? )

1 和1 3

B、

1 和1 2

1 C、 和 ?1 3

D、 ?

1 和 ?1 2


6、实数 x、y 满足 x 2 ? xy ? y 2 ? 2 ,记 u ? x 2 ? xy ? y 2 ,则 u 的取值范围是( A、

2 ?u?6 3

B、

2 ?u?2 3

C、 1 ? u ? 6

D、 1 ? u ? 2

7、已知实数 m,n 满足 m 2 ? m ? 2009 ? 0 ,

1 1 1 ? ? 2009 ? 0?mn ? ?1? ,则 ? n ? _____ . m n2 n


9、已知方程 x 2 ? ?2k ? 1?x ? k 2 ? 2 ? 0 的两实根的平方和等于 11,k 的取值是( A、 ? 3 或 1 B、 ?3 C、1 D、3

10、设 a,b 是整数,方程 x 2 ? ax ? b ? 0 有一个实数根是 7 ? 4 3 ,则 a ? b ? ______. 13、已知方程 ax 4 ? ?a ? 3?x 2 ? 3a ? 0 的一根小于 ?2 ,另外三根皆大于 ?1 ,求 a 的取值范围。
3 14、已知关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? k ? 0 有实数根 x 1 , x2 且 y ? x13 ? x 2 ,试问:y 值是否有最

大值或最小值,若有,试求出其值,若没有,请说明理由。 15、求所有有理数 q,使得方程 qx 2 ? ?q ? 1?x ? ?q ? 1? ? 0 的所有根都是整数。

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一元二次方程培优题及参考答案
1、已知 x 2 ? 5x ? 2000 ? 0 ,则 A、2001 答案:D 解析:由 x 2 ? 5x ? 2000 ? 0 得: x 2 ? 4 x ? x ? 2000

?x ? 2?3 ? ?x ? 1?2 ? 1 的值是(
x?2

D ) D、2004

B、2002

C、2003

?x ? 2?3 ? ?x ? 1?2 ? 1 ? ?x ? 2?2 ? ? ?x ? 1?2 ? 1 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ? x 2 ? 2 x ? x ? 2004 ? x ? 2004
x?2 x?2 x?2

归纳:本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。 2、已知 a 2 ? 2004a ? 1 ? 0 ,则 2a 2 ? 4007a ? 答案:2002 解析:由 a 2 ? 2004a ? 1 ? 0 得: a 2 ? 1 ? 2004a , a 2 ? 2004a ? 1 , a ? 原式 ? 2?2004a ? 1? ? 4007a ?

2004 ? _________. a2 ?1

1 ? 2004 a

2004 1 ? a ? 2 ? ? 2002 2004a a

归纳:本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。 3、若 ab ? 1 ,且 5a 2 ? 2005a ? 7 ? 0 , 7b 2 ? 2005b ? 5 ? 0 ,则 答案:

a ? _________. b

7 5
2

1 ?1? 解析:由 7b 2 ? 2005b ? 5 ? 0 得: 5? ? ? 2005? ? 7 ? 0 b ?b?

∵ ab ? 1 ,即 a ? ∴a?

1 b

∴把 a 和

1 作为一元二次方程 5x 2 ? 2005x ? 7 ? 0 的两根 b

1 a 7 ? ? b b 5

归纳:本题是通过构造一元二次方程的两根,利用根与系数的关系解决问题。 4、已知方程 2 x 2 ? 2ax ? 3a ? 4 ? 0 没有实数根,则代数式 a 2 ? 8a ? 16 ? 2 ? a ? _____. 答案:2
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考点:根的判别式。 分析:由方程 2 x 2 ? 2ax ? 3a ? 4 ? 0 没有实数根,得 ? ? 0 ,求的 a 的范围,然后根据此范围 化简代数式。 解答:解:∵已知方程 2 x 2 ? 2ax ? 3a ? 4 ? 0 没有实数根 ∴ ? ? 0 ,即 4a 2 ? 4 ? 2 ? ?3a ? 4? ? 0 , a 2 ? 6a ? 8 ? 0 ,得 2 ? a ? 4 则代数式 a 2 ? 8a ? 16 ? 2 ? a ?| a ? 4 | ? | a ? 2 |? 4 ? a ? a ? 2 ? 2 归纳:本题考查了一元二次方程根的判别式。当 ? ? 0 时,方程没有实数根。同时考查了一 元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。 5、已知 y ? 2 x ? 6 ? x ,则 y 的最大值为 答案: .

97 8

考点:二次函数的最值。 专题:计算题;换元法. 分析:此题只需先令 6 ? x ? t ? 0 ,用 x 表示 t,代入求 y 关于 t 的二次函数的最值即可。 解答:令 6 ? x ? t ? 0 , x ? 6 ? t 2
1? 1 ? 则 y ? 2 x ? 6 ? x ? 12 ? 2t 2 ? t ? ?2t 2 ? t ? 12 ? ?2? t ? ? ? 12 4 8 ? ?
2

又 t ? 0 ,且 y 关于 t 的二次函数开口向下,则在 t ?

1 处取得最大值 4

97 1 即 y 最大值为 12 ,即 8 8
归纳:本题考查了二次函数的最值,关键是采用换元法,将 6 ? x 用 t 来表示进行解题比较 简便。 6、已知 a ? b ? c ? 0 , abc ? 2 , c ? 0 ,则( A、 ab ? 0 答案:B 考点:根的判别式。 专题:综合题。 B、 a ? b ? ?2 ) C、 a ? b ? ?3 D、 a ? b ? ?4

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分析:由 a ? b ? c ? 0 , abc ? 2 , c ? 0 ,得到 a,b 两个负数,再由 a ? b ? ?c , ab ? 样可以把 a, b 看作方程 x 2 ? cx ?

2 ,这 c

2 2 根据根的判别式得到 ? ? c 2 ? 4 ? ? 0 , 解得 c ? 2 , ? 0 的两根, c c

然后由 a ? b ? ?c 得到 a ? b ? ?2 . 解答:∵ a ? b ? c ? 0 , abc ? 2 , c ? 0 ∴ a ? b ? ?c , ab ? ∴a ? 0,b ? 0 ,c ? 0

2 c 2 ?0 c
∴ c ? ??a ? b? ? 2 ,即 a ? b ? ?2

∴可以把 a,b 看作方程 x 2 ? cx ? ∴ ? ? c2 ? 4 ?

2 ? 0 ,解得 c ? 2 c

点评:本题考查了一元二次方程根的判别式:如方程有两个实数根,则 ? ? 0 .也考查了一 元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。 7、已知 a ? b ? 8 , ab ? c 2 ? 16 ? 0 ,则 a ? b ? c ? ________. 答案:0 考点:因式分解的应用;非负数的性质:偶次方。 分析:本题乍看下无法代数求值,也无法进行因式分解;但是将已知的两个式子进行适当变 形 后 , 即 可 找 到 本 题 的 突 破 口 。 由 a ? b ? 8 可 得 a ? b ? 8 ; 将 其 代 入 ab ? c 2 ? 16 ? 0 得 :
b 2 ? 8b ? c 2 ? 16 ? 0 ;此时可发现 b 2 ? 8b ? 16 正好符合完全平方公式,因此可用非负数的性质求

出 b、c 的值,进而可求得 a 的值;然后代值运算即可。 解答:∵ a ? b ? 8 又∵ ab ? c 2 ? 16 ? 0 ∴ b ? ?4 , c ? 0 ∴a ?b ?8
2 ∴ b 2 ? 8b ? c 2 ? 16 ? 0 ,即 ?b ? 4? ? c 2 ? 0

∴a ? 4

∴a ? b ? c ? 0

归纳: 本题既考查了对因式分解方法的掌握, 又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法. 8、已知 m 2 ? m ? 1 ? 0 ,则 m 3 ? 2m 2 ? 2006 ? ________. 答案: ?2005 考点:因式分解的应用。 专题:整体思想。 分析:根据已知条件可得到 m 2 ? m ? 1 ,然后整体代入代数式求值计算即可。

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解答:∵ m 2 ? m ? 1 ? 0

∴ m2 ? m ? 1

∴原式 ? m m 2 ? m ? m ? 2006 ? m 2 ? m ? 2006 ? 1 ? 2006 ? ?2005 点评:这里注意把要求的代数式进行局部因式分解,根据已知条件,整体代值计算。 9、已知 a ? b ? 4 , ab ? c 2 ? 4 ? 0 ,则 a ? b ? ________. 答案:0 考点:拆项、添项、配方、待定系数法。 专题:计算题. 分析:先将字母 b 表示字母 a,代入 ab ? c 2 ? 4 ? 0 ,转化为非负数和的形式,根据非负数的 性质求出 a、b、c 的值,从而得到 a ? b 的值。 解答:∵ a ? b ? 4 ∴a ? b ? 4

?

?

2 代入 ab ? c 2 ? 4 ? 0 ,可得( ?b ? 4?b ? c 2 ? 4 ? 0 ,即 ?b ? 2? ? c 2 ? 0

∴ b ? ?2 , c ? 0

∴a ?b ? 4 ? 2

∴a ? b ? 0

归纳: 本题既考查了对因式分解方法的掌握, 又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。 解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。 10、若方程 x 2 ? px ? q ? 0 的二根为 x 1 , x2 ,且 x1 ? 1 , p ? q ? 3 ? 0 ,则 x2 ( A、小于 1 答案:A 考点:根与系数的关系. 专题:计算题. 分析:方程 x 2 ? px ? q ? 0 的二根为 x 1 , x2 ,根据根与系数的关系及已知条件即可求解。 解答:∵方程 x 2 ? px ? q ? 0 的二根为 x 1 , x2 ∵ x1 ? 1 , p ? q ? ?3 ∴ x 2 ? x1 x 2 ? 3 ? x1 ? 2 ∵ x1 ? 1 ? 2 ∴ x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? 3 ∴ x 2 ?x1 ? 1? ? 2 ∴ x2 ? 1 ∴ x1 ? x 2 ? ? p , x1 x 2 ? ?q B、等于 1 C、大于 1 D、不能确定 )

归纳:本题考查了根与系数的关系,属于基础题,关键掌握 x 1 , x2 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的 两根时, x1 ? x 2 ? ? p , x1 x 2 ? ?q . 11、已知 ? 是方程 x 2 ? x ? 答案: 5

? 3 ?1 1 的值为 ? 0 的一个根,则 3 4 ? ??

.

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考点:因式分解的应用。 专题:整体思想。 分析:根据已知条件可得到 ? 2 ? ? ? 可。 解答:∵ ? 是方程 x 2 ? x ?

1 1 ? 0 ,即 ? 2 ? ? ? 然后整体代入代数式求值计算即 4 4 1 1 ? 0 ,即 ? 2 ? ? ? 4 4

1 ? 0 的一个根 4
2

∴? 2 ? ? ?

1 ?? ? 1? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ∴原式 ? 1 ? ?? ? 1??? ? 1? ?2 ?? 4

?

2

?

点评:这里注意把要求的代数式进行局部因式分解,根据已知条件,整体代值计算。 12、若 3x 2 ? x ? 1 ,则 9 x 4 ? 12x 3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 2008 ? ( A、2011 答案:B 考点:因式分解的应用. 专题:计算题;整体思想. 分析: 将 3x 2 ? x ? 1 化简为 3x 2 ? x ? 1 ? 0 , 整体代入 9 x 4 ? 12x 3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 2008变形的式子 B、2010 C、2009 ) D、2008

3x 2 3x 2 ? x ? 1 ? 5x 3x 2 ? x ? 1 ? 2 3x 2 ? x ? 1 ? 2010,计算即可求解.
解答:∵ 3x 2 ? x ? 1 ,即 3x 2 ? x ? 1 ? 0 ∴ 9 x 4 ? 12x 3 ? 2 x 2 ? 7 x ? 2008

?

?

?

? ?

?

? 3x 2 3x 2 ? x ? 1 ? 5x 3x 2 ? x ? 1 ? 2 3x 2 ? x ? 1 ? 2010 ? 2010
归纳:本题考查因式分解的运用,注意运用整体代入法求解。 13、方程 3x ? 2 ? 3x ? 2 ? 2 的解为 答案: .

?

?

?

? ?

?

2 3

考点:利用方程的同解原理解答。 专题:计算题。 解答: 3x ? 2 ? 3x ? 2 ? 2 两边同时平方得: 3x ? 2 ? 3x ? 2 ? 2 9x 2 ? 4 ? 4
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整理得: 9 x 2 ? 4 ? 3x ? 2

再平方得: ?12x ? ?8

解得: x ?

2 3

归纳:本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。 14、已知 2x 2 ? 6x ? y 2 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 2 x 的最大值是( A、14 答案:B 考点:完全平方公式。 分析:由 2x 2 ? 6x ? y 2 ? 0 得 y 2 ? ?2 x 2 ? 6 x 代入 x 2 ? y 2 ? 2 x ,通过二次函数的最值,求出 它的最大值。 解答: 2x 2 ? 6x ? y 2 ? 0 化为 y 2 ? ?2 x 2 ? 6 x , 0? y? 二次函数开口向下,当 x ? 4 时表达式取得最大值 由于 0 ? x ? 3 所以 x ? 3 时此时 y ? 0 ,表达式取得最大值:15 B、15 C、16 ) D、18

9 0? x?3 , 2

故 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8x ? x 2

点评:本题是中档题,考查曲线与方程的关系,直接利用圆锥曲线解答比较麻烦,利用转化 思想使本题的解答比较简洁,注意二次函数闭区间是的最大值的求法。 15、方程 x 2 ? 2 | x | ?2 ? m 恰有 3 个实根,则 m ? ( A、1 答案:C 考点:解一元二次方程-公式法;绝对值;一元二次方程的解。 专题:解题方法。 分析:因为方程中带有绝对值符号,所以讨论方程的根分两种情况:当 x ? 0 时,原方程为
x 2 ? 2 x ? 2 ? m ;当 x ? 0 时,原方程为 x 2 ? 2 x ? 2 ? m .

) D、2.5

B、1.5

C、2

解答:当 x ? 0 时,原方程为: x 2 ? 2 x ? 2 ? m ,化为一般形式为: x 2 ? 2 x ? 2 ? m ? 0 用求根公式得: x ?
2 ? 4m ? 4 ?1? m ?1 2 ? 2 ? 4m ? 4 ? ?1 ? m ? 1 2

当 x ? 0 时,原方程为: x 2 ? 2 x ? 2 ? m ,化为一般形式为: x 2 ? 2 x ? 2 ? m ? 0 用求根公式得: x ?

∵方程的根恰为 3 个,而当 m ? 2 时,方程的 3 个根分别是 x1 ? 2 , x2 ? 0 , x3 ? ?2 . 归纳:本题考查未知数的取值范围,以确定字母系数 m 的值。
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16、方程 x 2 ? 3x ? A、60 答案:A

3 ? 9 的全体实数根之积为( x ? 3x ? 7
2

) D、 ? 10

B、 ? 60

C、10

考点:换元法解分式方程。 专题:换元法。 分析:设 x 2 ? 3x ? 7 ? y ,原方程化成 y ? 解答:设 x 2 ? 3x ? 7 ? y ,则 y ?
3 ?2 y 3 ? 2 ,再整理成整式方程求解即可。 y

∴ y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,解得 y1 ? ?1 , y 2 ? 3
? 3 ? 33 2

当 y1 ? ?1 时, x 2 ? 3x ? 7 ? ?1,解得 x ?

当 y 2 ? 3 时, x 2 ? 3x ? 7 ? 3 ,解得 x ? 2 或 ?5 ∴
? 3 ? 33 ? 3 ? 33 ? ? 2 ? ?? 5? ? 60 2 2

归纳: 本题考查了用换元法解分式方程, 解次题的关键是把 x 2 ? 3x ? 7 看成一个整体来计算, 即换元法思想。 17、 关于 x 的一元二次方程 2 x 2 ? 5x ? a ? 0(a 为常数) 的两根之比 x1 : x 2 ? 2 : 3 , 则 x 2 ? x1 ? ( ) A、1 答案:C 考点:一元二次方程根与系数的关系及求解。 解答:设 2 x 2 ? 5x ? a ? 0 的两根分别为 2 k , 3k ,由根与系数的关系得: B、2 C、

1 2

D、

3 2

2k ? 3k ?

5 a , 2k ? 3k ? ? 2 2
∴ x 2 ? x1 ?

∴k ?

1 , a ? ?3 2

?x 2 ? x1 ?2 ? 4 x1 x 2

?

25 24 1 ? ? 4 4 2

归纳:本题考查了用根与系数的关系解决问题,关键是利用公式巧妙变形。 18、已知是 ? 、 ? 方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实根,则 ? 4 ? 3? ? _______. 答案:5 考点:根与系数的关系;代数式求值;完全平方公式。
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专题:计算题。 分析: 由方程的根的定义,可知 ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,移项,得 ? 2 ? 1 ? ? ,两边平方,整理得

? 4 ? 2 ? 3? ①;由一元二次方程根与系数的关系,可知 ? ? ? ? ?1 ②;将①②两式分别代入

? 4 ? 3? ,即可求出其值。
解答:∵ ? 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的根 ∴? 2 ?1? ? ∴ ? ? ? ? ?1 ∴? 2 ? ? ?1 ? 0 ∴ ? 4 ? 1 ? 2? ? ? 2 ? 1 ? 2? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 3? ∴ ? 4 ? 3? ? 2 ? 3? ? 3? ? 2 ? 3?? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ?? 1? ? 5

又∵ ? 、 ? 方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两个实根 归纳:本题主要考查了方程的根的定义,一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是 利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次,再结合根与系数的关系求解。 2a x ax ? 1 19、若关于 x 的方程 只有一解,求 a 的值。 ? ? x ?1 x2 ? x x 答案: a ? 0 或 a ?

1 2

考点:解分式方程。 分析: 先将分式方程转化为整式方程, 把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论, “只 有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出 a 的值。 解答:原方程化为 ax 2 ? ?2 ? 3a?x ? 1 ? 0 ① (1)当 a ? 0 时,原方程有一个解, x ?

1 2
2

(2)当 a ? 0 时,方程① ? ? 5a 2 ? 4?a ? 1? ? 0 ,总有两个不同的实数根,由题意知必有一个 根是原方程的增根,从原方程知增根只能是 0 或 1,显然 0 不是①的根,故 x ? 1 ,得 a ? 综上可知当 a ? 0 时,原方程有一个解, x ?

1 . 2

1 1 , a ? 时, x ? ?2 . 2 2

归纳:本题考查了解分式方程。注意:分式方程转化为整式方程不一定是等价转化,有可能 产生增根,分式方程只有一个解,可能足转化后所得的整式方程只有一个解,也可能是转化后的 整式方程有两个解,而其中一个是原方 20、 已知二次函数 f ?x ? ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? 满足 f ?? 1? ? 0 且 x ? f ?x? ? 立,求 f ?x ? ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? 的解析式。 考点:函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;二次函数的性质。 专题:综合题。

x2 ? 1 对一切实数恒成 2

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分析:取 x ? 1 ,由 1 ? f ?1? ? 所以 a ? c ? b ?

?a ? b ? c ? 1 1?1 ,能够求出 f ?1? ? 1 的值;由 f ?? 1? ? 0 ,知 ? , 2 ?a ? b ? c ? 0

1 , 由 x ? f ?x ? , 对一切实数恒成立, 知 ax 2 ? bx ? c ? x , 即 ax 2 ? ?b ? 1?x ? c ? 0 对 2

一切实数恒成立,由此能求出 f ?x ? 的表达式。 解答:解: (1)∵二次函数 f ?x ? ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? 满足 f ?? 1? ? 0 且 x ? f ?x? ? ∴取 x ? 1 ,得 1 ? f ?1? ?
?a ? b ? c ? 1 ∴? ?a ? b ? c ? 0

x2 ? 1 2

1?1 2

所以 f ?1? ? 1

∴a ?c ?b ?

1 2
∴ ax 2 ? ?b ? 1?x ? c ? 0 对一切实数恒成立

∵ x ? f ?x ? ,对一切实数恒成立

?a ? 0 ∴? 2 ?? ? ?b ? 1? ? 4ac ? 0
∵ a ? 0 , ac ?

?a ? 0 ? ∴? 1 ?ac ? 16 ?
∴c ? 0 ∴ f ?x ? ?

1 ?0 16



1 1 1 ? a ? c ? 2 ac ? 2 当且仅当 a ? c ? 时,等式成立 2 16 4

1 2 1 1 x ? x? 4 2 4

点评:本题考查二次函数的性质的综合应用,考查函数解析式的求法,解题时要认真审题, 仔细解答,注意函数恒成立条件的灵活运用。 21、已知 f ?x ? ? ax 2 ? bx ? c?a ? 0? . (1)对任意 x 1 , x2 ,当 x1 ? x 2 有 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ,求证: f ?x? ? 实根且有一根在( x 1 , x2 )内。 (2)若 f ?x? ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 两个不相等的 2

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 在( x 1 , x2 )内有一根为 m 且 x1 ? x2 ? 2m ? 1 .若 f ?x ? ? 0 的对 2

称轴为 x ? x 0 .求证: x 0 ? m 2 . 考点:一元二次方程的根的分布与系数的关系;二次函数的性质;等差数列的性质. 专题:计算题;转化思想. 分析: (1)通过计算一元二次方程的判别式大于 0,可得方程有两个不相等的实数根;设方 程对应的函数为 g ?x? ,由 g ?x1 ?g ?x 2 ? ? 0 ,可得方程有一个根属于( x 1 , x2 ) .
第 11 页 共 21 页

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 2 , 即 a?2m 2 ? x12 ? x2 ? ? b?2m ? x1 ? x2 ? ? 0 , 由 于 2 2 2 ? ? m 2 ? x12 ? x 22 证得结 x12 ? x 2 2 x1 ? x2 ? 2m ? 1 ,故 b ? ?a?2m 2 ? x12 ? x2 ? ,由 x0 ? ? 2ba ? 2m ? ?2 2
( 2 ) 由 题 意 可 得 f ?m? ? 论。 解答:证明: (1)∵ f ?x? ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 2

∴ f ?x? ? ax 2 ? bx ? c ?

1 2 ax12 ? bx1 ? c ? ax2 ? bx2 ? c 2

?

?

2 整理得: 2ax 2 ? 2bx ? a x12 ? x2 ? b?x1 ? x2 ? ? 0

?

?

2 ∴ ? ? 4b 2 ? 8a a x12 ? x2 ? b?x1 ? x2 ? ? 2 ?2ax1 ? b? ? ?2ax2 ? b? 2

??

?

? ?

2

?

∵ x1 ? x 2 ∵? ? 0

∴ 2ax1 ? b ? 2ax2 ? b 故方程有两个不相等的实数根

令 g ?x ? ? f ?x ? ? 又 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? 故方程 f ?x? ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 2

则 g ?x1 ?g ?x2 ? ?

1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ??2 4

则 g ?x1 ?g ?x 2 ? ? 0

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 有一根在( x 1 , x2 )内。 2 f ?x1 ? ? f ?x2 ? (2)∵方程 f ?x? ? 在( x 1 , x2 )内有一根为 m 2
2 ∴ a 2m 2 ? x1 ? x2 ? b?2m ? x1 ? x2 ? ? 0 2

∴ f ?m? ?

f ?x1 ? ? f ?x2 ? 2

?

?

∵ x1 ? x2 ? 2m ? 1 故 x0 ? ?

2 ∴ b ? ?a 2m 2 ? x12 ? x2

?

?

2 2 2m 2 ? x12 ? x 2 x 2 ? x2 b ? ? m2 ? 1 ? m2 2a 2 2

?

?

点评:本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,等差数列的性质, 体现了转化的数学思想。

一元二次方程成都四中考试真题
1、若 x ? A、3 答案:4 考点:因式分解的应用。 专题:整体思想。

1 1 ? 1 ,则 x 3 ? 3 的值为( x x
B、4

) C、5 D、6

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1 解答:∵ x ? ? 1 x

2 ? 1 ? 1 ?? 2 1 ? ? 1 ??? 1? ∴ x ? 3 ? ? x ? ?? x ? 1 ? 2 ? ? ? x ? ??? x ? ? ? 3? ? 4 x ?? x ?? x? x x ? ? ? ? ?? ? 3

归纳:本题关键是将 x ?

1 1 ? 1 作为整体,然后将 x 3 ? 3 进行因式分解变形解答。 x x


2、 已知实数 ? 、? 满足 ? 2 ? 3? ? 1 ? 0 ,? 2 ? 3? ? 1 ? 0 , 且 ?? ? 1 , 则 ? ?2 ? 3? 的值为 ( A、1 答案:D
1 3 1 ?1? ?1? 解析:由 ? 2 ? 3? ? 1 ? 0 得: 1 ? 3 ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? 0 ,即 ? 2 ? 1 ? ? , ? ? ? ? 3 ? ? ? ?
2

B、3

C、-3

D、10

∵ ?? ? 1 ,即 ? ? ∴? ?
1

1

?

∴把 ? 和

1

?

作为一元二次方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根

?

? ?3 ,

? ? ?1 ,即 ? ? ? ? ?
? 3? ? 1

∴ ? ? 2 ? 3? ?

1

?

2

?

2

? 3? ? 1 ?

3

?

?1 ? ? 3? ? 1 ? 3? ?? ??? ? ? 1 ? 9 ? 10 ? ?

归纳:本题是通过构造一元二次方程的两根,利用根与系数的关系解决问题。 3、实数 x、y 满足方程 x 2 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 y 最大值为( A、 ) D、不存在

1 2

B、

3 2

C、

3 4

答案:B 考点:根的判别式。 专题:计算题;转化思想。 分析:先把方程变形为关于 x 的一元二次方程 x 2 ? ?1 ? 2 y ?x ? 2 y 2 ? 3 y ? 1 ? 0 ,由于此方程 有解,所以 ? ? 0 ,这样得到 y 的不等式 4 y 2 ? 8 y ? 3 ? 0 ,解此不等式,得到 y 的取值范围,然后 找到最大值。 解答: 把 x 2 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x ? 3 y ? 1 ? 0 看作为关于 x 的 x 2 ? ?1 ? 2 y ?x ? 2 y 2 ? 3 y ? 1 ? 0 , 并且 此方程有解,所以 ? ? 0 ,即 ?1 ? 2 y ? ? 4 2 y 2 ? 3 y ? 1 ? 0
2

?

?

∴ 4 y 2 ? 8 y ? 3 ? 0 , ?2 y ? 3??2 y ? 1? ? 0 3 1 3 ∴ ? y? 故 y 的最大值是 2 2 2 点评: 本题考查了一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0, a, b, c 为常数) 根的判别式。 当? ? 0 , 方程有两个不相等的实数根;当 ? ? 0 ,方程有两个相等的实数根;当 ? ? 0 ,方程没有实数根。

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同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。 4、方程 2 x ? x 2 ? A、3 个 答案:D 考点:二次函数的图象;反比例函数的图象。 分析:此题实质是求函数 y1 ? 2x ? x 2 和函数 y 2 ? 两个已知函数的图象的交点情况,直接判断。 解答:设函数 y1 ? 2x ? x 2 ,函数 y 2 ?

2 的正根的个数为( x
B、2 个

) C、1 个 D、0 个

2 的图象在一、四象限有没有交点,根据 x

2 x

∵函数 y1 ? 2x ? x 2 的图象在一、三、四象限,开口向下,顶点坐标为(1,1) ,对称轴 x ? 1 函数 y 2 ?

2 的图象在一、三象限;而两函数在第一象限没有交点,交点在第三象限 x 2 的正根的个数为 0 个。 x

即方程 2 x ? x 2 ?

归纳:此题用函数知识解答比较容易,主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质,同 学们应该熟记且灵活掌握。 5、方程 x 2 ? x ? 1 A、2 答案:C 考点:零指数幂。 专题:分类讨论。 分析:方程的右边是 1,有三种可能,需要分类讨论。第 1 种可能:指数为 0,底数不为 0; 第 2 种可能:底数为 1;第 3 种可能:底数为 ?1 ,指数为偶数。 解答: (1)当 x ? 3 ? 0 , x 2 ? x ? 1 ? 0 时,解得 x ? ?3 ; (2)当 x 2 ? x ? 1 ? 1 时,解得 x ? ?2 或 1; (3)当 x 2 ? x ? 1 ? ?1 , x ? 3 为偶数时,解得 x ? ?1 因而原方程所有整数解是 ?3 , ?2 ,1, ?1 共 4 个。 点评:本题考查了: a 0 ? 1(a 是不为 0 的任意数)以及 1 的任何次方都等于 1。本题容易遗 漏第 3 种可能情况而导致误选 B,需特别注意。 6、 关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根分别为 ?3 和 1, 则方程 bx 2 ? cx ? a ? 0 的两根为 ( A、 ? )

?

?

x ?3

? 1 的所有整数解的个数是(
B、3 C、4

) D、5

1 和1 3

B、

1 和1 2

1 C、 和 ?1 3

D、 ?

1 和 ?1 2

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答案:B 考点:解一元二次方程-因式分解法;一元二次方程的解. 分析:因为方程的两个根为 ?3 和 1,所以方程可以方程因式为 a?x ? 3??x ? 1? ? 0 ,用含 a 的 式子表示 b 和 c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。 解答:∵ ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根为 ?3 和 1 整理得: ax 2 ? 2ax ? 3a ? 0
2

∴ a?x ? 3??x ? 1? ? 0

∴ b ? 2 a , c ? ? 3a

把 b,c 代入方程 bx ? cx ? a ? 0 ,得: 2ax 2 ? 3ax ? a ? 0
a?2 x ? 1??x ? 1? ? 0

∴ x1 ?

1 , x2 ? 1 2

归纳:本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,把方程的两根代入方程,整理后用含 a 的式子表示 b 和 c,然后把 b,c 代入后面的方程,用因式分解法可以求出方程的根。 7、实数 x、y 满足 x 2 ? xy ? y 2 ? 2 ,记 u ? x 2 ? xy ? y 2 ,则 u 的取值范围是( A、 )

2 ?u?6 3

B、

2 ?u?2 3

C、 1 ? u ? 6

D、 1 ? u ? 2

答案:A 考点:完全平方公式。 专题:综合题。 分析:把原式的 xy 变为 2 xy ? xy ,根据完全平方公式特点化简,然后由完全平方式恒大于等 于 0,得到 xy 的范围;再把原式中的 xy 变为 ?2 xy ? 3xy ,同理得到 xy 的另一个范围,求出两范 围的公共部分, 然后利用不等式的基本性质求出 2 ? 2 xy 的范围, 最后利用已知 x 2 ? xy ? y 2 ? 2 表 示出 x 2 ? y 2 ,代入到 u 中得到 u ? 2 ? 2 xy , 2 ? 2 xy 的范围即为 u 的范围。 解答:由 x 2 ? xy ? y 2 ? 2 得: x 2 ? 2xy ? y 2 ? 2 ? xy ? 0 由 x 2 ? xy ? y 2 ? 2 得: x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 2 ? 3xy ? 0 即 ?x ? y ? ? 2 ? 3xy ? 0 ,则 xy ?
2

即 ?x ? y ? ? 2 ? xy ? 0 ,则 xy ? ?2
2

2 3

∴ ? 2 ? xy ?

2 3

∴不等式两边同时乘以 ?2 得: 4 ? ?2 xy ? ? 两边同时加上 2 得: 4 ? 2 ? 2 ? 2xy ? ? ∵ x 2 ? xy ? y 2 ? 2

4 3

4 2 ? 2 ,即 ? 2 ? 2 xy ? 6 3 3
∴ u ? x 2 ? xy ? y 2 ? 2 ? 2xy

∴ x 2 ? y 2 ? 2 ? xy

第 15 页 共 21 页

则 u 的取值范围是

2 ?u?6 3

点评:此题考查了完全平方公式,以及不等式的基本性质,解题时技巧性比较强,对已知的 式子进行了三次恒等变形,前两次利用拆项法拼凑完全平方式,最后一次变形后整体代入确定出 u 关于 xy 的式子,从而求出 u 的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点:两数的平方 和加上或减去它们乘积的 2 倍等于两数和或差的平方. 8、已知实数 m,n 满足 m 2 ? m ? 2009 ? 0 , 考点:一元二次方程根与系数的关系。
1 1 1 ?1? 分析:根据题意:由 m 2 ? m ? 2009 ? 0 得: 2009? ? ? ? 1 ? 0 ;由 2 ? ? 2009 ? 0 得: m n n ?m?
2

1 1 1 ? ? 2009 ? 0?mn ? ?1? ,则 ? n ? _____ . 2 n m n

2009?? n? ? ?? n? ? 1 ? 0 ,又因为 mn ? ?1 ,即
2

1 1 ? ?n ,因此可以把 , ?n 作为一元二次方程 m m 1 1 . ?n?? m 2009

2009x 2 ? x ? 1 ? 0 的两根,由根与系数的关系得:

解答:∵ m 2 ? m ? 2009 ? 0 ,
2

1 1 ? ? 2009 ? 0 n2 n

1 ?1? 2 ∴ 2009? ? ? ? 1 ? 0 , 2009?? n? ? ?? n? ? 1 ? 0 m ?m?

∵ mn ? ?1 ∴把



1 ? ?n m

1 1 1 1 , ?n 作为一元二次方程 2009x 2 ? x ? 1 ? 0 的两根 ∴ ? n ? ? ?? n? ? ? m m m 2009

归纳:本题考查的是用构造一元二次方程,利用根与系数的关系解答问题,本题的关键是利 用已知进行变形是关键所在,不要忽视了 mn ? ?1 这个条件隐含的题意。 9、已知方程 x 2 ? ?2k ? 1?x ? k 2 ? 2 ? 0 的两实根的平方和等于 11,k 的取值是( A、 ? 3 或 1 答案:C 考点:根与系数的关系;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式。 分 析 : 由 题 意 设 方 程 x 2 ? ?2k ? 1?x ? k 2 ? 2 ? 0 两 根 为 x 1 , x2 , 得 x1 ? x2 ? ??2k ? 1? ,
x1 x 2 ? k 2 ? 2 ,然后再根据两实根的平方和等于 11,从而解出 k 值。



B、 ?3

C、1

D、3

解答:设方程 x 2 ? ?2k ? 1?x ? k 2 ? 2 ? 0 两根为 x 1 , x2 得 x1 ? x2 ? ??2k ? 1? , x1 x 2 ? k 2 ? 2 , ? ? ?2k ? 1? ? 4 k 2 ? 2 ? 4k ? 9 ? 0
2

?

?

∴k ? ?

∵ x1 ? x 2 ? 11

2

2

∴ ?x1 ? x2 ? ? 2x1 x2 ? 11
2

9 4

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∴ ?2k ? 1? ? 2 k 2 ? 2 ? 11
2

?

?

解得 k ? 1 或 ?3

∴k ? ?

9 4

归纳:此题应用一元二次方程根与系数的关系解题,利用两根的和与两根的积表示两根的平 方和,把求未知系数的问题转化为解方程的问题。 10、设 a,b 是整数,方程 x 2 ? ax ? b ? 0 有一个实数根是 7 ? 4 3 ,则 a ? b ? ______. 答案: ?3 考点:一元二次方程的解;二次根式的化简求值。 专题:方程思想。 分析:一个根 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 代入方程,得到 a,b 等式,再由 a,b 是整数,可以求出 a, b 的值。 解答: 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 ,把 2 ? 3 代入方程有: 7 ? 4 3 ? 2 ? 3 a ? b ? 0

?

?

?7 ? 2a ? b? ? ?? 4 ? a?
∵a,b 是整数

3 ?0
? a ? ?4 ∴? ?b ? 1

?7 ? 2a ? b ? 0 ∴? ?? 4 ? a ? 0

∴ a ? b ? ?3

归纳: 本题考查的是一元二次方程的解, 把方程的解代入方程, 由 a, b 是整数就可以求出 a, b 的值。 11、已知函数 y ? x 2 ? ?b ? 1?x ? c , (b,c 为常数) ,这个函数的图象与 x 轴交于两个不同的 两点 A( x 1 ,0)和 B( x2 ,0)且满足 x 2 ? x1 ? 1 . (1)求证: b ? 2?b ? 2c ? (2)若 t ? x1 ,试比较 t 2 ? bt ? c 与 x 1 的大小,并加以证明。 考点:抛物线与 x 轴的交点。 专题:证明题;探究型。 分析: (1)首先利用求根公式求出 x 的值,再由 x 2 ? x1 ? 1 求解; (2)已知 x 2 ? ?b ? 1?x ? c ? ?x ? x1 ??x ? x2 ? 推出 ?t ? x1 ??t ? x 2 ? 1? .根据 t ? x1 推出答案。 解答:证明: (1)∵令 y ? x 2 ? ?b ? 1?x ? c 中 y ? 0 得到 x 2 ? ?b ? 1?x ? c ? 0 ∴x?
? ?b ? 1? ?

?b ? 1?2 ? 4c
2

第 17 页 共 21 页

又 x 2 ? x1 ? 1



?b ? 1?2 ? 4c ? 1

∴ b 2 ? 2b ? 1 ? 4c ? 1

∴ b ? 2?b ? 2c ?

(2)由已知 ∴ x 2 ? bx ? c ? ?x ? x1 ??x ? x2 ? ? x ∴ t 2 ? bt ? c ? ?t ? x1 ??t ? x2 ? ? t ∴ t 2 ? bt ? c ? x1 ? ?t ? x1 ??t ? x2 ? ? t ? x1 ? ?t ? x1 ??t ? x2 ? 1? ∵ t ? x1 ∴ t ? x1 ? 0 ∴ t ? x1 ? x 2 ? 1 ∴ ?t ? x1 ??t ? x 2 ? 1? ? 0 即 t 2 ? bt ? c ? x1

∵ x 2 ? x1 ? 1 ∴ t ? x2 ? 1 ? 0

归纳:综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。 12、已知关于 x 的方程 ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根 x 1 和 x2 ,并且抛物线
y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁。

(1)求实数 a 的取值范围; (2)当 x1 ? x2 ? 2 2 时,求 a 的值。 考点:抛物线与 x 轴的交点;根与系数的关系。. 分析: (1)由一元二次方程的二次项系数不为 0 和根的判别式求出 a 的取值范围。设抛物线 、 ( ? ,0) ,且 ? ? ? ,∴ ? 、 y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点的坐标分别为( ? ,0)

? 是 x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 ? 0 的两个不相等的实数根,再利用 x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 ? 0 的根的判
别式求 a 的取值范围, 又∵抛物线 y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点 (2, 0) 的两旁,利用根与系数的关系确定; (2)把代数式变形后,利用根与系数的关系求出 a 的值。 解答:解: (1)∵关于 x 的方程 ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 有两个不相等的实数根

?a ? 2 ? 0 ∴? 2 ?? ? ?? 2a ? ? 4a?a ? 2? ? 0
解得: a ? 0 ,且 a ? ?2 ① 设抛物线 y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点的坐标分别为 (? , 0) (? , 、 0) , 且? ? ? ∴ ? 、 ? 是 x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 ? 0 的两个不相等的实数根 ∵ ? ? ?? ?2a ? 1?? ? 4 ? 1 ? ?2a ? 5? ? ?2a ? 1? ? 21 ? 0
2 2

∴a 为任意实数② 由根与系数关系得: ? ? ? ? 2a ? 1 , ?? ? 2a ? 5 ∵抛物线 y ? x 2 ? ?2a ? 1?x ? 2a ? 5 与 x 轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁 ∴? ? 2 , ? ? 2 ∴ ?? ? 2??? ? 2? ? 0 ∴ ?? ? 2?? ? ? ? ? 4 ? 0

第 18 页 共 21 页

∴ 2a ? 5 ? 2?2a ? 1? ? 4 ? 0

3 解得: a ? ? ③ 2 3 ?a?0 2

由①、②、③得 a 的取值范围是 ?

(2)∵ x 1 和 x2 是关于 x 的方程 ?a ? 2?x 2 ? 2ax ? a ? 0 的两个不相等的实数根 ∴ x1 ? x 2 ? ∵?

2a a , x1 x2 ? a?2 a?2
∴a ? 2 ? 0 ∴ x1 x2 ?

3 ?a?0 2

a ?0 a?2

不妨设 x1 ? 0 , x2 ? 0

∴ x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 2
2

2 ∴ x12 ? 2 x1 x 2 ? x 2 ? 8 ,即 ?x1 ? x2 ? ? 4x1 x2 ? 8

4a ? 2a ? ?8 ∴? ? ? a ? 2 a ?2 ? ?

2

解这个方程,得: a1 ? ?4 , a 2 ? ?1
2

4a ? 2a ? ? 8 的根 经检验, a1 ? ?4 , a 2 ? ?1 都是方程 ? ? ? a?2 ?a ? 2?

∵ a ? ?4 ? ?

3 ,舍去 2

∴ a ? ?1 为所求。

归纳:本题综合性强,考查了一元二次方程中的根与系数的关系和根的判别式的综合利用。 13、已知方程 ax 4 ? ?a ? 3?x 2 ? 3a ? 0 的一根小于 ?2 ,另外三根皆大于 ?1 ,求 a 的取值范围。 解答:设 ax 4 ? ?a ? 3?x 2 ? 3a ? 0 的 4 个根分别为 ? x1 , x 1 , x2 , ? x 2 ,且 ? x1 ? ?2 , x1 ? ?1 , 即 x1 ? 2 ; ? x 2 ? ?1 ,即 ?1 ? x 2 ? 1
x 1 , x2 为方程 f ? y ? ? ay 2 ? ?a ? 3?y ? 3a ? 0 的两个根

? ? ?? ?a ? 3?? ? 12a 2 ? 0 , a ? 0 ,解得:
2

?3?6 3 ?3?6 3 ?a? ,a ? 0 11 11

(1)若 a ? 0 , f ?? 1? ? 0 , f ?1? ? 0 , f ?2? ? 0
3 ? ?a ? 4 ?a ? a ? 3 ? 3a ? 0 ? ? ?a ? a ? 3 ? 3a ? 0 ,解得 ?a ? ?1 ? ?4a ? 2a ? 6 ? 3a ? 0 6 ? ?a ? ? 5 ?

不符合题意,舍去。 (2)若 a ? 0 , f ?? 1? ? 0 , f ?1? ? 0 , f ?2? ? 0

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3 ? ?a ? 4 ?a ? a ? 3 ? 3a ? 0 ? ? ?a ? a ? 3 ? 3a ? 0 ,解得 ?a ? ?1 ? ?4a ? 2a ? 6 ? 3a ? 0 6 ? ?a ? ? 5 ?

即?

5 ? a ? ?1 6

故 a 的取值范围为: ?

5 ? a ? ?1 6

3 14、已知关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? k ? 0 有实数根 x 1 , x2 且 y ? x13 ? x 2 ,试问:y 值是否有最

大值或最小值,若有,试求出其值,若没有,请说明理由。 考点:根与系数的关系;根的判别式。 分析:若一元二次方程有实数根,则根的判别式 ? ? 0 ,由此可求出 k 的取值范围;依据根 与系数的关系,可求出 x1 ? x 2 及 x1 x 2 的表达式;然后将 y 的表达式化为含两根之和与两根之积的 形式,即可得到关于 y、k 的关系式,联立 k 的取值范围,即可求得 y 的最小值。 解答:∵ x 2 ? 2 x ? k ? 0 实数根 ∴ 2 2 ? 4k ? 0 ∴ k ? 1 ∵ x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? k
3 3 ∴ y ? x1 ? x2 ? ?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 3x1 x2 ? 2?4 ? 3k ? ? 8 ? 6k ,即 y ? 8 ? 6k 2

?

?

∵ k ?1

∴ ?6 k ? ?6

∴ 8 ? 6k ? 8 ? 6 ? 2

即 y 有最小值为 2. 归纳:本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,能够正确得出关于 y、k 的关系式是 解答此题的关键。 15、求所有有理数 q,使得方程 qx 2 ? ?q ? 1?x ? ?q ? 1? ? 0 的所有根都是整数。 考点:一元二次方程的整数根与有理根。 专题:计算题;分类讨论。 分析:对 q ? 0 和 q ? 0 进行讨论。q ? 0 时,原方程是关于 x 的一次方程,可解得 x ? 1 ;q ? 0 时,原方程是关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到 x1 ? x 2 ? ?
x1 x 2 ? q ?1 1 ? ?1 ? ①, q q

? x ? 4 ? x1 ? 0 q ?1 1 ? 1 ? ②,消 q 变形得 ?x1 ? 1??x 2 ? 1? ? 3 ,利用整数的性质得到 ? 1 或? , q q ? x 2 ? 2 ? x 2 ? ?1

再由②即可求出 q. 解答:解:当 q ? 0 时,原方程变为: x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ; 当 q ? 0 时,原方程是关于 x 的一元二次方程,设它的两个整数根为 x 1 , x2 ,且 x1 ? x 2 , ∴ x1 ? x 2 ? ?
q ?1 q ?1 1 1 ? ?1 ? ①, x1 x 2 ? ?1? ② q q q q

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②-①得: x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 2
? x ? 4 ? x1 ? 0 ∴? 1 或? ? x 2 ? 2 ? x 2 ? ?1

∴ ?x1 ? 1??x 2 ? 1? ? 3

? x ? 1 ? 3 ? x1 ? 1 ? ?1 ∴? 1 或? ? x 2 ? 1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?3

∴由②得, q ?

1 1 ?? 或1 1 ? x1 x 2 7

综上所述,当 q ? 0 , ?

1 ,1 时,原方程的所有根是整数。 7

归纳:本题考查了一元二次方程整数根的问题:利用根与系数的关系消去未知系数直接得到 两整数根的关系,然后利用整数的性质求解。也考查了分类讨论思想的运用。

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