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2.1简单随机抽样


中小学个性化辅导专家

巨人教育辅导讲义 学员编号(卡号) : 学员姓名: 课 题 年 级: 辅导科目: 第 次课 教师:

2.1 简单随机抽样
教学内容

探索新知 新知 1:简单随机抽样的概念 一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次抽 取时总体内的

各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样 本,叫做简单随机样本。 【说明】简单随机抽样必须具备下列特点: (1)简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数 N 是有限的。 (2)简单随机样本数 n 小于等于样本总体的个数 N。 (3)简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 (4)简单随机抽样是一种不放回的抽样。 (5)简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N。 新知 2:抽签法和随机数法 抽签法的定义:一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个 容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本。 【说明】抽签法的一般步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)连续抽签获取样本号码。 思考:你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? 随机数法的定义: 利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅介绍随机数表 法。 假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进 行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行。 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,…,799。 第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第 8 行第 7 列的数 7(随机数表详见教材附表 1 的第 6 行至第 10 行) 。 第三步, 从选定的数 7 开始向右读 (读数的方向也可以是向左、 向上、 向下等) , 得到一个三位数 785, 由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它 去掉,按照这种方法继续向右读,又取出 567,199,507,…,依次下去,直到样本的 60 个号码全 部取出,这样我们就得到一个容量为 60 的样本。

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【说明】随机数表法的步骤: (1)将总体的个体编号。 (2)在随机数表中选择开始数字。 (3)读数获取样本号码。 典型例题 例 1 人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家来说, 都是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样?

例 2 某车间工人加工一种轴 100 件, 为了了解这种轴的直径, 要从中抽取 10 件轴在同一条件下测量, 如何采用简单随机抽样的方法抽取样本?

※动手试试 练 1. 现有 30 个零件、需从中抽取 10 个进行检查,如何利用抽鉴法得到一个容量为 10 的样本?

练 2.要从高一年级全体学生 450 人随机抽取 50 人参加一项活动, 请用随机数法抽取人选, 写出过程。

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三、总结提升 1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方法:放回和 不放回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法。 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的 签搅拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点上当总体容量较大时, 仍然不是很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型。 3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等, 均为 n/N, 但是这里一定要将每个个体入样的可能性、 第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开业,避免在 解题中出现错误。 当堂检测 1.从 50 个产品中随机抽取 10 个进行检查,则总体个数为 2.对于简单随机抽样,有以下几种说法,其中不正确的是 A.要求总体的个数有限 C.这是一种不放回抽样 B.从总体中逐个抽取 D.每个个体被抽到的机会与抽取先后有关 ,样本容量为 。 。

3.用随机数表法进行抽样有以下几个步骤: ①将总体中的个体编号,②获取样本号码,③选定开始的数字。这些步骤的先后顺序应为 A.①②③ B.①③② C.③②① D.③①② 4.从 3 名男生、2 名女生中随机抽取 2 人,检查数学成绩, 则抽到的均为女生的可能性是 。 ) 作业 1.为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是( A.总体是 240 B. 个体是每一个学生 C. 样本是 40 名学生 D. 样本容量是 40 2.为了正确所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中, 200 个零件的长度是( ) A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量 3.一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本, 则某一特定个体被抽到的可能性是 . 探索新知 新知 1:系统抽样的定义: 一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按 照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。 说明:由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征: (1)当总体容量 N 较大时,采用系统抽样。 (2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等, 因此,系统抽样又称等距抽样,这时间隔一般为 k=[ Nn ].
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(3)预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号, 在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。 思考?(1)下列抽样中不是系统抽样的是( ) A. 从标有 1~15 号的 15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序, 随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品,用传带将产品送入包装车间前, 检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈. 点拨:C 不是系统抽样,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样。 新知 2:系统抽样的一般步骤。 (1)采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个编号。 (2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,L≤k). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号 L(L∈N,L≤k) 。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 L 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 L+K, 再加上 K 得到第 3 个个体编号 L+2K,这样继续下去,直到获取整个样本。 说明:从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问 题简单化,体现了数学转化思想。 典型例题 例 1 某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,……,295,为了了解学生的学习情况, 要按 1:5 的比例抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程。

例 2 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验, 若采用每 部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( A.5,10,15,20,25 B. 3,13,23,33,43 )

C.1,2,3,4,5 D. 2,4,6,16,32 动手试试 练 1.某批产品共有 1563 件,产品按出厂顺序编号,号码为从 1——1563.检测员要从中抽取 15 件 产品作检测,请给出一个系统抽样方案.
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练 2.下列抽样试验中,最适宜用系统抽样的是( ) A.从某厂生产的 15 件产品中随机抽取 5 件入样 B.从某厂生产的 1 000 件产品中随机抽取 10 件入样 C.从某厂生产的 1 000 件产品中随机抽取 100 件入样 D.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查, 直到调查到事先规定调查人数为止 三、总结提升 1.在抽样过程中,当总体中个体较多时,可采用系统抽样的方法进行抽样,系统抽样的步骤为: (1)采用随机的方法将总体中个体编号; (2)将整体编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N); (3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号 L; (4)按照事先预定的规则抽取样本。 2.在确定分段间隔 k 时应注意:分段间隔 k 为整数,当
N n

不是整数时,

应采用等可能剔除的方剔除部分个体,以获得整数间隔 k。 当堂检测 1. 为了解 1200 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 30 的样本, 考虑采用系统抽样,则分段的间隔 k 为( ) A.40 B.30 C.20 D.12 2.为了了解参加一次知识竞赛的 1252 名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本,那么总体中应随机剔除的个体数目( ) A.2 B.4 C.5 D.6 3.用系统抽样的方法从个体数为 1003 的总体中抽取一个容量为 50 的样本,在整个抽样过程中每个 个体被抽到的可能性为( ) A.1/1000 B.1/1003 C.50/1003 D.50/1000 4.将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 0001,0002,0003,…,1000,打算从中抽取一个容量为 50 的样本,按系统抽样的方法分成 50 个部分,如果第一部分编号为 0001,0002,…,0020,第 一部分随机抽取一个号码为 0015,则抽取的第 40 个号码为____________ 作业 1. 从学号为 1~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试, 采用系统抽样的方法,则所选 5 名学生的学号可能是 A.1,2,3,4,5 C.2, 4, 6, 8, 10 B. 5,16,27,38,49 D. 4,13,22,31,40 ( D.1/9 抽样方法。 ) ( )

2.采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本, 那么每个个体入样的可能性为 A.1/8 B.10/83 C.10/85

3.某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解有 关情况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是
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4.中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励,要从已确定编号的一万名小观众中抽 出十名幸运小观众.现采用系统抽样方法抽取,其组容量为( ) A.10 B.100 C.1000 D.10000 探索新知 新知 1:分层抽样的定义 一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量 的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。 说明:应用分层抽样应遵循以下要求: (1)分层:将相似的个体归人一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉, 即遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每 层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。 新知 2:分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征将总体分成若干部分。 (2)按比例确定每层抽取个体的个数。 (3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取。 (4)综合每层抽样,组成样本。 说明:(1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则。 (2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定。 (3)各层抽样按简单随机抽样进行。 思考:1.分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层) ,然后每层抽取若干个体构成样本, 所以分层抽样为保证每个个体等可能入样,必须进行( ) A.每层等可能抽样 B.每层不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 2.如果采用分层抽样,从个体数为 N 的总体中抽取一个容量为 n 样本, 那么每个个体被抽到的可能性为( ) A. N B. n C. N D. N 新知 3 :简单随机抽样、系统抽样、分层抽样表 类 别 简 单 随 机 抽 样 共同点 各自特点 联 系 适 用 范 围 总体个数较少 总体个数较多
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n

n

系 统 抽 样 总体由差异明 显的几部分组 分 层 成 抽 样 典型例题 例 1 某高中共有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人,现采用分层抽 样抽取容量为 45 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( ) A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20

(1)抽样过程中 从总体中逐个抽取 每个个体被 将总体均分成几部分, 在起始部分 抽到的可能 按预先制定的规则在 样时采用简 性相等 各部分抽取 随机抽样 (2)每次抽出个 体后不再将 分层抽样时采 将总体分成几层, 它放回,即 用简单随机抽 分层进行抽取 不放回抽样 样或系统抽样

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例 2 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全 体职工随机按 1-200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1-5 号, 6-10 号…, 196-200 号) . 若 第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则 40 岁以下年 龄段应抽取 人

动手试试 练 1.一电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查, 参加调查的总人数为 12000 人, 其中持各种态度的人数如下表所示: 很喜爱 3000 喜爱 3600 一般 4000 不喜爱 1400

打算从中抽取 60 人进行详细调查,如何抽取?

练 2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点,公司为了调 查产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为(1);在丙 地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为 (2).则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 ) B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法

三、总结提升 1.分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点: (1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差异要小, 面层之间的样本差异要大,且互不重叠。 (2)为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用同一抽样比等可能抽样。 (3)在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。 2.分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此 分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。 当堂检测 1. 某单位有老年人 45 人,中年人 55 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体情况, 需从他们中抽取一个容量为 36 的样本,则适合的抽取方法是 ( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老人中剔除 1 人,然后再分层抽样
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2.某校有 500 名学生,其中 O 型血的有 200 人,A 型血的人有 125 人,B 型血的有 125 人,AB 型血的 有 50 人,为了研究血型与色弱的关系,要从中抽取一个 20 人的样本,按分层抽样,O 型血应抽 取的人数为 人, A 型血应抽取的人数为 人, B 型血应抽取的人数为 人, AB 型血应抽取的人数为 人。 3.某中学高一年级有学生 600 人,高二年级有学生 450 人,高三年级有学生 750 人,每个学生被抽 到的可能性均为 0.2,若该校取一个容量为 n 的样本,则 n= 4.上海大众汽车厂生产了 A、B、C 三种不同型号的小轿车,产量分别 1 200 辆、6 000 辆、2 000 辆,为检验这三种型号的轿车质量,现在从中抽取 46 辆进行检验,那么应采用___________抽样 方法,其中 B 型号车应抽查__________辆. 作业 1.某商场有四类商品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样的方法抽取样本, 则抽取的植物油与果蔬类食品种数之和是 A.4 B.5 C.6 D.7 2.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了解该单 位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容 量为 A.7 B. 15 C. 25 D.35 3.一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A.12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 4.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比为 2:3:5,现用分层抽样方法抽取一个容 量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 16 种,那么此样本容量 n=_____.

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