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《3.2.1几个常用函数的导数》教学案3


《几个常见函数的导数》教学案 教学目标: 1.能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式,熟记正弦余弦函数 的导数. 2.掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数. 3.在公式(2)的指导过程中,培养学生的创新能力. 教学内容: 1.本节依次讲述了函数C,xn(n为有理数)、sinx、cosx等四种函数的导数公式,这些公 式都是由导数定义导出的.其中,前两个导数公式要求学生能熟练地证明,后两个导数公式 要求学生能熟练掌握和应用. 2.对于函数y=C的导数公式:y=C(C为常数),则y′=0.此公式不仅要求学生用前 面已学的求导的三个步骤进行证明, 还要求学生运用几何图象对公式加以说明. 如图35-1, 因为y=C的图象是平行于x轴的直线,其上任意一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率 都是0.为了让学生记得更牢,此公式可叙述为:常数函数的导数为零. 3.关于公式(xn)′=n·xn-1(n∈Q),这个公式的证明比较复杂,教科书只就n∈N*的 情况作了证明. 因此, 这节课的难点就是如何引导学生利用二项式定理对这个公式进行证明, 教学时,可采用从特殊到一般的教学方法.实际上,这个公式对于n∈R仍然成立. 4.对于正弦余弦函数的导数公式,由于在证明过程中,要使用三角函数的和差化积公 式,以及重要的极限公式.因此,对公式(sinx)′=cosx、(cosx)′=-sinx,只要求学生牢 记公式并能灵活应用即可,而不要求学生对上述两个公式进行证明. 5.这节课的重点是利用前面已学的求导数的三个步骤对公式(1)、(2)进行证明,同时 能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题. 教学过程: (一)复习提问 1.按定义求导数有哪几个步骤? 2.用导数的定义求下列各函数的导数. (1)y=x5;(2)y=C. 目的,练习(1)为推导公式(2)作准备.在求Δ y值时,启发学生应用二项式定理展开(x +Δ x)5.练习(2)推导前,首先指出这里y=C称为常数函数,可设y=f(x)=C,说明不论自 变量取何值,对应的函数值均为C,以避免如下错误:Δ y=f(x+Δ x)-f(x)=x+Δ x-C= Δ x. 略解:1.Δ y=f(x+Δ x)-f(x)=(x+Δ x)5-x5=x5+5x4( Δ x)+10x3(Δ x)2+10x2(Δ x)3+5x(Δ x)4+(Δ x)5-x5, ∴Δ y=5x4(Δ x)+10x3(Δ x)2+10x2(Δ x)3+5x(Δ x)4+(Δ x)5. ∴y′=5x4. (二)新课 1.引言:由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定 义的,所以求导数总是归结到求极限.这在运算上很麻烦,有时甚至很困难.为了能够较快 地求出某些函数的导数. 这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法, 本节课根据导数定义 先来证明几个常见函数的导数公式. 2.几个常见函数的导数公式 公式1 C′=0(C为常数). 此公式前面已证,见教科书第116页.下面,我们还可以用几何图象,对公式加以说明: 因为y=C的图象是平行于x轴的直线,其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率都 是0. 公式1可叙述为:常数函数的导数为零. 公式2 (xn)′=n·xn-1(n∈Q) 这个公式的证明可在教师的指导下进行.由于前面已有y=x5这道题的基础,可由学生 只就n∈N*的情况进行独立证明.详细证明过程见教科书第117页. 注意:教学时要引导学生认真观察此公式的特点:函数的导数等于指数n与自变量的(n -1)次

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