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2017届江苏省南通中学高三上学期期中考试数学(文)试题


2017 届高三上学期数学期中测试(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A= ?2,3,4? , B=?a ? 2,a? ,若 A ? B =B ,则 ?A B ? 2.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ≤0 ”的否定是 ▲ . 3.函数 y ? log0.2 x 的定义域为 ▲ . 4.已知一个圆锥的底

面积为 2 ? ,侧面积为 4 ? ,则该圆锥的体积为 ▲ . 5.设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项的和,若 a3 ? 2a6 ? 0 ,则 ▲ .

S3 的值是 ▲ . S6

ì x ? 1, ? ? ? 2 2 6.已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 í y ? x, 则 ( x - 2) + ( y - 1) 的最小值为 ▲ . ? ? ? ? ? x - 2 y + 3 ? 0,
????

7.如图, 在正方形 ABCD 中, 点 E 是 DC 的中点, 点 F 是 BC 的一个三等分点, 那么 EF = ▲ . (用 AB 和 AD 表示)

??? ?

8.已知命题 p:|x-a|<4,命题 q:(x-1)(2-x)>0,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 ________. 9.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与曲线 y ? ln x ? a 相切,则 a 的值为 ▲ . -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, 是奇函数且函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数 a 的取 2 ? ?x +mx,x<0 值范围为 ▲ . π? 11.函数 y=2sin? ?2x-6?与 y 轴最近的对称轴方程是 ▲ .
???? ??? ? 12.如图,点 O 为△ ABC 的重心,且 OA ? OB , AB ? 4 ,则 AC ? BC 的值为 ▲ . C
2

O A
(第 12 题) 页 1第

B

13.已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an ,若关于正整数 n 的不等式 an 2 ? tan ≤ 2t 2 的解 集中的整数解有两个,则正实数 t 的取值范围为 ▲ .

? ?a ? x +1 , x ≤1, 14.已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点,则实 2 ? ?( x ? a) , x ? 1,
数 a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知向量 a ? (sin( x ? ? ),1) ,b ? (1,cos( x ? ? )) (? ? 0,0 ? ? ? ) , 记函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) . 若 2 2 4

1 函数 y ? f ( x) 的周期为 4,且经过点 M (1, ) . 2
(1)求 ? 的值; (2)当 ?1 ? x ? 1 时,求函数 f ( x) 的最值.

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 侧 面 PAD ? 底 面 A B C D ,且

P A? P D ?

2 2

A,若 D E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点.

(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证: EF ? 平面 PDC .

17.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x x ? 8 x ? 7 ? 0 , B ? x x ? 2 x ? a ? 2a ? 0
2 2 2

?

?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ;
页 2第

(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 如图,某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心,AB 为直径),现计划对其进行 改建.在 AB 的延长线上取点 D,OD=80 m,在半圆上选定一点 C,改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成,其面积为 S m2.设∠AOC=x rad. (1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x),并指出 x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积 S 取得最大值.
C

A

O

B

D

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

a?2 ? 2 ? 2a (a ? 0) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) ≥ 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围.

20.(本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*) ,记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样的常数 C ,使得 数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有

?1? n?2 成立,求证:数列 {bn } 是等差数列。 b1an ? b2an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?
页 3第

n



4第

参考答案: 2017 届高三上学期数学期中测试(文科)
本试卷分为数学 I(必做题)和数学 II(附加题)两部分.共 200 分,考试用时 150 分钟. 数学 I(必做题 共 160 分)

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A= ?2,3,4? , B=?a ? 2,a? ,若 A ? B =B ,则 ?A B ? ▲ . ?3?

2.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ≤0 ”的否定是 ▲ . ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 3.函数 y ? log0.2 x 的定义域为 ▲ . (0,1] 4.已知一个圆锥的底面积为 2 ? ,侧面积为 4 ? ,则该圆锥的体积为 ▲ .

2 6 ? 3

5.设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项的和,若 a3 ? 2a6 ? 0 ,则

S3 的值是 ▲ .2 S6

ì x ? 1, ? ? 1 ? 2 2 6.已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 í y ? x, 则 ( x - 2) + ( y - 1) 的最小值为 ▲ . ? 2 ? ? x - 2 y + 3 ? 0, ? ?
????
? 2 ???? 1 ??? AB ? AD 2 3

7.如图, 在正方形 ABCD 中, 点 E 是 DC 的中点, 点 F 是 BC 的一个三等分点, 那么 EF = ▲ . (用 AB 和 AD 表示)

??? ?

8.已知命题 p:|x-a|<4,命题 q:(x-1)(2-x)>0,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 ________.[-2,5] 9.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与曲线 y ? ln x ? a 相切,则 a 的值为 ▲ . ?2 -x +2x,x>0, ? ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, 是奇函数且函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数 a 的取 2 ? ?x +mx,x<0 值范围为 ▲ .(1,3].
2

? π? 11.函数 y=2sin? ?2x-6?与 y 轴最近的对称轴方程是 ▲ . x ? ?
页 5第

6

???? ??? ? 12.如图,点 O 为△ ABC 的重心,且 OA ? OB , AB ? 4 ,则 AC ? BC 的值为 ▲ .32 C

O A
(第 12 题)

B

13.已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1 , 2Sn ? (n ? 1)an ,若关于正整数 n 的不等式 an 2 ? tan ≤ 2t 2 的解 集中的整数解有两个,则正实数 t 的取值范围为 ▲ . (1, )

3 2

? ?a ? x +1 , x ≤1, 14.已知函数 f ( x) ? ? 函数 g ( x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点,则实 2 ( x ? a ) , x ? 1, ? ?
数 a 的取值范围是 ▲ . 2 ? a ≤ 3 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

? ? ? ? ? ? ? ? ? 已知向量 a ? (sin( x ? ? ),1) ,b ? (1,cos( x ? ? )) (? ? 0,0 ? ? ? ) , 记函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) . 若 2 2 4

1 函数 y ? f ( x) 的周期为 4,且经过点 M (1, ) . 2
(1)求 ? 的值; (2)当 ?1 ? x ? 1 时,求函数 f ( x) 的最值.

? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? 15.解: (1) f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) ? a ? b ? sin 2 ( x ? ? ) ? cos2 ( x ? ? ) ? ? cos(? x ? 2? ) 2 2
………………4 分 由题意得:周期 T ?

2?

?

? 4 ,故 ? ?

?
2

………………6 分

1 ? 1 (2)∵图象过点 M (1, ) ,?? cos( ? 2? ) ? 2 2 2
即 sin 2? ?

1 ? ? ? ? ,而 0 ? ? ? ,故 2? ? ,则 f ( x) ? ? cos( x ? ) . ………………10 分 2 4 2 6 6

当 ?1 ? x ? 1 时, ?

?
3

?

?
2

x?

?
6

?

2? 1 ? ? ?? ? cos( x ? ) ? 1 3 2 2 6
………………14 分

1 1 ? 当 x ? ? 时, f ( x)min ? ?1 ,当 x ? 1 时, f ( x)max ? . 3 2

16.(本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 侧 面 PAD ? 底 面 A B C D ,且
页 6第

PA ? PD ?

2 AD ,若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2

(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证: EF ? 平面 PDC .

16.证明: (1)连结 AC,因为正方形 ABCD 中 F 是 BD 的中点,则 F 是 AC 的中点,又 E 是 PC 的中点, 在 △

CPA





E

F



P

A

















3



且 PA ? 平 面 PA D , E F ? 平 面 PA D , ∴ E F ∥ 平 面 PA D … … … … … … … … … … 6 分 (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,又 CD⊥AD,所 以 CD⊥平面 PAD, …………………………………8 分

又 PA ? 平面 PAD,∴CD⊥PA ,因为 EF//PA, ∴CD⊥EF……………………10 分 又 PA=PD=

? 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA⊥PD 2 2
……………………13 分

又 EF//PA, ∴PD⊥EF

而 C D ∩ P D = D , ∴ PA ⊥ 平 面 P D C , 又 E F ∥ PA , 所 以 E F ⊥ 平 面 P D C … … … … 1 4 分

17.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x x ? 8 x ? 7 ? 0 , B ? x x ? 2 x ? a ? 2a ? 0
2 2 2

?

?

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 解:(1) A ? ?x |1 ? x ? 7? ,
2 当 a ? 4 时, B ? x | x ? 2 x ? 24 ? 0 ? x ? 4 ? x ? 6 ,

?

? ?

?



7第

∴ A ? B ? ?1,6?

…………… 6 分

(2) B ? x ( x ? a )( x ? a ? 2) ? 0

?

?

①当 a ? ?1 时, B ? ?, ? A ? B 不成立; ②当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (?a, a ? 2),

??a ? 1 ,解得 a ? 5; ? A ? B,? ? a ? 2 ? 7 ?
③当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (a ? 2, ?a),

?a ? 2 ? 1 解得 a ? ?7; ? A ? B,? ? ??a ? 7
综上,当 A ? B ,实数 a 的取值范围是 (??, ?7] ? [5, ??) .
2 2

…………… 14 分

注:第(2)小题也可以用恒成立处理,即 x ? 2 x ? a ? 2a ? 0 在 ?1,7 ? 上恒成立

18. (本小题满分 16 分) 如图,某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域(以 O 为圆心,AB 为直径),现计划对其进行 改建.在 AB 的延长线上取点 D,OD=80 m,在半圆上选定一点 C,改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成,其面积为 S m2.设∠AOC=x rad. (1)写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x),并指出 x 的取值范围; (2)试问∠AOC 多大时,改建后的绿化区域面积 S 取得最大值.
C

A

O

B

D

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为扇形 AOC 的半径为 40 m,∠AOC=x rad, 所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC= x· OA2 =800x,0<x<π. 2

(第 18 题)

…………… 2 分

在△COD 中,OD=80,OC=40,∠COD=π-x, 1 所以△COD 的面积 S△COD= · OC· OD· sin∠COD=1600sin(π-x)=1600sinx. 2 ………………… 5 分 从而 S=S△COD+S 扇形 AOC=1600sinx+800x,0<x<π. (2)由(1)知, S(x)=1600sinx+800x,0<x<π.
页 8第

…………………7 分

1 S′(x)=1600cosx+800=1600(cosx+ ). 2 2π 由 S′(x)=0,解得 x= . 3

……………… 9 分

2π 2π 从而当 0<x< 时,S′(x)>0;当 <x<π 时, S′(x)<0 . 3 3 2π 2π 因此 S(x)在区间(0, )上单调递增;在区间( ,π)上单调递减. …………… 14 分 3 3 2π 所以 当 x= ,S(x)取得最大值. 3 2π 答:当∠AOC 为 时,改建后的绿化区域面积 S 最大.……………… 16 分 3

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

a?2 ? 2 ? 2a (a ? 0) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x) ≥ 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围. 19.解: (1)当
3 f (2) ? , 2
a ? 1 时, f ( x) ? x ?

1 1 , f ?( x) ? 1 ? 2 x x

…………2 分 …………3 分

f ?(2) ?

5 4

所以,函数 f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 即: 5x ? 4 y ? 4 ? 0 (Ⅱ)函数的定义域为: {x | x ? 0}

3 5 ? ( x ? 2) 2 4

…………4 分

f ' ( x) ? a ?

a ? 2 ax2 ? (2 ? a) ? (a ? 0) x2 x2

…………6 分

当 0 ? a ? 2 时, f ' ( x) ? 0 恒成立,所以, f ( x) 在 (??,0) 和 (0, ??) 上单调递增 当 a ? 2 时,令 f ' ( x) ? 0 ,即: ax 2 ? 2 ? a ? 0 , x1 ? ?
a?2 , x2 ? a a?2 a

f ' ( x) ? 0, x ? x2或x ? x1 ; f ' ( x) ? 0, x1 ? x ? 0或0 ? x ? x2 ,
所 以 ,
(?

f ( x) 单 调 递 增 区 间 为 (??, ?

a?2 a?2 )和( , ??) , 单 调 减 区 间 为 a a

a?2 a?2 , 0)和(0, ). a a

…………10 分
a?2 ? 2 ? 2a ? 2ln x ? 0(a ? 0) x

(Ⅲ)因为 f ( x) ? 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立,有 ax ?



9第

在 [1, ??) 上恒成立。 所以,令 g ( x) ? ax ? 则 g ' ( x) ? a ?
a?2 ? 2 ? 2a ? 2ln x , x

a ? 2 2 ax2 ? 2x ? a ? 2 ( x ? 1)[ax ? (a ? 2)] . ? ? ? x2 x x2 x2 a?2 令 g ' ( x) ? 0, 则 x1 ? 1, x2 ? ? a
若?
a?2 ? 1 ,即 a ? 1 时, g ' ( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,又 g (1) ? 0 a

所以, f ( x) ? 2ln x 在 [1, ??) 上恒成立; 若?
a?2 a?2 ? 1 ,即 a ? 1 时,当 x ? (0,1),(? , ??) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 单调递增; a a a?2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减 a a?2 ), a

当 x ? (1, ?

所以, g ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 g (? 因为 g (1) ? 0, 所以 g (?
?

a?2 ) ? 0 不合题意. a

a?2 a?2 ? 1, 即 a ? 1 时,当 x ? (0, ? ),(1, ??) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 单调递增, a a a?2 ,1) 时, g ' ( x) ? 0, g ( x) 单调递减, a

当 x ? (?

所以, g ( x) 在 [1, ??) 上的最小值为 g (1) 又因为 g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? 2ln x 恒成立 综上知, a 的取值范围是 [1, ??) . …………16 分

20.(本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*) ,记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样的常数 C ,使得 数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有

?1? n?2 成立,求证:数列 {bn } 是等差数列。 b1an ? b2an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?
20.解: (1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ………………1 分

n

由 S n ? an ? 4 得 n ? 2 时, S n?1 ? an?1 ? 4
页 10 第

两式相减得, 2an ? an?1 , 数列 {an } 是以 2 为首项,公比为 所以 an ? 22?n ( n ? N )
*

an 1 ? a n ?1 2

…………2 分

1 的等比数列, 2
……………4 分

(2)由于数列 {d n } 是常数列

d n = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n) logC 2

……………6 分

? 2n ? 3 ? 2 logC 2 ? n logC 2 ? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2 logC 2 为常数 , 只有 2 ? lo gC 2 ? 0 ;解得

C ? 2 ,此时 d n ? 7
(3) b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2

………8 分

n?2 ?1? ……① ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?
…10 分

n

n ? 1 , b1 a1 ?
当 n ? 2 时,

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? 2 2 2

b1an?1 ? b2 an?2

?1? ? b3 an?3 ? ? ? bn?1a1 ? ? ? ? 2?
1 得, 2

n ?1

?

n ?1 ② 2

…12 分

②式两边同时乘以

b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2
①式减去③得, bn a1 ? 且 bn ?1 ? bn ? ?

n ?1 ?1? ③ ? ? ? bn?1a2 ? ? ? ? 4 ? 2?
?n?3 n 3 ,所以 bn ? ? ? 4 8 8

n

…14 分

1 8 1 1 为首项,公差为 ? 的等差数列。 8 2
…16 分

所以数列 {bn } 是以 ?



11 第


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