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文科微积分复习题(含解答)


一. 微积分 极限计算 1. lim
lim
n 2 ? 100n ? _______ n ?? 3n 2 ? 2500

1 lim (1 ? ) 2 n ? __________ n ?? n

sin x(cos x ? 1) =________ x ?0 x3

lim(1 ? 1 ) x ?

1 =________ x
x ??

2. 计算下列极限

lim(1 ? 1 ? 1 ? ? ? 31n ) 3 9
n??
. 3.

lim ? x ? e ?
x ?0

?1

x

1 ? ? ?1 ?

当 x→∞时,下面说法正确的是
1 2 是 2 的低阶无穷小 x x 1 2 和 2 是同阶无穷小 x x

( B.
1 2 是 2 的高阶无穷小 x x 1 2 D. 和 2 是等价无穷小 x x

)

A. C.

求导与微分
xe x 1. 函数 f ( x) ? 的微分 df ( x) ? _________。 cos x

2. 求

f ( x) ? sin n x cos nx ? esin x 的导函数( n 是一个常数)。
2

3. 求 y ? sin nx(n是常数) 的三阶导函数。 导数及其应用 1. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3.5 x ? x ? 7 的单调区间,极值.
3 2

2. 求 y ? x ? 1 ? x 在[-5,1]上的最大值。
3.证明方程 x3 ? x ? 1 ? 0 只有一个正根。 4. 某工厂要生产一批容积为 V 的无盖圆桶,求最省料的形状。

5. 一扇形面积为 25cm2,欲使其周长最小,问半径 r 及圆心角 ? 应为 多少?
不定积分

计算下列不定积分

1. 2.
3.

? ?2

x

? 3x ? dx
2

?sin xd x
2
2

? (2 x ? 3) ? ( x
4
x

dx

xdx ? 1)3

? 2 x(3x

2

? 4) 2 dx

? xe dx ? x s i nx

c ox d x s

4 ? cos 2 x ? x sin xdx

?

?

? x?

x 2 ? 4 ? e x dx

?

? ? x ? ln x ? dx . ? 2 ?? x ? 2 ?

? ? sin

2

x ? x ? cos xdx

定积分

计算下列定积分
1.

?

?
0

( x ? sin x)dx
?

?

?
0

( x ? cos 2 x)dx
2

?

?

2 sin x cos xdx 0

?

2 1

( x ? e2 x )dx

2.

?
2

4 0

tan xdx
2

?0( x e ? sin ?x)dx
1 2 x3

?1

4e x

x

dx

?

1 0

(2 x ? 1)10 dx

?

0

xe? x dx

3.

?

e 1

x ln xdx
(1)当 f ( x) 为奇函数时, ?? a f ( x)dx ? 0 ;
a a

4.证明(10 分)

a

(2) f ( x) 为偶函数时,? a f ( x)dx ? 2?0 f ( x)dx .( a 为一不等于零的数) 当 ?
? e x sin x ? ? e x ? dx 。 5.计算积分 ??3 ? 4 ? 1? x ? ? ?
2

3

定积分的应用 1. 已知曲线 y= x , (1)求曲线在点(1,1)处的切线; (2)求该切线以及

y

轴围成的图形的面积。
3 2 2. 求由曲线 y ? x ? 3x , x ? 1, x ? 4, y ? 0 所围图形的面积。

3. 求由曲线 y ? 2 x ? 1, x ? 1, y ? 0 所围图形绕 Ox 轴旋转一周所成立体体 积。
概率

古典概型,全概率公式,分布函数, 期望,方差 1 设 E、F 是随机事件,E ? F,记事件 E 发生的概率为 P(E), 事件 F

发生的概率为 P(F),那么: A.以下都不一定成立 B. P(E)<P(F) 2. 设 E 、 F 是独立事件,则: A. P( E ? F ) ? P( E) P( F ) C. P( E ? F ) ? P( E) ? P( F )

(

)

C. P(E)=P(F) D. P(E)>P(F) ( )

B. P( E ? F ) ? P( E) ? P( F ) D. P( E ? F ) ? P( E) P( F ) ( )

3. E 、F 是事件,则下述论断不正确的是: A. P( E ? F ) ? P( E) ? P( F ) C. P( E ? F ) ? P( E) ? P( F ) ? P( E ? F ) B. P( E ? F ) ? P( E) ? P( F ) D. P( E ? F ) ? P( E)

4. 一个骰子连掷二次,已知点数之和为 6,问第一次掷出为 1 的概率 是: A. 1/ 5 B. 1/ 3 C. 1/ 4 D. 1/ 2 ) ( )

5. E 、 F 是事件,且 P( E ) ? 0.7, P( F ) ? 0.7 ,则下述论断正确的是: ( A. P( E ? F ) ? 0.4 C. P( E ? F ) ? P( E) P( F ) ? P( E ? F ) B. P( E ? F ) ? P( E) P( F ) D. P( E ? F ) ? P( E) ? P( F ) ? 1

6. 口袋里有 10 只相同大小的球,其中 7 只白球,3 只黑球,不返回摸球。如果 第一次摸出的是一只白球,那么第二次摸出白球的概率是 A.
2 3 1 2





B.

6 10

C.

7 9

D.

7 10

7. 已知ξ 服从标准正态分布 N(0, 1), 那么 P(0<ξ <+∞)= A. B.1 C.0

( D.无法确定



8. F1(x)是正态分布 N(4, 100)的分布函数,F2(x)是正态分布 N(1, 400)的分布函 数,那么下面正确的是 A.F1(4)=F2(1) B.F1(4)>F2(1) C. F1(4)< F2(1) ( )

D.不能确定 F1(4)与 F2(1) 之间的大小关系。 计算 1.口袋里有 10 个相同大小的球,其中 4 个白球,6 个黑球,不返回摸球, (1)求第二次摸到白球的概率; (2)求第二次摸到黑球的概率。 2. 10 把钥匙中有 3 把能够把门打开,今任意取两把,求能够开门的概率。 3.有三个口袋均装有相同大小的球,第一只口袋有 3 只白球 7 只黑球,第二只 口袋有 7 只红球 3 只黄球, 第三只口袋有 4 只红球 6 只黄球。某人先在第一只口 袋中摸球, 如果摸出白球则第二次在第二只口袋中摸球;如果摸出黑球则第二次 在第三只口袋中摸球。问他第二次摸出红球的概率是多少? 4. 市场上供应的灯泡中,甲厂生产的产品占 70%,乙厂生产的产品占 30%,甲 厂产品的合格率是 95%, 乙厂产品的合格率是 80%, 现在随机购买一只灯泡, 求买到合格率的概率。

5 某批产品合格品率 95%,现随机抽取 5 件,? 为五件中合格品件数, 求 ? 的分布律, E? 、 D? , P(? ? 4) 。
6 已知随机变量ξ 在区间[2,18]上均匀分布,F(x)是变量ξ 的分布函数,求 F(20)-F(3)。

7 掷均匀骰子,掷出 1、2、3 点为小,记 1 分,4、5、6 点为大,记 2 分,现连掷二次,问(1)至少得三分的概率, (2)? 的分布律, 数 学期望 E? 和方差 D?
? ax 2 ,?1 ? x ? 1 ? 8.已知随机变量ξ 的分布函数 F(x),概率密度函数 p(x)= ? , ?0, ( ??,?1) ? (1,?? ) ?

(1) 求参数 a; (2) 求 P(0<ξ <3)。

9. 一射手射中概率为 75%,? 为其 4 次射击的射中次数,试求 ? 的分 布律, E? 、 D? 。 10. 设 X ? N (2,9) , 求P(0.5< X <5) ( ? (0.5) = 0.6915, ? (1) = 0.8413).

矩阵四则运算
? 0 1? ? ?1 2? ? ?1 0 2 ? ? 1. ? ? 2 1 ? ? ? 2 0 ? 3 ? ? ?1 ? 2 ? ? ____________ ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0? ? ?

? 4 3 ?1? ? 2 ?3? T 2. 设 C ? ? ? , D ? ? 0 2 ? ,则 CC ? D ? ______; ?5 0 3 ? ? ?
?0 1? 3. ? ? 2 0 ? =___________ ? ? ?
5

4.

?1 0 0? ? ? 已知 A= ? 1 0 1 ? ,求 A2+AT。 ?0 1 2? ? ?

逆矩阵
?1 2? ?3 1? ?1 ?1 1.已知 A?1 ? ? ?,B ?? ? ,那么 ? AB ? = ?3 4? ? 4 2?
?2 3 1? 2. (1) 设 A ? ? 0 1 3 ? , A?1 ;(2) 设 b ? (6, 4,3)T , 求解线性方程组 Ax ? b . ? ? 求 ?1 0 2 ? ? ?

矩阵的秩

? 3 2 ? 1 ? 3 ? 2? ? ? 1. 求 ? 2 ? 1 3 1 ? 3 ? 的秩 ?7 0 5 ? 1 ? 8? ? ?
行列式计算
2 3 ?1 D? 3 5 2

1

0 0 1 0

0 1 2

1 2 2 0 1



1 0 0

1 ?2 ?3

解线性方程组

用消去法解线性方程组:
? x1 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? 3 ?? x ? 2 x ? 3x ? 2 x ? 0 2 3 4 1. ? 1 ? ?2 x2 ? x4 ? 0 ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 6 x4 ? 2 ?

? 2 x ? 3 y ? z ? 4, ? x ? 2 y ? 4 z ? ? 5, ? 2. ? ? 3 x ? 8 y ? 2 z ? 13, ?4 x ? y ? 9 z ? ?6; ?

参考答案 复习题所有选择题 答案为 A 极限计算 1. lim
lim
n2 ? 100n 1 ? n ?? 3n 2 ? 2500 3

1 lim(1 ? )2 n ? e2 _ n ?? n

sin x(cos x ? 1) 1 ?? 3 x ?0 x 2

l i m (? 1 1x
x ??

x ?1

)? e

2. 计算下列极限

lim(1 ? ? ? ? ? ) ? lim
n ?? 1 3 1 9 1 3n

1 ? 3n1?1 1? 1 3

n ??

?

3 2

1 ? ex ?1 ? x ex ?1 ex 1 ?1 ? x ? lim ? lim x ? lim x lim ? x e ? 1 ? x?0 x(e x ? 1) x?0 e ? 1 ? xe x x?0 2e ? xe x ? 2 ? x ?0 ?

求导与微分
(1 ? x)e x cos x ? xe x sin x xe x dx 。 1. 函数 f ( x) ? 的微分 df ( x) ? cos x cos 2 x

2. 解, f '( x) ? n(sin n ?1 x cos x cos nx ? sin n x sin nx) ? 2 xesin x cos x 2
2

3. y ? sin nx(n是常数) , y ' ? n cos nx ,

y '' ? ? n 2 sin nx ,

y ''' ? ?n3 cos nx

导数及其应用 1. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3.5 x ? x ? 7 的单调区间,极值.
3 2

1 解 令 f ' ( x) ? 6 x 2 ? 7 x ? 1 ? 0 ,解得 x1= , x2 ? 1 , 6 1 当 x< 时 f’(x)>0,f(x)单调递增 6 1 当 <x<1 时 f’(x)<0,f(x)单调递减 6

当 x>1 时 f’(x)>0, f(x)单调递增
1 17 f(x)在 x= 处取得极大值 ? 7 ,在 x ? 1 处取得极小值-7.5。 6 216

2. 求 y ? x ? 1 ? x 在[-5,1]上的最大值。

解:令 y ' ? 1 ?

1 2 1 ? x ?1 3 ? 4x 3 ? ? ? 0 ,得 x ? 。又 4 2 1? x 2 1? x 2 1 ? x (2 1 ? x ? 1)

5 5 y x ??5 ? ?5 ? 6, y x ? 3 ? , y x ?1 ? 1 ,所以,最大值为 y x ? 3 ? 。 4 4 4 4

3. 证明方程 x3 ? x ? 1 ? 0 只有一个正根。 解:设 f ( x) ? x3 ? x ? 1 , f ( x) 在[0,1]上连续, f (0) ? ?1, f (1) ? 1 异号, 所以方程在[0,1]上至少有一个根。 又因为 f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 0 , 所以 f ( x) 在 x>0 时单调增加, 因此方程只有一个正根。

4. 某工厂要生产一批容积为 V 的无盖圆桶,求最省料的形状。 解 设圆桶底面半径为 r,高为 h。于是体积 V= ?r 2 h ,从而 h ?
V

?r 2



表面积 S= ? (r 2 ? 2rh) = ? (r 2 ? 2r

V

?r

2

令 ) 。 S’= 2?r ?

2V r
2

=0, 解得 r ? 3

V

?

, 。 h=r

5. 一扇形面积为 25cm2,欲使其周长最小,问半径 r 及圆心角 ? 应为 多少? 解:因为 ? r 2 ? 25,? ?
1 2 50 50 ,所以周长: l ? 2r ? r? ? 2r ? 2 r r



dl 50 2r 2 ? 50 ? 2? 2 ? ?0, 得:r ? 5(l ? 0) 即:r ? 5,? ? 2 时周长最小。 dr r r2

不定积分

计算下列不定积分 1.

? ?2
? sin

x

?3

x 2

?

dx ? ? ?

4x 9x 6x 4 ? 26 ? 9 dx ? ? ?2 ?c ln 4 ln 9 ln 6
x x x

?

2

xdx ?

1 x sin 2 x ? (1 ? cos 2 x)dx ? 2 ? 4 ? C 2

2.

? (2 x ? 3) = ? (2 x ? 3)
dx
4

dx

4

?

1 d (2 x ? 3) 1 ?3 ? (2 x ? 3)4 ? ? 6 (2 x ? 3) ? c 2

xdx 1 d ( x 2 ? 1) 1 2 ?2 ? ? 2 ? ( x2 ? 1)3 2 ( x ? 1)3 ? ? 4 ( x ? 1) ? c

? 2 x(3x
3.
x

2

? 4) 2dx ?
x

2 1 2 2 2 2 3 ? (3x ? 4) d (3x ? 4) ? 9 (3x ? 4) ? c 6

? xe dx ? ? xde

? xe x ? ? e x dx ? ? x ? 1? e x ? c

? x sin x cos xdx ?

1 1 1 x sin 2 xdx ? sin 2 x ? x cos 2 x ? c 2? 8 4

4. ? ? cos 2 x ? x ? sin xdx ? ? cos 2 x sin xdx ? ? x sin xdx
1 1 ? ? cos3 x ? ? xd cos x ? ? cos3 x ? x cos x ? ? cos xdx 3 3 1 ? ? cos3 x ? x cos x ? sin x ? C 3

? x?
?? ?
?

3 1 1 2 2 x ? ( x 2 ? 4) 2 ? xe x ? e x ? c x ? 4 ? e dx ? ? x ? 4d ( x ? 4) ? ? xde 3 2

2

x

?

? 1 1 ? ln x ? dx ? ? d ( x 2 ? 2) ? ? ln xdx 2 2 x ?2 x ?2 ? x
2

? x 2 ? 2 ? x ln x ? ? xd ln x ? x 2 ? 2 ? x ln x ? x ? C
.

? ? sin

2

x ? x ? cos xdx ? ? sin 2 x cos xdx ? ? x cos xdx ? ? s i 2nx

c x d?x o s ?

x d =i x s n

1 3 sin x ? x sin x ? cos x ? c 3

定积分

计算下列定积分

1.

?

?
0

2 ( x ? sin x)dx = ? ? 2

2

?

?
0

( x 2 ? cos 2 x)dx ?
?

?3
3

?

? /2

0

cos x sin xdx ? ?

? /2

0

2 1 1 sin xd sin x ? sin 2 x ? 2 2 0

?

2 1 ( x ? e2 x )dx = (2 2 ? 1) ? (e 4 ? e 2 ) ; 1 3 2 ? /4 ? 1 2. ? tan xdx ? ? ln cos x 0 4 ? ln 2 0 2 1 2 x3 1 2 ?0 ( x e ? sin ?x)dx ? 3 (e ? 1) ? ?
2

?1

4e x

x

dx = 2e

x 4 |1 ?

2(e 2 ? e)

?
?
2 0

1 0

(2 x ? 1)10 dx ?

1 1 1 (2 x ? 1)11 |1 ? ?2 ? 0 22 22 11
2

xe

? x2

1 2 1 2 2 1 dx ? ? e? x d ( x 2 ) ? ? e ? x ? (1 ? e?4 ) 2 2 0 2 0
e 1 e 1 2 e2 ? 1 2 e x ln xdx ? ? ln xd ( x ) ? [( x ln x) |1 ? ? xdx ] ? 1 2 1 2 4

3.

?

e 1

4.证明(10 分)

(1)当 f ( x) 为奇函数时, ?? a f ( x)dx ? 0 ;
a a

a

(2) f ( x) 为偶函数时,? a f ( x)dx ? 2?0 f ( x)dx .( a 为一不等于零的数) 当 ? 证明

?

a

?a

f ( x dx ? ? f x ( ? ? f x dx ( ) dx )
?a 0

0

a

)

设 t=-x,则

?

0

?a

f ( x)dx ? ?? f (?t )dt
a

0

设 f(x)为奇函数,则

?

0

?a a

f ( x)dx ? ?? f (?t )dt ? ? f (t )dt ? ?? f (t )dt
a a 0 a a

0

0

a

所以 ??a f ( x)dx ? ??0 f ( x)dx ? ?0 f ( x)dx ? 0 ; 设 f(x)为偶函数,则

?
a

0

?a

f ( x)dx ? ?? f (?t )dt ? ?? f (t )dt ? ? f (t )dt
a a 0 a a a

0

0

a

所以 ??a f ( x)dx ? ?0 f ( x)dx ? ?0 f ( x)dx ? 2?0 f ( x)dx

? e x sin x ? ? e x ? dx 。 5 计算积分 ??3 ? 4 ? 1? x ? ? ?
2

3

x ? e x sin x ? 3 e 3 sin x ? e x ? dx ? ? dx ? ? e x dx ? e3 ? e ?3 解: ??3 ? 4 4 ? 1? x ? ?3 1 ? x ?3 ? ?
2 2

3

定积分的应用 1. 已知曲线 y= x , (1)求曲线在点(1,1)处的切线; (2)求该切线以及

y

轴围成的图形的面积。 解
1 1 1 ,切线方程 y ? x ? ,(图) 2 2 2 1 1 1 1 所求面积 S ? ? ( x ? ? x )dx ? 0 2 2 12 y ' | x?1 ?

2.求由曲线 y ? x3 ? 3x 2 , x ? 1, x ? 4, y ? 0 所围图形的面积。
解: (图)
3 2 S ? ? | x ? 3 x | d x ? ( 32x ? 3x ) d? ? x ? 1 1 4 3 4 3

(3 x 32 x) ? x . . . ? d

3. 求由曲线 y ? 2 x ? 1, x ? 1, y ? 0 所围图形绕 Ox 轴旋转一周所成立体体 积。 解:如图体积为:
V ???
?
1 ?0.5

(2 x ? 1)2 dx
1 ?0.5

?
6

(2 x ? 1)3

?

9? 2

概率 1.解:设第二次摸到白球的事件为 A,第一次摸到白球的事件为 B,求第二次
P( A) ? P( AB) ? P( AB ) ? P( A) ? P( B) P( A | B) ? P( B ) P( A | B )

摸到白球的概率 ?

4 3 6 4 2 ? ? ? ? , 10 9 10 9 5 3 5

求第二次摸到黑球的概率P( A) ? 1 ? P( A) ?

2. 解:先求在 10 把钥匙中任意取两把,不能够开门的概率。样本点总数是 90, 因为不能开门, 所以这两把钥匙均取自 7 把不能开门的钥匙当中,含样本点个数 为 6 ? 7 ? 42 。不能够开门的概率为 3.解
21 。 45

能够开门的概率为 1 ?

21 8 ? 45 15

由全概率公式 p ? 0.3 ? 0.3 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.51

4. 解:设买到合格率的事件为 A,买到甲厂产品的事件为 B,买到甲厂产品的

事件为 B ,有全概率公式 P( A) ? P( A | B) P( B) ? P( A | B ) P( B ) =95%×70%+80% ×30%=90.5% 5. 解: ? 的分布律如下:

?

0 1 2 3 4 5 p 3.125E-07 2.969E-05 0.001128 0.02143 0.2036 0.7738
E? ? 4.75 , E? 2 ? 22.8 , D? ? 0.2375 , P(? ? 4) ? 0.022593

6 F(20)-F(3)= F(20)-F(3)=

15 16

?

7 解: p

2 0.25

3 0.5

4 0.25

所 以 , 至 少 得 三 分 的 概 率 为 : P=0.75 。
E? ? 2 ? 0.25 ? 3 ? 0.5 ? 4 ? 0.25 ? 3 , E? 2 ? 4 ? 0.25 ? 9 ? 0.5 ? 16 ? 0.25 ? 9.5
D? ? E? 2 ? ( E? )2 ? 0.5

8. a ?

3 ,F(3)-F(0)= 0.5 2

0 1 2 3 4 9. 解: ? 的分布律如下: p 0.00391 0.0469 0.211 0.422 0.316

?

E? ? 3 , E? 2 ? 9.75 , D? ? E? 2 ? ( E? )2 =0.75

10. 解:P(0.5< X <5) = ? (1)- ? (-0.5)= ? (1) + ? (0.5) -1=…
矩阵四则运算
? 0 1? ? ?1 2? ? ?1 0 2 ? ? ??? ? ? ?1 ? 2 ? ? 1. ? ? 2 1 ? ? 2 0 ? 3? ? ? ? ? ? ?1 0? ? ?

? ? 1 1? ? ? 5 3? ? ? ? ? 28 14 ? ?17 36 ? ; ? ?

? 4 3 ?1? ? 2 ?3? T 2. 设 C ? ? ? , D ? ? 0 2 ? ,则 CC ? D ? 5 0 3 ? ? ? ?

?0 1? ?0 4? 3. ? ? 2 0? = ?8 0? ? ? ? ? ? ? ?

5

4.略 逆矩阵

?1 2? ?3 1? ? 6 10 ? ?1 ?1 ?1 ?1 1.已知 A?1 ? ? ?,B ?? ? ,那么 ? AB ? = B A ? ? ? ?3 4? ? 4 2? ? 9 16 ?
?2 3 1? 2. (1) 设 A ? ? 0 1 3 ? , A?1 ;(2) 设 b ? (6, 4,3)T , 求解线性方程组 Ax ? b . ? ? 求 ?1 0 2 ? ? ?

? 2 3 1 1 0 0 ? ? 1 0 2 0 0 1 ? ?1 0 2 0 0 1 ? 解: ?0 1 3 0 1 0 ? ? ?0 1 3 0 1 0? ? ?0 1 3 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 2 0 0 1 ? ? 2 3 1 1 0 0? ?0 3 ?3 1 0 ?2 ? ? ? ? ? ? ?
? 1 0 2 0 0 1 ? ?1 0 2 0 ? ? ? ? ? 0 1 3 0 1 0 ? ? ?0 1 3 0 ?0 0 ?12 1 ?3 ?2 ? ?0 0 1 ? 1 ? ? ? 12 ? 0 1 1 4 1 ? ? 0 ? ? 1 ? 6?

1 2 ? 2 ? ? ? 1 ?1 ?1 2 3 ? 2 3 ? ?1 0 0 6 ? 6 1 1 ? ?0 1 0 1 ? 1 ? 所以: A?1 ? ? 1 ?1 ?。 4 4 2? 4 2? ? ? 4 ?0 0 1 ? 1 ?? 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? 12 12 4 6 ? 4 6 ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 ?1 2 3 ? ?6 ? ?1? ? 6 ?1 1 x? A b?? 1 ? 1 ? ? 4 ? ? ?1? 4 2? ? ? ? ? ? 4 ?? 1 ? ? ?? 1 1 ? ? 3 ? ?1? ? 12 4 6 ? ? ?
矩阵的秩

? 3 2 ? 1 ? 3 ? 2? ? ? 1 ? 3 ? 的秩 1. 求 ? 2 ? 1 3 ?7 0 5 ? 1 ? 8? ? ?

? 3 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ?2 r ? r 1 ? ? 1 2? 1 ? 3? ? ? 0 解: ? 2 ? 1 3 ?7 0 5 ? 1 ? 8 ? ?7r 1? r3 ? 0 ? ?

? r2 ? r 1

3 ?7 ?21

?4 11 33

?4 9 27

? ? ?15 ?
1 ?5

?1 ?3r ? r ? 0 ? ?0
2 3

3 ?7 0

?4 11 0

?4 9 0

1 0

?5 ? , 故秩为2 .

? ?

行列式计算
2 3 ?1 D? 3 5 2

1

0 0 1 0

0 1 2

=22,

1 0 0

1 ?2 ?3

1 0 2 ? 1 0 2 0 1 0 1

1

0 1 ? ? 2 1

解线性方程组

用消去法解线性方程组:
? x1 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? 3 ?? x ? 2 x ? 3x ? 2 x ? 0 ? 1 2 3 4 1. ?2 x ? x ? 0 ? 2 4 ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 6 x4 ? 2 ?

? 2 x ? 3 y ? z ? 4, ? x ? 2 y ? 4 z ? ? 5, ? 2. ? ? 3 x ? 8 y ? 2 z ? 13, ?4 x ? y ? 9 z ? ?6; ?

1. 解:增广矩阵:
?1 ? ? ?1 ?0 ? ?1 ? ?1 ? 0 ?? ?0 ? ?0 ? 2 ?1 2 2 2 3 0 1 2 ?1 4 3? ?1 2 ?1 4 3 ? ?1 ? ? ? ? 2 0? ?0 4 2 6 3 ? ? ?0 ? ?0 2 0 ?1 0 ? ?0 ?1 0 ? ? ? ? ? 6 2? ?0 0 2 2 ?1? ?0 ? ? ? ? 4 3 ? ? 4 2 6 3 ? 0 ?1 ?4 ?1.5? ? 0 2 2 ?1 ? ? 4 2 ?1

3 ? ? 4 2 6 3 ? , 写 出 对 应 方 程 , 回 代 得 : 0 ?1 ?4 ?1.5? ? 0 0 ?6 ?4 ? ?

x1 ? ? 3 , x 2 ? 1 , x3 ? ? 7 , x 4 ? 2 2 3 6 3

2

解(略): 对系数的增广矩阵施行行变换:

1 4 ? ?1 ?2 3 ? ? ? ? 1 ? 2 4 ? 5? ? 0 ? 3 8 ? 2 13 ? ? ? ? ? 4 ? 1 9 ? 6? ? 0 ? ? ? ?

0 1 0 0

2 ?1 0 0

?0

? 1? ? 2? 0? ? 0? ?

? x ? ?2c ? 1 ? 解得 ? y ? c ? 2 (c 为任意常数) ?z ? c ?

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