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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件 (2)


第2讲
一、选择题

命题及其关系、充分条件与必要条件
) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

1.若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件

解析若 a=1,则有|a|=1 是真命题,即 a=1? |a|=1,由|a|=1 可得 a=± 1,所 以若|a|=1,则有 a=1 是假命题,即|a|=1? a=1 不成立,所以 a=1 是|a|=1 的充分而不必要条件. 答案 A 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数. 答案 B 1 3.已知集合 A={x∈R|2<2x<8},B={x∈R|-1<x<m+1},若 x∈B 成立的一个 充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 C.m>2 B.m≤2 D.-2<m<2 ) )

1 解析 A={x∈R|2<2x<8}={x|-1<x<3} ∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A ∴A?B ∴m+1>3,即 m>2. 答案 C 4.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 )

B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 解析 x2<1 的否定为:x2≥1;-1<x<1 的否定为 x≥1 或 x≤-1,故原命题的逆 否命题为:若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1. 答案 D 5.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析 答案 否命题既否定题设又否定结论,故选 B. B ( ). ).

6.方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是 A.0<a≤1 C.a≤1 解析 法一 B.a<1 D.0<a≤1 或 a<0 1 (直接法)当 a=0 时,x=-2符合题意.

当 a≠0 时,若方程两根一正一负(没有零根), Δ=4-4a>0, ? ? 则?1 <0 ? ?a ?a<1, ?? ?a<0; ?a<0 Δ=4-4a≥0, ?a≤1, ?? ?0<a≤1. ?a>0

? ?-2 <0, 若方程两根均负,则? a 1 ? ?a>0
法二

综上所述,所求充要条件是 a≤1. (排除法)当 a=0 时,原方程有一个负实根,可以排除 A,D;当 a=1

时,原方程有两个相等的负实根,可以排除 B,所以选 C. 答案 C

二、填空题 7.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ,有下列四个命题 2π? ? p1:|a+b|>1?θ∈?0, 3 ? ? ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π? ? ? π? ? p3:|a-b|>1?θ∈?0,3? ? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3,π? ? ? 其中真命题的个数是____________. 解析 1 由|a+b|>1 可得 a2+2a· b+b2>1,因为|a|=1,|b|=1,所以 a· b>-2,

2π? 2π? 1 ? ? 故 θ∈?0, 3 ?.当 θ∈?0, 3 ?时,a· b>-2,|a+b|2=a2+2a· b+b2>1,即|a ? ? ? ? +b|>1,故 p1 正确.由|a-b|>1 可得 a2-2a· b+b2>1,因为|a|=1,|b|=1, 1 ?π ? 所以 a· b<2,故 θ∈?3,π?,反之也成立,p4 正确. ? ? 答案 2

8.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________. 解析由 x2>1, 得 x<-1 或 x>1, 又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件, 知由“x<a” 可以推出“x2>1”,反之不成立,所以 a≤-1,即 a 的最大值为-1. 答案-1
? ? ? ?1 ? 9.已知集合 A=?x?2<2x<8,x∈R ?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立 ? ? ? ? ?

的一个充分不必要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 解析
? ? ? ?1 ? A=?x?2<2x<8,x∈R ?={x|-1<x<3}, ? ? ? ? ?

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A,∴A?B, ∴m+1>3,即 m>2. 答案 (2,+∞)

1 10.“m<4”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的________条件.

解析 答案

1 x2+x+m=0 有实数解等价于 Δ=1-4m≥0,即 m≤4. 充分不必要

三、解答题

11. 写出命题“已知 a, b∈R, 若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集, 则 a2≥4b” 的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 解(1)逆命题:已知 a,b∈R,若 a2≥4b,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非 空解集,为真命题. (2)否命题:已知 a,b∈R,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集, 则 a2<4b,为真命题. (3)逆否命题:已知 a,b∈R,若 a2<4b,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有 非空解集,为真命题. 12.求方程 ax2+2x+1=0 的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件. 解方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一负根. 1 当 a=0 时,x=-2适合条件. 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 有实根, 则 Δ=4-4a≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1. 1 当 a<1 时,若方程有且仅有一负根,则 x1x2=a <0, ∴a<0. 综上,方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一负实数根的充要条件为 a≤0 或 a=1. 13.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)若 ab=0,则 a=0 或 b=0; (2)若 x2+y2=0,则 x,y 全为零. 解 (1)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0,真命题.

否命题:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,真命题. 逆否命题:若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,真命题. (2)逆命题:若 x,y 全为零,则 x2+y2=0,真命题. 否命题:若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零,真命题.

逆否命题:若 x,y 不全为零,则 x2+y2≠0,真命题. 14.已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-a2≤0(a>0).若 p 是 q 的充分不必要 条件,求实数 a 的取值范围. 解 p:x2-8x-20≤0?-2≤x≤10,

q:x2-2x+1-a2≤0?1-a≤x≤1+a. ∵p?q,q?/ p, ∴{x|-2≤x≤10}?{x|1-a≤x≤1+a}.

?1-a≤-2, 故有?1+a≥10, ?a>0,

且两个等号不同时成立,解得 a≥9.

因此,所求实数 a 的取值范围是[9,+∞). 15.已知集合 M={x|x<-3,或 x>5},P={x|(x-a)· (x-8)≤0}. (1)求 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件. 解(1)由 M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是 -3≤a≤5; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件, 就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8}; 反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有 a=0,故 a=0 是 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分 不必要条件.


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