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第1讲 命题及其关系,充分条件与必要条件


第十六章

常用逻辑用语

知识网络
命题的四种形式及其关系 充要条件 常用逻辑用语 简易逻辑 逻辑联结词 简单命题与复合命题

全称量词与存在量词

第1讲

命题及其关系,充分条件与必要条件

★ 知 识 梳理 ★ 1.用语言、符号或式子表达的,可以判断真假、的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题 2. (1)如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_ 和条件_,那么这两个命题叫互逆命题. (2)如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定,那么这两个命题叫互否命题. (3)如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_ 和_条件的否定_____,那么这两个命题叫互否命题. 3.一般地,把条件 p 的否定和结论 q 的否定,分别记为“┐ p ”和“┐ q ” ,则命题的四种 形式可写为: 原命题: “若 p 若 q ” 逆命题: “若 q 若 p ” 否命题: “若 ┐ p 是 ┐ q ” 逆否命题: “若 ┐ q 是 ┐ p ”

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特别提醒:可以发现:

(1)原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示: 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非 p 则非 q 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非 q 则非 p 互逆 互 互 否 逆命题

若q则p

互逆

(2)互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.

4. 用反证法证明的一般步骤是: (1) 反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2) 归谬:从假设出发,经过推理论证,得出矛盾; (3) 结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
特别提醒:

1、适宜用反证法证明的数学命题: (1) 结论本身以否定形式出现的命题. (2)关于唯一性、存在性的的命题. (3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题. , (4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题. 2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式: (1)与定义、公理、定理矛盾. (2)与已知条件矛盾. (3)与假设矛盾. (4)自相矛盾. 5. 如果“若 p 则 q ”为真, 记为 p ? q , , 如果“若 p 则 q ”为假, 记为 p ? q . ? 6.若 p ? q , 则 p 是 q 的充分, q 是 p 的必要___ 7.判断方法: (1)定义法: ① p 是 q 的充分不必要条件 ? ?
?p? q ? ?p ? q

② p 是 q 的必要不充分条件 ? ?

?p? q ? ?p ? q

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专心

③ p 是 q 的充要条件 ? ?

?p? q ?q ? p

④ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ? ?

?p? q ? ? ?p ? q

(2)集合法: 设 P={p}, Q={q}, ① ② ③ 若__ P Q, 则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件.

若___ P=Q _______,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件). 若______ P Q且Q P _______, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

(3) 逆否命题法: ① ? q 是 ? p 的充分条件不必要条件 ? p 是 q 的______充分条件不必要条件_ ② ? q 是 ? p 的必要条件不充分条件 ? p 是 q 的___充分条件不必要条件 ③ ? q 是 ? p 的充分要条件 ? p 是 q 的__________充要条件_____ ④ ? q 是 ? p 的既不充分条件与不必要条件 ? p 是 q 的__既不充分条件与不必要条件_
特别提醒:

1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设 P={p}, Q={q}, ① 若 p 是 q 的充分不必要条件,则 P ② 若 q 是 p 的必要不充分条件,则 P Q Q

③ 若 P=Q ,则 p 是 q 的充要条件(q 也是 p 的充要条件). ④ 若P Q且Q P, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

2、 证明 p 是 q 的充要条件,既要证“ p ? q ” ,又要证“ q ? p ” ,前者证明的是充分性; , 后者证明的必要性. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:初步掌握四种命题的关系,并能判断四种命题的真假;初步掌握利用反证法证明一 些问题;正确理解三个概念,并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件 三个概念,并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题 p 是命题 q 的什么条件. 2.难点:利用反证法证题;充要条件的证明. 3.重难点:.
(1) 与命题相关的判析

问题 1:下列语句中哪些是命题?其中哪些是真命题? ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗?” ; ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?” ; ③“一个数不是正数就是负数” ; ④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊!; ” ⑤“ x ? y 为有理数,则 x 、 y 也都是有理数” ;

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⑥ “作 ? A B C ∽ ? A1 B1C 1 ”. 解:根据命题的概念,判断是否为命题,若是,再判断真假. ① 通过反问句,对等边三角形是等腰三角形作出判断,是真命题. ② 疑问句,没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题; ③ 是假命题, 数 0 既不是正数也不是负数. ④ 感叹句, 不是命题. ⑤ 是假命题, 如 x ? ⑥ 祈使句, 不是命题.
?

2 , y ?? 2 .

命题有: ①③⑤ ;真命题有: ①

点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是 命题,而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题. 问题 2:你能将把下列命题写成“若 p 若 q ”的形式,并判断其真假吗? (1) 实数的平方是非负数. (2) 等底等高的两个三角形是全等三角形. (3) 能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除. (4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧. 解:(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题. (2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题. (3) 若一个数能被 6 整除的数, 则它既能被 3 整除也能被 2 整除. (4) 若一条直线是弦的垂直平分线, 则它经过圆心并平分弦所对的弧. 点拨:将命题写成“若 p 若 q ”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙 述条件和结论完整性.
(2)能掌握判断充要条件的三种基本方法,并能根据具体问题选择使用.

问题 3: 下列四个命题中真命题有哪几个? ① “若 xy=1, x、 互为倒数” 则 y 的逆命题 ② “面积相等的三角形全等” 的否命题 ③ 2 “若 m≤1,则方程 x -2x+m=0 有实根”的逆否命题 ④“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否 命题 解析: ①的逆命题为“若 x、y 互为倒数, 则 xy=1”, 是真命题; ②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题; 2 ③“若 m≤1, 则 x -2x+m=0 有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题; ④“若 A∩B=B, 则 A ? B”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.
?

真命题有①②③

点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时,可以借助原命题与逆否命题 同真或同假,逆命题与否命题同真或同假.

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问题 4.你能判断下列命题的真假吗? (1)已知 a , b , c , d ? R , 若 a ? c , 或 b ? d , 则 a ? b ? c ? d . (2)若 m ? 1, 则 方 程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 无实数根。 解:⑴ 因为“已知 a , b , c , d ? R , 若 a ? c , 或 b ? d , 则 a ? b ? c ? d . ”的逆否命题是: “已知 a , b , c , d ? R , 若 a ? b ? c ? d , 则 a ? c , 且 b ? d . ” 我们不难举反例说明其逆否命题不正确,从而原命题是假命题。 (2) 因为“若 m ? 1, 则 方 程 x ? 2 x ? m ? 0 无实数根”的逆否命题是:
2

“若方程 x ? 2 x ? m ? 0 有实数根, 则 m ? 1 ”
2

当方程 x ? 2 x ? m ? 0 有实数根时, ? ? 4 ? 4 m ? 0,
2

m ? 1 成立。故其逆否命题正

确,从而原命题是真命题; 点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系,将不易判断真假的命题,转化为判断其逆否 命题的真假(尤其是对否定式语句的命题)——充分利用等价转化的思想方法。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一:命题及其相互关系 题型 1. 判断命题及真假
[例 1] 陈述句“在 2016 年,法国巴黎将举办第 31 届夏季奥林匹克运动会”是命题吗? [解题思路]:判断一个语句是不是命题,就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假” 解析:是命题,在 2016 年,法国巴黎将举办第 31 届夏季奥林匹克运动会,是真是假,虽然目

前还无法确定,但是随着时间推移,总能确定它的真假,所以我们把这类猜想仍算为命 题.
[例 2] 广东省深圳外国语学校 2009 届高三上学期第二次统测)

下列四个命题中,真命题的个数为( )A (1)若两平面有三个公共点,则这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M ? ? , M ? ? , ? ? ? ? l , 则 M ? l ; (4)空间中,相交与同一点的三条直线在同一平面内。 A.1 B.2 C.3 D.4 [解题思路]:根据命题本身涉及的知识去判断真假,判断一个命题为真,一般要进行严格的逻 辑推理,但判断一个命题为假,只要举出一个反例即可. 解析: (1)是假命题,两平面也可能相交; (2)是假命题,若两直线是异面直线,不可能 确定一个平面; (4)是假命题,两相交直线确定一个平面,第三条直线过该交点,可与该 平面相交。
【名师指引】判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假.

【新题导练】 1.下列命题中是假命题的是( (A)矩形的对角线相等 (C) ( ? 1 ) 答案: C
2

) (B)若 a 是奇数,则 a 是奇数 (D)若 x ? 3 ,则 ( x ? 1 )( x ? 3 ) ? 0
2

? ?1

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2. (广东省华南师范附属中学 2009 届高三综合测试)

以下命题: ① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等; ② 过圆上的点 ( x 0 , y 0 ) 与圆 x ? y ? r 相切的直线方程是 x 0 x ? y 0 y ? r ;
2 2 2
2

③ 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆; ④ 抛物线上任意一点 M 到焦点的距离都等于点 M 到其准线的距离。 其中正确命题的标号是 答案;②④ 题型 2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题
[例 3] 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.



(1)若 x ? y ? 0 ,则 x , y 全为 0 .
2 2

(2)若 a ? b 是偶数,则 a , b 都是偶数. (3)若 x
? 3或 x ? 7

,则 ( x ? 3)( x ? 7 ) ? 0

[解题思路]: “都”的否定词是“不都” ,而不是“都不” ,同理“全”的否定词是“不全” ,而

不是“全不”. 另外,原命题中的“或” ,在否命题中要改为“且”. 要认真体会它 们的区别. 解析: 因为原命题是“若 p 若 q ”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、 否命题、逆否命题. 解答: (1)逆命题:若 x , y 全为 0,则 x ? y ? 0 .
2 2

否命题:若 x ? y ? 0 ,则 x , y 不全为 0 .
2 2

逆否命题:若 x , y 不全为 0,则 x ? y ? 0 .
2 2

(2)逆命题:若 a , b 都是偶数,则 a ? b 是偶数. 否命题:若 a ? b 不是偶数,则 a , b 不都是偶数. 逆否命题:若 a , b 不都是偶数,则 a ? b 不是偶数. (3)逆命题:若 ( x ? 3)( x ? 7 ) ? 0 ,则 x
? 3或 x ? 7

.

否命题:若 x ? 3 且 x ? 7 ,则 ( x ? 3)( x ? 7 ) ? 0

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逆否命题:若 ( x ? 3)( x ? 7 ) ? 0 ,则 x ? 3 且 x ? 7 .
【名师指引】认清命题的条件 p 和结论 q,然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题,最后判

断真假 【新题导练】
3. (广东省湛江市实验中学 2009 届高三第四次月考(数学理) )

命题“若 m >0,则 m ?

1 m

? 2 ”的逆命题是 1 m ? 2, 则 m ? 0 ”

答案: 逆命题是“若 m ?

4. 2009 年广东省广州市高三年级调研测试)命题“ 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是 ( ( ... A. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 C. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 答案: C B. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 D. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1



题型 3。四种命题间的关系与反证法 2 [例 4]若 a、b、c∈R,写出命题“若 ac<0,则 ax +bx+c=0 有两个不相等的实数根”的逆命题、 否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假
[解题思路]:认清命题的条件 p 和结论 q,然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题,最后判

断真假 2 解析:逆命题:若 ax +bx+c=0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根,则 ac<0;是假命题, 2 如当 a=1,b=-3,c=2 时,方程 x -3x+2=0 有两个不等实根 x1=1,x2=2,但 ac=2>0 2 否命题:若 ac≥0,则方程 ax +bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根;是假命 题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题 2 逆否命题:若 ax +bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根,则 ac≥0;是真命题. 因为原命题是真命题,它与原命题等价
[例 5] 用反证法证明:

设三个正实数 a、b、c 满足条件

1 a

?

1 b

?

1 c

=2 求证:a、b、c 中至少有两上不小于 1.

[解题思路]:用反证法证题时作出正确的反设是前提, a, b, c 中至多有一个数不小于 1”的 “

反设为“a, b, c 中至多有一个数不小于 1” ,有两种情况“a、b、c 三数均小于 1”和“a、 b、c 中有两数小于 1” ;而推出矛盾是关键,也是难点.
解析:证明:假设 a, b, c 中至多有一个数不小于 1,这包含下面两种情况:

(1)a、b、c 三数均小于 1, 即 0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,则 ∴
1 a ? 1 b ? 1 c 1 a ? 1, 1 b ? 1, 1 c ? 1,

>3 与已知条件矛盾;

(2)a、b、c 中有两数小于 1,
用心 爱心 专心

设 0<a<1, 0<b<1,而 c≥1,则 ∴
1 a ? 1 b ? 1 c

1 a

? 1,

1 b

? 1,

>2+

1 c

>2,也与已知条件矛盾;

∴假设不成立,∴a、b、c 中至少有两个不小于 1.
【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同假的关系,将不易判断真假的命题,转化为判断

其逆否命题的真假(尤其是对否定式语句的命题) ,充分利用等价转化的思想方法。正确 的反设是(即否定结论)是正确运用反证法的前提,要注意一些常用的“结论否定形式” , 另外,需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。 【新题导练】 5. 广东省汕头市澄海区 2008 年统测) ( 命题: “设 a 、 b 、 c ? R ,若 a c ? b c 则 a ? b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,
2 2

真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 6. 广东省普宁市城东中学 2009 届高三上学期第三次月考) (

命题: “若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( A 若 x ? 1,或 x ? ? 1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1,或 x ? ? 1 ,则 x 2 ? 1 答案:A
7.若 x、y、z 均为实数,且 a=x -2y+
2



B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 D. .若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1,或 x ? ? 1

π 2

,b=y -2z+

2

π 3

,c=z -2x+

2

π 6

,则 a、b、c 中是否至

少有一个大于零?请说明理由. 分析: a、b、c 中是否至少有一个大于零”包括多种情况,正面解决很复杂,可考虑反面入 “ 手,利用反证法证明,但如何导出矛盾颇有技巧. 解:假设 a、b、c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0. 而 a+b+c=x -2y+
2

π 2

+y -2z+

2

π 3

+z -2x+

2

π 6

=(x-1) +(y-1) +(z-1) +π -3,

2

2

2

∵π -3>0,且无论 x、y、z 为何实数, 2 2 2 (x-1) +(y-1) +(z-1) ≥0, ∴a+b+c>0.这与 a+b+c≤0 矛盾.因此,a、b、c 中至少有一个大于 0. 考点二: 充要条件及其判定 题型 1:利用定义作判断
[例 6] (2008 学年中山市一中高三年级统测试题)

s i s B ”是“ A ? B ”的 在 ? A B C 中, n n ? “i A A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路]:判定 p 是 q 的充要条件,既要看“ p ? q ”是否为真,又要看“ q ? p ”否为

真, 只有都为真时, p 才是 q 的充要条件.
用心 爱心 专心

解析:A “ sin A ? sin B ” ? “ A ? B ”但反之不成立,故选 A
【名师指引】定义判断的重要依据。

【新题导练】
8. (2009 届省实高三次月考数学试题)

函数 f ( x ) ? ax ? x ? 1 有极值的充要条件是
3





A. a ? 0 答案:D

B. a ? 0

C. a ? 0

D. a ? 0

9. a ? 2 ” 是“函数 f ( x ) ? x ? a 在区间 [2, ? ? ) 上为增函数”的 ( ) “

A.充分条件不必要 C.充要条件
答案:A 题型 2: 从集合思想或利用逆否命题判定

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[例 7] (广东省四会中学 2009 届高三上学期第一次质量检测)

“ x ? 1 ? 2 成立”是“ x ( x ? 3) ? 0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[解题思路]:当直接判断 p 是 q 什么条件较困难时, 可借助于集合或利用逆否命题来考虑 , 会更快捷和准确. 解析: x ? 1 ? 2 的解集是 A ? { x | 1 ? x ? 3} , x ( x ? 3) ? 0 的解集是 B ? { x | 0 ? x ? 3} ∵A

B

∴选 A

[例 8](广东省普宁市城东中学 2009 届高三上学期第三次月考)

若 a , b ? R ,则

1 a
3

?

1 b
3

成立的一个充分不必要的条件是( C. a ? b ? 0
1 a
3



A. ab ? 0 B. b ? a

D. ab ( a ? b ) ? 0
? 1 b
3

[解题思路]: 以选项为条件,要能得到

,但反之不成立

解析:C 可以取反例,易得只有 C 答案
【名师指引】解答充分与必要条件问题时,要根据命题的特点,在三种方法(定义法、集合法和

逆否命题法) 中选择一种进行判断,而且还依赖于问题本身所涉及到的具体数学内容的 掌握与理解程度. 【新题导练】 10. (广东省黄岐高级中学 2009 届高三上学期月月考) 设集合 M
? { y | y ? ln x , x ? 0} , N ? { x | y ? ln x , x ? 0} ,那么“ a

? M ”是“ a ? N ”的(



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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答案:B 11. 广东省深圳市 2009 届高三九校联考) ( 设 ? 、 ? 是方程 x 2 ? m x ? n ? 0 的两个实根。那么“ m ? 2 且 n ? 1 ”是“两根 ? 、 ? 均大 于 1 ”的( ) A.充分但不必要条件 C.充分必要条件 答案:B

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 下列语句中命题的个数是( )

① 地球是太阳系的一颗行星; ② ? 0 ? ? N ;③ 这是一颗大树;④ x ? a ;⑤ 1 ? 1 ? 2 ⑥ 老年人组成一个集合; A.1 B.2 C.3 解:①②⑤⑥是命题,故选 D 2. 设原命题:若 a
? b ? 2 ,则 a , b

D.4 中至少有一个不小于 1. )A B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题

则原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题

答案: A. 提示: a =1.2, b =0.3,则 a ? b =1.5 ? 2,∴逆命题为假. 3. (广东省四会中学 2009 届高三质量检测) △ABC 中“ cos A ? 2 sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 答案:B 4. (广东省深圳外国语学校 2009 届高三统测) 若 a , b 是常数, 则“ a ? 0 且 b ? 4 a ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 ax ? bx ? 1 ? 0 ”的 ( )
2 2

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案: “对任意 x ? R ,有 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 ”的等价命题是:a=0 时,必有 b=0;或 a ? 0 时,
b ? 4 a ? 0 。选 A
2

5. 广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考 (数学理)) ( “ a ? 2 ”是“ ( x ? a ) 的展开式的第三项是 60 x ”的________条件
6
4





A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 答案:A
用心

D. 既不充分也不必要

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6. (黄家中学高 08 级十二月月考) 条件 p :
? 4 ? ? ? ? 2

,条件 q : f ( x ) ? log

tan ?

x 在 ( 0 , ?? ) 内是增函数,则 p 是 q 的

A.充要条件 C.必要不充分条件 答案:∵ f ( x ) ? log ∴ tan ?
? 1,
tan ?

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
x 在 ( 0 , ?? ) 内是增函数

? ?? ? 得 ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 4 2 ? ?

, 故选 B;

∴p? q

∴p? q且p ? q

∴ p 是 q 的充分不必要条件

综合拔高训练 7.用反证法证明: “已知 x、y∈R,x+y≥2,求 证 x、y 中至少有一个大于 1”. 则所作的反 设是 答案: 假设 x<1 且 y<1

8.写出命题“乘积为奇数的两个整数都不是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真 假. 解:典型错解: 原命题可写成:若两个整数的乘积为奇数,则它们都不是偶数, 是真命题. 逆命题:若两个整数的乘积都不是偶数,则这两个整数的乘积为奇数, 是真命题. 否命题:若两个整数的乘积不为奇数,则这两个整数不都是偶数, 是真命题. 逆否命题:若两个整数中不都是偶数,则这两个整数的乘积不为奇数, 是真命题. 否命题:若两个整数的乘积不为奇数,则这两个整数至少有一个是偶数; 点拨: 对“都不”的否定,许多同学都误认为是“不都” ,这是错误的,应为“至少有一个”, 而“不都”是对“都”的否定. 正确解答: 原命题可写成:若两个整数的乘积为奇数,则它们都不是偶数, 是真命题. 逆命题:若两个整数的乘积都不是偶数,则这两个整数的乘积为奇数, 是真命题. 否命题:若两个整数的乘积不为奇数,则这两个整数至少有一个是偶数, 是真命题. 逆否命题:若两个整数中至少有一个是偶数,则这两个整数的乘积不为奇数, 是真命题. 9. (2008 学年中山市一中高三年测试题理科数学) 已知 p : 1 ?
x ?1 3 ? 2 , q : ( x ? 1 ? m )( x ? 1 ? m ) ? 0 ( m ? 0 )

且 q 是 p 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

用心

爱心

专心

解:由 1 ?

x ?1 3

? 2

?

?2 ?

x ?1 3

?1 ? 2

?

? 2 ? x ? 10

即 p 为: [ ? 2, 10]

???????4 分

而 q 为: [1 ? m , 1 ? m ] , 又 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p ? q 所以
?1 ? m ? ? 2 ? ?1 ? m ? 1 0

?????????6 分

?

m ?9

即实数 m 的取值范围为 [9, ? ? ) 。

?????????12 分

10.已知:a、b、c 是互不相等的非零实数. 2 2 2 求证:三个方程 ax +2bx+c=0,bx +2cx+a=0,cx +2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实 根. 证明(反证法) :假设三个方程中都没有两个相异实根, 2 2 2 则Δ 1=4b -4ac≤0,Δ 2=4c -4ab≤0,Δ 3=4a -4bc≤0. 2 2 2 2 2 2 相加有 a -2ab+b +b -2bc+c +c -2ac+a ≤0, 2 2 2 (a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0. ① 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

备用: 1. 广东省珠海市斗门第一中学 2009 届高三模拟) (
x ?1是x ?1的





A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 广东省湛江市实验中学 2009 届高三月考(数学理) ( ) “a+b>4 且 ab>4”是“a>2 且 b>2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 3. 广东省恩城中学 2009 届高三模拟) ( 已知命题 p: | 2 x ? 3 |? 1 ,命题 q: log 1 ( x 2 ? x ? 5 ) ? 0 ,则 ? p 是 ? q 的_
2

_

条件(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件)。 答案:充分不必要条件; 4. (广东省汕头市金山中学 2009 届高三期中考试(数学理) ) 函 数 f ( x ) ? lg ?
? ? ? 1? 的定义域为集合 A ,函数 g ? x ? ? ? x ?1 ? 2

1 ? x ? a 的定义域为集合

用心

爱心

专心

B .

(1)判定函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由.

(2)问: a ? 2 是 A ? B ? ? 的什么条件(充分非必要条件 、必要非充分条件、充要条件、 既非充分也非必要条件)? 并证明你的结论. 15. 解:A={x|
2 x ?1
2 x ?1 ? 1 ? 0}

?1 ? 0 ?

x ?1 x ?1

? 0 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0

∴ -1<x<1

∴A=(-1,1) ,定义域关于原点对称 f(-x)=lg
1? x ?x ?1

= lg (

1? x x ?1

)

?1

= ? lg

1? x x ?1

, ∴f(x)是奇函数.

(2)B={x| 1? | x ? a |? 0}
| x ? a |? 1 ? ? 1 ? x ? a ? 1 ? ? 1 ? a ? x ? 1 ? a

B=[-1-a,1-a] 当 a ?2 时, -1-a?-3, 1-a?-1, 有A? B ? ? 由 A=(-1,1) , B=[-1-a,1-a],

反之,若 A ? B ? ? ,可取-a-1=2,则 a=-3,a 小于 2. (注:反例不唯一) 所以,a ?2 是 A ? B ? ? 的充分非必要条件。

用心

爱心

专心


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