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2015年普通高等学校招生统一考试-山东文数卷文档版(无答案)-(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(文科) 第 I 卷(共 50 分)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、已知集合 A ?

x 2 ? x ? 4 (A) ?1,3? 2、若复数 z 满足 (A) 1 ? i

?

?

, B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 (C) ? 2,3?

?

?

,则 A

B?

(B) ?1, 4 ?

(D) ? 2, 4 ?

z ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 1? i
(B) 1 ? i (C) ?1 ? i (D) ?1 ? i

3、设 a ? 0.60.6 , b ? 0.61.5 , c ?1.50.6 ,则 a, b, c 的大小关系是 (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? a ? c (D) b ? c ? a

4、要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? 的图象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象 3?
(B)向右

? 个单位 12 ? (C)向左平移 个单位 3
(A)向左平移
2

? 平移个单位 12 ? (D)向右平移 个单位 3

5、设 m ? R ,命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是 (A)若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

(B) 若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

(C) 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

(D) 若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

6、为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的 气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论:

1/6

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气 温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气 温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气 温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 7、在区间 ? 0, 2? 上随机地取一个数 x ,则事件“ ?1 ? log 1 ? x ? (A)

? 2 ?

1? ? ? 1 ”发生的概率为 2?
(D)

3 4

(B)

2 3

(C)

1 3

1 4

8、若函数 f ? x ? ? (A) ? ??, ?1?

2x ? 1 是奇函数,则使 f ? x ? ? 3 成立的 x 的取值范围为 2x ? a
(B) ? ?1,0? (C) ? 0,1? (D) ?1, ?? ?

9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为 2, 将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为 (A)

2 2? 3

(B)

4 2? 3

(C) 2 2?

(D) 4 2?

10.设函数 f ? x ? ? ? (A)1

?3x ? b, x ? 1, ?2 ,
x

x ? 1,
(B)

若 f ? f ? ? ? ? 4 ,则 b ? (C)

? ? 5 ?? ? ? 6 ??

7 8

3 4

(D)

1 2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)执行右边的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 y 的值是

.

? y ? x ? 1, ? (12) 若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 则 z ? x ? 3 y 的最 ? y ? 1, ?
大值为 (13)过点 P 1, 3 .

?

?

作圆 x ? y ? 1的两条切线,切点分
2 2

别为 A,B,则 PA ? PB ?

.

2/6

( 14 ) 定 义 运 算 “ ?

” : x? y ?

x2 ? y 2 ? x, y ? R, xy ? 0? . 当 x ? 0, y ? 0 xy
.

时,

的最小值为 x ? y ?? 2 y ? ?x (15)过双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 a 2 b2

C 于点 P,若点 P 的横坐标为 2 a 则 C 的离心率为 . 16. (本小题满分 12 分) 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况, 数据如下表: 参加书法社团 参加演讲社团 未参加演讲社团 8 2 未参加书法社团 5 30

(I)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (II) 在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中, 有 5 名男同学 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 3 名女同学 B1 , B2 , B3 , 现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人, 求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率。 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 cos B ?

3 , 3

sin( A ? B) ?

6 , ac ? 2 3 ,求 sin A 和 c 的值. 9

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 三 棱 台 DEF - ABC 中 ,

A B ?2

D , E ,G H AC, BC 的中点, 分别为

(I)求证: BD // 平面 FGH ; ( II )若 CF ? BC, AB ? BC ,求证:平 面 BCD ? 平面 FGH .

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是首项为正数的等差数列, 数列 {

n 1 } 的前 n 项和为 。 2n ? 1 a n a n ?1

3/6

(I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 b n ? (an ? 1) ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

20. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x, g ( x) ?

x2 ,已知曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 ex

2 x ? y ? 0 平行,
(I)求 a 的值; (II)是否存在自然数 k ,使的方程 f ( x) ? g ( x) 在 (k , k ? 1) 内存在唯一的根?如果存在, 求出 k ;如果不存在,请说明理由; (III) 设函数 m( x) ? min{f ( x), g ( x)}(min(p, q) 表示 p, q 中的较小值) , 求 m( x) 的最大值.

21. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的离心率为

1 3 ,且点 ( 3 , ) 在椭圆 C 上, 2 2

(I)求椭圆 C 的方程; (II)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1, P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭 4a 2 4b 2

圆 E 于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q ,

(i)求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值。

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