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2014年全国高中数学联赛真题(A卷)参考答案解析


2014 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷) 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,

第 10、 11 小题 5 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
1. 若正数 a, b 满足 2 ? log 2 a ? 3 ? log 3 b ? log 6 ( a ? b) , 则

1 1 ? 的值为 a b



答案: 108 . 解:设 2 ? log 2 a ? 3 ? log 3 b ? log 6 ( a ? b) ? k ,则 a ? 2k ?2 , b ? 3k ?3 , a ? b ? 6k ,从而

1 1 a ?b 6k ? ? ? k ?2 k ?3 ? 22 ? 33 ? 108 . a b ab 2 ?3 ? ? ? 3 ? 则 M ? m 的值 2. 设集合 ? ? ? b 1 ? a ? b ? 2? ? 中的最大元素与最小元素分别为 M , m , ? ? ?a ? ? ? 为 . 答案: 5 ? 2 3 . 3 3 解:由 1 ? a ? b ? 2 知, ? b ? ? 2 ? 5 ,当 a ? 1, b ? 2 时,得最大元素 M ? 5 .又 a 1 3 3 3 ?b? ?a ?2 ? a ? 2 3 ,当 a ? b ? 3 时,得最小元素 m ? 2 3 . a a a 因此, M ? m ? 5 ? 2 3 . . 3. 若函数 f ( x) ? x 2 ? a x ?1 在 [0, ? ?) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是
答案: [?2, 0] .

a 解:在 [1, ? ?) 上, f ( x) ? x 2 ? ax ? a 单调递增, 等价于 ? ? 1 , 即 a ? ?2 .在 [0, 1] 2 a 上, f ( x) ? x 2 ? ax ? a 单调递增,等价于 ? 0 ,即 a ? 0 . 2 因此实数 a 的取值范围是 [?2, 0] .
4. 数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,an?1 ? 答案: 2015 .
2013

a2014 2(n ? 2) an (n ? N* ) ,则 ? n ?1 a1 ? a2 ? ? ? a2013



解:由题设

2(n ? 1) 2(n ? 1) 2n an?1 ? ? an?2 ? ? n n n ?1 2(n ? 1) 2n 2?3 ? ? ?? ? a1 ? 2n?1 (n ? 1) . n n ?1 2 记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 an ?

S n = 2 + 2 × 3 + 22 × 4 + ? + 2n ?1 (n + 1) ,
所以

2 S n = 2 × 2 + 22 × 3 + 23 × 4 + ? + 2n (n + 1) ,
1

将上面两式相减,得

S= 2n (n + 1) ? (2n ?1 + 2n ? 2 + ? + 2 + 2) n
n = 2n (n + 1) ? 2= 2n n .



a2014 22013 ? 2015 2015 . ? 2013 ? a1 ? a2 ? ? ? a2013 2 ? 2013 2013

5. 正四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面是边长为 1 的正三角形,M , N 分别是边 AB, BC 的中 . 点,则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是

2 . 4 解:设底面对角线 AC , BD 交于点 O ,过点 C 作直 线 MN 的垂线,交 MN 于点 H . 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 , 故 PO ? CH , 又 AC ? CH ,所以 CH 与平面 POC 垂直,故 CH ? PC . 2 2 因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段,又 CH ? ,故异面直线 MN 与 CN ? 2 4 2 . PC 之间的距离是 4
答案: 6. 设椭圆Г的两个焦点是 F1 , F2 ,过点 F1 的直线与Г交于点 P, Q .若 PF2 ? F1 F2 , 且 3 PF1 ? 4 QF1 ,则椭圆Г的短轴与长轴的比值为 答案: .

2 6 . 7

解:不妨设 PF1 ? 4, QF1 ? 3 .记椭圆Г的长轴,短轴的长度分别为 2a , 2b ,焦距 为 2c ,则 PF2 ? F1 F2 ? 2c ,且由椭圆的定义知,

2a ? QF1 ? QF2 ? PF1 ? PF2 ? 2c ? 4 .
于是

QF2 ? PF1 ? PF2 ? QF1 ? 2c ? 1 .

设 H 为 线 段 PF1 的 中点 ,则 F1 H ? 2, QH ? 5 , 且 有

F2 H ? PF1 .由勾股定理知,

QF2 ? QH ? F2 H ? F1 F2 ? F1 H ,
即 (2c ? 1) 2 ? 52 ? (2c) 2 ? 22 , 解 得 c ? 5 , 进 而 a ? 7 ,

2

2

2

2

2

b 2 6 . a 7 7. 设等边三角形 ABC 的内切圆半径为 2,圆心为 I .若点 P 满足 PI ? 1 ,则△APB 与 △APC 的面积之比的最大值为 .

b = 2 6 ,因此椭圆Г的短轴与长轴的比值为 ?

3? 5 . 2 解:由 PI ? 1 知点 P 在以 I 为圆心的单位圆 K 上.
答案:

2

设 ?BAP ? ? .在圆 K 上取一点 P0 ,使得 ? 取到最大值 ?0 ,此时 P0 应落在 ?IAC 内, 且是 AP0 与圆 K 的切点.由于 0 ? ? ? ?0 ?

? ,故 3


S?APB S?APC

?? ? 1 sin ? ? ?? ? AP ? AB ? sin ? ? ? ? sin ?0 ?6 ? sin ? 2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin sin sin AP ? AC ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ?3 ? ?3 ? ?6 ? 2

其中, ? ? ?0 ?

? ? ?IAP0 . 6 IP ? 由 ?AP0 I ? 知, sin ? ? 0 2 AI ?? ? 1 ? ?? sin ? ? cos ? ? ? ? ? ?6 ? 2 ? ?? ? ? 1 cos ? ? ? ?? sin ? ? ? 2 ? ?6 ?

?

1 1 ? ,于是 cot ? ? 15 ,所以 2r 4


3 sin ? cot ? ? 3 15 ? 3 3 ? 5 2 . ? ? ? 2 3 cot ? ? 3 15 ? 3 sin ? 2
S?APB 3? 5 的最大值为 . 2 S?APC

根据①、②可知,当 P ? P0 时,

1 的概率在每对点之间连一条边,任 2 意两对点之间是否连边是相互独立的,则 A , B 可用(一条边或者若干条边组成的)空间 折线连接的概率为 . 3 答案: . 4 解:每对点之间是否连边有 2 种可能,共有 26 ? 64 种情况.考虑其中 A , B 可用折线 连接的情况数. (1) 有 AB 边:共 25 ? 32 种情况. (2) 无 AB 边,但有 CD 边:此时 A , B 可用折线连接当且仅当 A 与 C , D 中至少一
8. 设 A , B , C , D 是空间四个不共面的点,以 点相连,且 B 与 C , D 中至少一点相连,这样的情况数为 (22 ?1) ? (22 ?1) ? 9 .

(3) 无 AB 边,也无 CD 边:此时 AC ,CB 相连有 22 种情况, AD , DB 相连也有 22 种 情况,但其中 AC , CB , AD , DB 均相连的情况被重复计了一次,故 A , B 可用折线连 接的情况数为 22 ? 22 ?1 ? 7 . 48 3 以上三类情况数的总和为 32 ? 9 ? 7 ? 48 ,故 A , B 可用折线连接的概率为 ? . 64 4 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.
9.(本题满分 16 分)平面直角坐标系 xOy 中, P 是不在 x 轴上的一个动点,满足条件: 过 P 可作抛物线 y 2 ? 4 x 的两条切线,两切点连线 lP 与 PO 垂直. 设直线 lP 与直线 PO, x 轴的交点分别为 Q, R .

(1) 证明 R 是一个定点; (2) 求

PQ QR

的最小值.

3

解: (1) 设 P 点的坐标为 (a, b) (b ? 0) ,易知 a ≠ 0 .记两切点 A , B 的坐标分别为

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 PA , PB 的方程分别为 ① yy1 ? 2( x ? x1 ) , ② yy2 ? 2( x ? x2 ) , 而点 P 的坐标 (a, b) 同时满足①,②,故 A , B 的坐标 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 均满足方程 ③ by ? 2( x ? a ) . 故③就是直线 AB 的方程. b 2 b 2 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 与 ,由 PO ? AB 知, ? ? ?1 ,故 a ? ?2 . a b a b ………………4 分 2 从而③即为 y ? ( x ? 2) ,故 AB 与 x 轴的交点 R 是定点 (2, 0) . ……………8 分 b b b (2) 因 为 a = ?2 , 故 直 线 PO 的 斜 率 k1 ? ? , 直 线 PR 的 斜 率 k2 ? ? . 设 2 4 ?OPR ? ? ,则 ? 为锐角,且 ? b ?? b? ? 1?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? 4? PQ 1 ? k1k2 ? ? 1 8 ? b2 2 8 ? b2 ? ? ? ? ? ?2 2. b b 2b tan ? 2b QR k1 ? k2 ? ? 2 4
当 b ? ?2 2 时,

PQ QR

的最小值为 2 2 .

…………………16 分

10. (本题满分 20 分)数列 {an } 满足 a1 ? 数 m ,使得

? , an?1 ? arctan (sec an ) ( n ? N* ) .求正整 6

1 . 100 ? ? ?? 解:由已知条件可知,对任意正整数 n , an?1 ? ? ? , ? ? ,且 ? ? ? 2 2? ? tan an?1 ? sec an . sin a1 ? sin a2 ?? ? sin am ?



? ?? ? .由①得, tan 2 a ? sec 2 a ? 1 ? tan 2 a ,故 由于 sec an ? 0 ,故 an?1 ? ? 0, ? ? n ?1 n n ? ? 2? ? 1 3n ? 2 , tan 2 an ? n ?1 ? tan 2 a1 ? n ?1 ? ? 3 3 3n ? 2 . …………………10 分 即 tan an ? 3 因此 tan am tan a1 tan a2 sin a1 ? sin a2 ?? ? sin am ? ? ?? ? sec a1 sec a2 sec am

?

tan am tan a1 tan a2 (利用①) ? ?? ? tan a2 tan a3 tan am?1

?


tan a1 1 . ? tan am?1 3m ? 1
…………………20 分

1 1 ,得 m = 3333 . ? 3m ? 1 100

4

11. (本题满分 20 分) 确定所有的复数 ? , 使得对任意复数 z1 , z2 ( z1 , z2 ? 1, z1 ≠ z2 ) , 均有

( z1 ? ? ) 2 ? ? z1 ≠ ( z2 ? ? ) 2 ? ? z2 .
解:记 f ? ( z ) ? ( z ? ? ) 2 ? ? z .则

f ? ( z1 ) ? f ? ( z2 ) ? ( z1 ? ? ) 2 ? ? z1 ? ( z2 ? ? ) 2 ? ? z2
? ( z1 ? z2 ? 2? )( z1 ? z2 ) ? ? ? z1 ? z2 ? .
假如存在复数 z1 , z2 ( z1 , z2 ? 1, z1 ≠ z2 ) ,使得 f ? ( z1 ) ? f ? ( z2 ) ,则由①知, ①

? ? z1 ? z2 ? ? ? ( z1 ? z2 ? 2? )( z1 ? z2 ) ,
利用 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 ≠ 0 知,? ? z1 ? z2 ? 2? ? 2 ? ? z1 ? z2 ? 2 ? ? 2 , 即 ? ?2. 另 一 方 面 , 对 任 意 满 足 ? ? 2 的 复 数 ? , 令 z1 ? ? …………………10 分

? ? ? ? i, z2 ? ? ? ? i , 其 中 2 2

0 ? ? ? 1?

? 2

,则 z1 ≠ z2 ,而 ?

? ? ? ? i ? ? ? ? ? 1 ,故 z1 , z2 ? 1 .此时将 2 2

z1 ? z2 ? ? ? , z1 ? z2 ? 2? i , z1 ? z2 ? 2? i ? ?2? i
代入①可得, f ? ( z1 ) ? f ? ( z2 ) ? ? ? 2? i? ? ? (?2? i) ? 0 ,即 f ? ( z1 ) ? f ? ( z2 ) . 综上所述,符合要求的 ? 的值为 ?? ? ? C, ? ? 2? . …………………20 分

5


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