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山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考数学文试题


山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考文数试题

(满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 已知集合 A ? {x | ? x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x

| ?1 ? x ? 1} ,则 A ? (CU B) ?
2

A. {x |1 ? x ? 2} C. {x |1 ? x ? 2}

B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | x ? 1或x ? 2}

2. 已知 i 是虚数单位,则满足 z ?1 ? i ? ? i 的复数 z 为 A.

1 i ? 2 2 1 i D. ? ? 2 2

B.

1 i ? 2 2

C.

?

1 i ? 2 2

开始 输入 x x<0? 否 是 x=0? 否 y=2x 输出 y 结束 y=?x 是

3. 袋中共有 5 个除颜色外完全相同的小球,其中 1 个 红球,2 个白球和 2 个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一 白一黑的概率等于 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

y=0

x2 y 2 4. 已 知 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 a b e ? 3 ,则
它的渐近线方程为

2 x B. y ? ? 3x C. y ? ? 2 x D. y ? ? x 2 5. 阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,若输入 x ? 1,
A. y ? ? 则输出的结果为 A. -1 B. 2 C.0 D. 无法判断
2 2 正视图 侧视图

6. 已知一个几何体的三视图,如图所示,则该几何体的体积为 A.4 B.8
2

C.

4 3

D.

8 3

7. 命题 p: ?x0 ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 , 命题 q: ?x ? ? 0,

x ? sin x .则下列命题中真命题为 A. p ? q B. p ? ??q ? C. ??p ? ? (?q) D. ??p ? ? q x 8. 在下列区间中函数 f ( x) ? e ? 2 x ? 4 的零点所在的区间为
A. (0, )

? ?? ?, ? 2?
俯视图

2

1 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1, 2)

D. ?1, ?

? 3? ? 2?

9. 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

a6 9 S ? ,则 11 = a5 11 S9

A.1
2

B.-1

C. 2

D.

1 2

10. 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作一直线 l 交抛物线于 A、B 两点,以 AB 为直径 的圆与该抛物线的准线 l 的位置关系为 A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定 11. 已知 ?ABC 中, A、 、 的对边分别为 a 、b 、c , 角 B C 已知 cos 2 A ? cos 2B ? 2 cos 2C , 则 cosC 的最小值为 A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

1 2

? 1 x ?( ) ? 1 x ? 0 12. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,若 | f ( x) |? ax ,则实数 a 的取值范围为 ?ln( x ? 1) x ? 0 ?
A. (??, ? ln 2]
? ?

B. (??,1]

C. (? ln 2,1]
? ?

D. [? ln 2,0]
?

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13.已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , ( a ? b ) ? a ,向量 a 与 b 的夹角为 ? .
? ?

?2 x ? y ? 4 ? 14.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 1 , 则变量 z ? 3x ? y 的最小值为 ? ?x ? 2 ?



15.三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直且长度分别为 2cm,2cm,1cm,则其 外接球的表面积是 ? 16.下面有四个命题:
4

cm2.

①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? ;
4

②函数 y ? 3sin x ? 4 cos x 的最大值是 5; ③把函数 y ? 3 sin(2 x ? ④函数 y ? sin(x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 得 y ? 3 sin 2 x 的图象; 6

?
2

) 在 (0, ? ) 上是减函数.
? .

其中真命题的序号是

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并 把解答写在答题纸的相应位置上) 17.(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}中, S n 为其前 n 项和 (n ? N ) ,且 a3 ? 5, S 3 ? 9. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
?

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . a n a n ?1

18.(本小题满分 12 分) 为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的教学效果. 共选 100 名学生 随机分成两个班, 每班 50 名学生, 其中一班采取“传统式教学法”, 二班实行“三步式教学法” (Ⅰ)若全校共有学生 2000 名,其中男生 1100 名,现抽取 100 名学生对两种教学方式 的受欢迎程度进行问卷调查,应抽取多少名女生? (Ⅱ)下表 1,2 分别为实行“传统式教学”与“三步式教学”后的数学成绩: 表1 数学成绩 频 数 表2 90 分以下 15 90—120 分 20 120—140 分 10 140 分以上 5

数学成绩 90 分以下 90—120 分 120—140 分 140 分以上 5 40 3 2 频 数 完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 99%的把握认为这两种教学法有差异. 班 次 一班 二班 合计
2 参考公式: K ?

120 分以下(人数)

120 分以上(人数)

合计(人数)

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.010 6.635 0.005 7.879

参考数据:
2 0.40 0.25 0.10 0.05 P(K ≥k0) 0.708 1.323 2.706 3.841 k0 19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD , P D ? 平面 A B C D 中 ,

? CD ? PA ,DB平分?ADC ,E为PC的中点 , DAC ? 45? ,

AC ? 2 .
(Ⅰ)证明: PA ∥ 平面BDE ; (Ⅱ)若 PD ? 2, BD ? 2 2, 求四棱锥 E ? ABCD 的体积. 20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e (ax ? x ? 1) ( a ?R),且该函数曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;
x 2

(Ⅱ)证明:当 ? ? [0, 21.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

?
2

] 时, f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2 .

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,离心率 e ? ,过点 F 且与 x 轴 2 2 a b

垂直的直线被椭圆 C 截得的线段长为 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两个点 A, B ,当 ?OAB 面积最大时,

求线段 AB 的长度 AB .

选做题:请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定 、 、
的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题纸上将所选题 号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A,直径 BC⊥OP,连接 AB 交 PO 于点 D. C (Ⅰ)证明:PA=PD; A (Ⅱ)求证:PA· AC=AD· OC. D P O 23.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程 B 2 x=?2+ t 2 为 ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点 P(?2,?4)的直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,直线 l 2 y=?4+ t 2

? ? ?

与曲线 C 相交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若|PA|?|PB|=|AB|2,求 a 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-3|+|x+1|. (Ⅰ)求使不等式 f(x)< 6 成立的 x 的范围; (Ⅱ) ? x0?R,f(x0)< a,求实数 a 的取值范围.

2014 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考 数 学 试 题 ( 文 ) 参 考 答 案
一.选择题(每小题 5 分) CBBCBA DBACCD 二.填空题(每小题 5 分) 13.60? 二.解答题 17.解: (Ⅰ)由已知条件得 ? 解得 a1 ? 1, d ? 2, ∴ a n ? 2n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 2n ? 1 , ∴ bn ? 14.

17 3

15.9?

16.①②③

?a1 ? 2d ? 5, ?3a1 ? 6d ? 9,

???2 分 ???4 分 ???6 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

???9 分

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? 2? ?
???12 分 ???2 分 ???4 分 合计(人数) 50 50 100 ???7 分 ???10 分 ???12 分

?

1 1 n . (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1

18.解: (Ⅰ) 设女生为 x,则

2000 100 , ? 2000 ? 1100 x 解得 x ? 45 名,∴女生抽取 45 人.
(Ⅱ) 列联表如下: 班 次 120 分以下(人数) 35 1班 45 2班 80 合计 K2= 120 分以上(人数) 15 5 20

100 ? (35 ? 5 ? 15 ? 45) 2 ? 6.25, 80 ? 20 ? 50 ? 50

由此可知,有 99%的把握认为这两种教学法有差异. 19.解: (Ⅰ)设 AC ? BD ? F ,连接 EF,

? PD ? 平面ABCD,CD ? 平面ABCD, PD ? CD ? 又 ? CD ? PA,PD ? PA ? P,PD,PA ? 平面PAD ? CD ? 平面PAD, AD ? 平面PAD ? CD ? AD ? ? ∵ ?DAC ? 45 , ∴ DA ? DC , ∵ DB 平分 ?ADC , F 为 AC 中点, E 为 PC 中点, ∴ EF 为 ?CPA 的中位线. ∵ EF ∥ PA, EF ? BD平面BDE, PA ? 平面BDE ∴ PA ∥ 平面BDE . (Ⅱ)底面四边形 ABCD 的面积记为 S ; 1 2 1 3 S ? S ?ADC ? S ?ABC ? ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2. 2 2 2 2 ?点E为线段PC的中点,

???2 分 ???3 分 ???4 分 ???6 分

???9 分

1 1 1 1 2 ?VE ? ABC ? S ? PD ? ? 2 ? ? 2 ? . 3 2 3 2 3 ' x 2 20.解: (Ⅰ) f ( x) ? e (ax ? x ? 1 ? 2ax ? 1) ,
由条件知, f (1) ? 0, 故 a ? 3 ? 2a ? 0 则 a ? ?1
'

???12 分

???3 分
'

于是 f ( x) ? e (? x ? x ? 2) ? ?e ( x ? 2)( x ? 1) .
' x 2 x

故当 x ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (?2,1) 时, f ( x) ? 0 。
'

从而 f ( x) 在 ? ??, ?2 ? , ?1, ?? ? 上单调递减,在 (?2,1) 上单调递增. ???6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增, 故 f ( x) 在 ? 0,1? 上的最大值为 f (1) ? e, 最小值为 f (0) ? 1, 从而对任意 x1 , x2 ? ? 0,1? 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ? 2 , 而当 ? ? ?0, ???10 分

? ?? 时, cos ? ,sin ? ? ? 0,1? ,从而 f (cos ? ) ? f (sin ? ) ? 2 ? 2? ?
???12 分

21.解:(Ⅰ)由题意得 e ?
2 2

2 2b 2 2 ,得 a ? 2b ①.又 ? 2 ②, 2 a

2

???2 分

解得①② a ? 2, b ? 1 .

x2 ? y2 ? 1. ???4 分 2 (Ⅱ)根据题意可知,直线 l 的斜率存在,故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , ? y ? k x? 2 ? 消去 y ,得关于 x 的方程 B?x2 , y2 ? 由方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 . 3 2 2 2 2 由 ? ? 64 k ? 24(1 ? 2k ) ? 16 k ? 24 ? 0 得 k ? 2 8k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? 由根与系数的关系得 ? ???6 分 ?x ? x ? 6 . ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
∴椭圆的方程为

16 k 2 ? 24 1? k2 . 1 ? 2k 2 2 又因为原点 O 到直线 l 的距离 d ? , 1? k 2
故 AB ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

???8 分

故 ?OAB 的面积 S ? 令t ?

1 16 k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 AB ? d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

2k 2 ? 3 ? 0 ,则 2k 2 ? t 2 ? 3 ,

所以 S ?AOB ?

2 2t 2 ? ,当且仅当 t ? 2 时等号成立, 2 t ?4 2

???11 分

即k ? ?

14 3 时, AB ? . 2 2

???12 分

22.证明:(1)∵直线 PA 为圆 O 的切线,切点为 A C A ∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2 分 ∵BC 为圆 O 的直径,∴∠BAC=90° D P ∴∠ACB=90° -B O ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90° -B……………………………4 分 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90° -B B ∴PA=PD…………………………………………………5 分 (2)连接 OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO ∵∠OAC=∠ACO,∴ΔPAD∽ΔOCA………………………………………8 分 PA AD ∴ = ,∴PA?AC=AD?OC………………………………………10 分 OC AC 23.解:(1) 由 ρsin2θ=2acosθ(a>0)得 ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0) ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2ax(a>0)………………………2 分 直线 l 的普通方程为 y=x-2…………………………………4 分 (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y2=2ax 中, 得 t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1+t2=2 2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6 分 ∵|PA|?|PB|=|AB|2,∴t1t2=(t1-t2)2, 即(t1+t2)2=5t1t2……………8 分 ∴[2 2(4+a)]2=40(4+a),即 a2+3a-4=0 解之得:a=1 或 a=-4(舍去),∴a 的值为 1…………………10 分 24. 解:(1) 由绝对值的几何意义可知 x 的取值范围为(-2,4) ………5 分 (Ⅱ) ? x0?R,f(x0)<a,即 a>f(x)min ……………………………………7 分 由绝对值的几何意义知:|x-3|+|x+1|可看成数轴上到 3 和-1 对应点的距离和. ∴f(x)min=4,即∴a>4.…………………………………………………9 分 所求 a 的取值范围为(4,+∞) ………………………………10 分


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