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3-3-1比例解行程问题,题库教师版


比例解行程问题

教学目标
1. 会解一些简单的方程. 2. 掌握寻找等量关系的方法来构建方程.

知识精讲
比例的知识是小学数学最后一个重要内容,从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角 色。 从一个工具性的知识点而言,比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势,往往体现在方法的灵活 性和思维的巧妙性上,使得

一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题,对于 工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。 我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况,我们将甲、乙的速度、时 间、路程分别用 v甲, v乙;t甲, t乙;s甲,乙 来表示,大体可分为以下两种情况: s 1. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,经过同一段时间后,他们走过的路程之比就 等于他们的速度之比。

? s甲 ? v甲 ? t甲 s s ,这里因为时间相同,即 t甲 ? t乙 ? t ,所以由 t甲 ? 甲 ,t乙 ? 乙 ? v甲 v乙 ? s乙 ? v乙 ? t乙
得到 t ?

s甲 s乙 s甲 v甲 , ,甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比 ? ? v甲 v乙 s乙 v乙

2. 当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时,走过相同的路程时,2 个物体所用的时间之 比等于他们速度的反比。

? s甲 ? v甲 ? t甲 ,这里因为路程相同,即 s甲 ? s乙 ? s ,由 s甲 ? v甲 ? t甲,s乙 ? v乙 ? t乙 ? ? s乙 ? v乙 ? t乙
得 s ? v甲 ? t甲 ? v乙 ? t乙 ,

v甲 t乙 ? ,甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。 v乙 t甲

模块一:比例初步——利用简单倍比关系进行解题
【例 1】 (难度等级 ※※※)上午 8 点 8 分,小明骑自行车从家里出发,8 分钟后,爸爸骑摩托车去追 他,在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小 明的时候,离家恰好是 8 千米,这时是几点几分?
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【解析】 画一张简单的示意图:

图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了 8-4=4(千米).而爸爸骑的距离是 4 + 8= 12(千米).这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷ 4=3(倍).按照 这个倍数计算,小明骑 8 千米,爸爸可以骑行 8× 3=24(千米).但事实上,爸爸少用了 8 分钟, 骑行了 4+12=16(千米).少骑行 24-16=8(千米).摩托车的速度是 8÷ 8=1(千米/分) ,爸爸骑 行 16 千米需要 16 分钟.8+8+16=32.所以这时是 8 点 32 分。 注意:小明第 2 个 4 千米,也就是从 A 到 B 的过程中,爸爸一共走 12 千米,这一点是本题的关 键.对时间相同或距离相同,但运动速度、方式不同的两种状态,是一大类行程问题的关键.本 题的解答就巧妙地运用了这一点.

【巩固】 (难度等级 ※※※)欢欢和贝贝是同班同学,并且住在同一栋楼里.早晨 7 : 40 ,欢欢从家出 发骑车去学校, 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝;看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知, 欢欢立即调头,并将速度提高到原来的 2 倍,回家换好校服,再赶往学校;欢欢 8 : 00 赶到学 校时,贝贝也恰好到学校.如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计,那么贝贝从家里 出发时是几点几分. 【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟,她调头后速度提高到原来的 2 倍,根据路程一定,时间比 等于速度的反比,她回到家所用的时间为 3 分钟,换衣服用时 6 分钟,所以她再从家里出发到 到达学校用了 20- 6-3- 6 =5 分钟,故她以原速度到达学校需要 10 分钟,最开始她追上贝贝用了 6 分钟,还剩下 4 分钟的路程,而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟,所以欢欢的 6 分钟路程 贝贝要走 14 × (6÷4)= 21 分钟,也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟,所以贝贝是 7 点 25 分出发的.

【例 2】 难度等级 ※※※)甲、乙两车分别同时从 A、B 两地相对开出,第一次在离 A 地 95 千米处相 遇.相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次在离 B 地 25 千米处相遇.求 A、B 两地 间的距离? 【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线,虚线表示乙车行进的路线):

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离,第二次相遇意味着两车共行了三个 A、B 两地间的距离.当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时,甲车行了 95 千米,当它 们共行三个 A、B 两地间的距离时,甲车就行了 3 个 95 千米,即 95× 3=285(千米),而这 285 千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米,可得:95× 3-25=285-25=260(千米).

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【巩固】 (难度等级 ※※※)地铁有 A,B 两站,甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A, B 两站同时出发,他们第一次相遇时距 A 站 800 米,第二次相遇时距 B 站 500 米.问:两站 相距多远? 【解析】 从起点到第一次迎面相遇地点,两人共同完成 1 个全长,从起点到第二次迎面相遇地点,两人 共同完成 3 个全长, 一个全程中甲走 1 段 800 米, 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图 3 可知,由 3 倍关系得到:A,B 两站的距离为 800× 3-500=1900 米

【巩固】 (难度等级 ※※※)如右图,A,B 是圆的直径的两端,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向 而行,两人在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米,D 离 B 有 60 米,求这个圆的周长.

【解析】 根据总结可知,第二次相遇时,乙一共走了 80× 3=240 米,两人的总路程和为一周半,又甲所走 路程比一周少 60 米, 说明乙的路程比半周多 60 米, 那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米, 周长为 180× 2=360 米.

【例 3】 (难度等级 ※※※※)甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发,相向而行, 丙与甲同时从 A 出发,在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回,遇到甲也立即返回).已 知丙每分钟跑 240 米,甲每分钟走 40 米,当丙第一次折返回来并与甲相遇时,甲、乙二人相 距 210 米,那么乙每分钟走________米;甲下一次遇到丙时,甲、乙相距________米. 【解析】 如图所示:
A 甲 丙 D E C B 乙

假设乙、丙在 C 处相遇,然后丙返回,并在 D 处与甲相遇,此时乙则从走 C 处到 E 处.根据题 意可知 DE ? 210 米.由于丙的速度是甲的速度的 6 倍,那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路 程的 6 倍, 也就是从 A 到 C 再到 D 的长度是 AD 的 6 倍, 那么 CD ? (6 AD ? AD) ? 2 ? 2.5 AD ,

5 5 AC .那么丙从 C 到 D 所用的时间是从 A 到 C 所用时间的 ,那 7 7 么这段时间内乙、丙所走的路程之和( CD 加 CE )是前一段时间内乙、丙所走的路程之和( AC 加 5 5 BC , 即全程)的 , 所以 CD ? CE ? 490 ? ? 350 , CD ? CE ? DE ? 210 , 而 可得 CD ? 280 , 7 7 CE ? 70 . 相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的 280 ? 70 ? 4 倍,所以丙的速度是乙的速度的 4 倍,那么 乙的速度为 240 ? 4 ? 60 (米/分),即乙每分钟走 60 米.

AC ? 3.5 AD ,可见 CD ?

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当这一次丙与甲相遇后,三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同,只是甲、乙之间的距离

210 3 ? ,但三人的速度不变,可知运动过程中的比例关系都不改变,那么 490 7 3 3 当下一次甲、丙相遇时,甲、乙之间的距离也是此时距离的 ,为 210 ? ? 90 米. 7 7
改变了,变为原来的

【巩固】 (难度等级 ※※※)甲、乙两车同时从 A 地出发,不停地往返行驶于 A、B 两地之间.已知 甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地.甲车的速度是乙车 速度的多少倍? 【解析】 第一次相遇时两车合走了两个全程,而乙车走了 AC 这一段路;第二次相遇两车又合走了两个 全程,而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地,也就是 2 个 BC 段.由于两次的总行程相等, 所以每次乙车走的路程也相等,所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长.而从第一次相遇到第二次相 遇之间,甲车走了 2 个 AC 段,根据时间一定,速度比等于路程的比,甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC ?2 :1 ,所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍.

【例 4】 (难度等级 ※※※※)甲、乙两人同时从 A 地出发,在 A、 B 两地之间匀速往返行走,甲的 速度大于乙的速度,甲每次到达 A 地、B 地或遇到乙都会调头往回走,除此以外,两人在 A、 B 之间行走方向不会改变, 已知两人第一次相遇点距离 B 地 1800 米, 第三次相遇点距离 B 地 800 米,那么第二次相遇的地点距离 B 地多少米? 【解析】 设甲、乙两人的速度分别为 v1 、 v 2 ,全程为 s,第二次相遇的地点距离 B 地 x 米. 由于甲的速度大于乙的速度,所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的,这 时甲、乙合走了两个全程,第一次相遇的地点与 B 地的距离为 v1 ?

v ?v 2s ? s ? 1 2 s ,那么 v1 ? v2 v1 ? v2

第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为

v1 ? v2 ;两人第一次相遇后,甲调头向 B 地走, v1 ? v2

乙则继续向 B 地走,这样一个过程与第一次相遇前相似,只是这次的“全程”为第一次相遇的地 点到 B 地的距离,即 1800 米.根据上面的分析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次 相遇的地点到 B 地的距离的比为

v1 ? v2 ;类似分析可知,第三次相遇的地点到 B 地的距离与 v1 ? v2
800 x v1 ? v2 ? ;那么 ,得到 x ? 1200 ,故第二 x 1800 v1 ? v2

第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为 次相遇的地点距离 B 地 1200 米.

【例 5】 (难度等级 ※※※)每天早晨,小刚定时离家步行上学,张大爷也定时出家门散步,他们相向 而行,并且准时在途中相遇.有一天,小刚提早出门,因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇.已 知小刚步行速度是每分钟 70 米,张大爷步行速度是每分钟 40 米,那么这一天小刚比平时早 出门多少分钟?
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【解析】 比平时早 7 分钟相遇,那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的 路程,所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 (70 +40 )× =770 米,因此小刚比平时早 7 出门 770 ÷ =11 分钟. 70

模块二:时间相同速度比等于路程比
【例 6】 (难度等级 ※※※)A、 B 两地相距 7200 米,甲、乙分别从 A, B 两地同时出发,结果 在距 B 地 2400 米处相遇.如果乙的速度提高到原来的 3 倍,那么两人可提前 10 分钟相遇, 则甲的速度是每分钟行多少米? 【解析】 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米,根据时间一定,速度比等于路程之比,最初甲、乙的速度 比为 (7200 -2400) : 2400 =2 :1,所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3.乙的速度提高 3 倍 后,两人速度比为 2 : 3,根据时间一定,路程比等于速度之比,所以第二种情况中相遇时甲走了

3 3 ? .两种情况相比,甲的速度没有变化,只是第二种情况比第一种情况少走 10 分 3? 2 5 3 3 钟,所以甲的速度为 6000 ? ( ? ) ? 9 ? 150 (米/分). 5 8
全程的

【例 7】 (难度等级 ※※※)甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行,甲、乙的速度之比 是 4 : 3,二人相遇后继续行进,甲到达 B 地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回,已知二人第 二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米,则 A、 B 两地相距多少千米? 【解析】 两个人同时出发相向而行,相遇时时间相等,路程比等于速度之比,即两个人相遇时所走过的路 程比为 4 : 3.第一次相遇时甲走了全程的 4/7;第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程,三

4 5 5 4 2 ? 3 ? 1 个全程, 与第一次相遇地点的距离为 ? (1 ? ) ? 个全程. 所以 A、 7 7 7 7 7 2 B 两地相距 30 ? ? 105 (千米). 7
个全程中甲走了

【巩固】 (难度等级 ※※※)甲、乙两车分别从 A、B 两地出发,在 A、B 之间不断往返行驶,已知 甲车的速度是乙车的速度的

3 ,并且甲、乙两车第 2007 次相遇(这里特指面对面的相遇)的 7

地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米, 那么, B 两地之间的距离等于多少 千米? A、 【解析】 甲、乙速度之比是 3:7,所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份,这样一个全程中甲走 3 份, 第 2007 次相遇时甲总共走了 3×(2007× 2-1)=12039 份,第 2008 次相遇时甲总共走了 3× (2008× 2-1)=12045 份,所以总长为 120÷ [12045-12040-(12040-12039)]× 10=300 米. 【例 8】 (难度等级 ※※※※※)B 地在 A,C 两地之间.甲从 B 地到 A 地去送信,甲出发 10 分后, 乙从 B 地出发到 C 地去送另一封信,乙出发后 10 分,丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了, 于是他从 B 地出发骑车去追赶甲和乙,以便把信调过来.已知甲、乙的速度相等,丙的速度是 甲、乙速度的 3 倍,丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。 【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下:

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A

10分钟

10分钟

B
10分钟

C

因为丙的速度是甲、乙的 3 倍,分步讨论如下: (1) 若丙先去追及乙,因时间相同丙的速度是乙的 3 倍,比乙多走两倍乙走需要 10 分钟,所 以丙用时间为:10÷ (3-1)=5(分钟)此时拿上乙拿错的信

A

10分钟

10分钟

B
5分钟 10分钟 5分钟

C

当丙再回到 B 点用 5 分钟,此时甲已经距 B 地有 10+10+5+5=30(分钟) ,同理丙追 及时间为 30÷ (3-1)=15(分钟) ,此时给甲应该送的信,换回乙应该送的信 在给乙送信,此时乙已经距 B 地:10+5+5+15+15=50(分钟) , 此时追及乙需要:50÷ (3-1)=25(分钟) ,返回 B 地需要 25 分钟 所以共需要时间为 5+5+15+15+25+25=90(分钟) (2) 同理先追及甲需要时间为 120 分钟

【例 9】 (难度等级 ※※※※) 乙两人同时从 A、 B 两点出发, 甲、 甲每分钟行 80 米, 乙每分钟行 60 米,出发一段时间后,两人在距中点的 C 处相遇;如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟, 两人将在距中点的 D 处相遇,且中点距 C 、 D 距离相等,问 A、 B 两点相距多少米? 【解析】 甲、乙两人速度比为 80 : 60 ? 4 : 3 ,相遇的时候时间相等,路程比等于速度之比,相遇时甲走了

4 3 ,乙走了全程的 .第二次甲停留,乙没有停留,且前后两次相遇地点距离中点相等, 7 7 4 3 所以第二次乙行了全程的 ,甲行了全程的 .由于甲、乙速度比为 4 : 3,根据时间一定,路 7 7 4 3 3 1 3 3 程比等于速度之比,所以甲行走期间乙走了 ? ,所以甲停留期间乙行了 ? ? ? ,所以 7 7 4 4 7 4 1 A、B 两点的距离为 60 ? 7 ? ? 1680 (米). 4
全程的

【例 10】 (难度等级 ※※※※)甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发,相向而行.出发时,甲、乙 的速度之比是 5 : 4,相遇后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%.这样当甲到达 B 地时, 乙离 A 地还有 10 千米.那么 A、B 两地相距多少千米? 【解析】 两车相遇时甲走了全程的

5 4 ,乙走了全程的 ,之后甲的速度减少 20%,乙的速度增加 20%, 9 9

此时甲、乙的速度比为 5 ? (1? 20%) : 4 (1 20%) 5 : 6,所以甲到达 B 地时,乙又走了 ? ? ?

4 6 8 5 8 1 1 ? ? ,距离 A 地 ? ? ? 450 (千米). ,所以 A、 B 两地的距离为 10 ? 9 5 15 9 15 45 45

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【例 11】 (难度等级 ※※※※※)早晨,小张骑车从甲地出发去乙地.下午 1 点,小王开车也从甲地 出发,前往乙地.下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米.下午 3 点时,两人之间的距离还 是 l5 千米.下午 4 点时小王到达乙地,晚上 7 点小张到达乙地.小张是早晨几点出发? 【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块.下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米.下午 3 点时, 两人之间的距离还是 l5 千米,所以下午 2 点时小王距小张 15 千米,下午 3 点时小王超过小 张 15 千米,可知两人的速度差是每小时 30 千米.由下午 3 点开始计算,小王再有 1 小时就 可走完全程,在这 1 小时当中,小王比小张多走 30 千米,那小张 3 小时走了 15 30 45? ? 千 米,故小张的速度是 45 ÷ =15 千米/时,小王的速度是 15 +30 =45 千米/时.全程是 45 × =135 3 3 千米,小张走完全程用了 135 +15= 9 小时,所以他是上午 10 点出发的。

【例 12】 (难度等级 ※※※※※)从甲地到乙地,需先走一段下坡路,再走一段平路,最后再走一段上 坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时,其中第一小时 比第二小时多走 15 千米,第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每 小时慢 30 千米,走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米? 【解析】 ⑴ 由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确,所以需要先予以确定. 从甲地到乙地共用 3 小时,如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路,也就是说走上坡路的路 程不需要 1 小时,那么由于下坡路与上坡路距离相等,而下坡速度更快,所以下坡更用不了 1 小 时,这说明第一小时既走完了下坡路,又走了一段平路,而第二小时则是全在走平路.这样的话, 由于下坡速度大于平路速度,所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程,而这个 路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程(即第二小时走的路程)多走 15 千米, 所以这样的话第一 小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米,不合题意,所以假设不成立,即第三小 时全部在走上坡路. 如果第一小时全部在走下坡路,那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路,这样第二小时 走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程,而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的 少于 15 千米,也不合题意,所以假设也不成立,故第一小时已走完下坡路,还走了一段平路. 所以整个行程为:第一小时已走完下坡路,还走了一段平路;第二小时走完平路,还走了一段上 坡路;第三小时全部在走上坡路. ⑵ 由于第二小时比第三小时多走 25 千米,而走平路比走上坡路的速度快每小时 30 千米.所以第 二小时内用在走平路上的时间为 25 ? 30 ?
5 1 小时,其余的 小时在走上坡路; 6 6

因为第一小时比第二小时多走了 15 千米, 而

1 1 小时的下坡路比上坡路要多走 ? 30 ? 15? ? ? 7.5 千 6 6

1 米,那么第一小时余下的下坡路所用的时间为 ?15 ? 7.5? ? 15 ? 小时,所以在第一小时中,有 2

1 1 1 2 ? ? 小时是在下坡路上走的,剩余的 小时是在平路上走的. 2 6 3 3
因此,陈明走下坡路用了

2 1 5 7 1 7 小时,走平路用了 ? ? 小时,走上坡路用了 1 ? ? 小时. 3 6 6 6 6 3

2 7 ⑶ 因为下坡路与上坡路的距离相等,所以上坡路与下坡路的速度比是 : ? 4 : 7 .那么下坡路的 3 6

速度为 ? 30 ? 15? ?

7 ? 105 千米/时,平路的速度是每小时 105 ? 15 ? 90 千米,上坡路的速度是每 7?4

小时 90 ? 30 ? 60 千米.
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2 7 7 那么甲、乙两地相距 105 ? ? 90 ? ? 60 ? ? 245 (千米). 3 6 6

模块三:路程相同速度比等于时间的反比
【例 13】 (难度等级 ※※※)在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两 人相遇,再过 4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?

【解析】 由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.(抓住走同一段路程时间或速度的比例关系) 从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12 分相当于甲行 8 分,所以 甲环行一周需 12+8=20(分) ,乙需 20÷ 6=30(分). 4×

【例 14】 (难度等级 ※※※)上午 8 点整,甲从 A 地出发匀速去 B 地,8 点 20 分甲与从 B 地出 发匀速去 A 地的乙相遇;相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍,乙速度不变;8 点 30 分,甲、 乙两人同时到达各自的目的地.那么,乙从 B 地出发时是 8 点几分. 【解析】 甲、 乙相遇时甲走了 20 分钟, 之后甲的速度提高到原来的 3 倍, 又走了 10 分钟到达目的地, 根据路程一定,时间比等于速度的反比,如果甲没提速,那么后面的路甲需要走 10×3= 30 分钟, 所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3, 由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟, 所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟,也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟,所以乙从 B 地出发时 是 8 点 5 分.

【例 15】 (难度等级 ※※※)小芳从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路, 一半下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的 1.6 倍,那么 上坡的速度是平路速度的多少倍? 【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2,那么走一半平路所需时间是 1.由于下坡路与一半平路的长度相

5 ,因此,走上坡路 8 11 5 11 ? 8 :11 , 需要的时间是 2 ? ? , 那么, 上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比, 1: 为 8 8 8 8 所以,上坡速度是平路速度的 倍. 11
同,根据路程一定,时间比等于速度的反比,走下坡路所需时间是 1 ? 1.6 ? 【例 16】 (难度等级 ※※※※)一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的

3 前进,最 4

终到达目的地晚 1.5 小时.若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样 以原速的

3 前进,则到达目的地仅晚 1 小时,那么整个路程为多少公里? 4
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3-1.比例解行程问题.题库

【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时,然后以原速的 所以后面以原速的

3 前进,最终到达目的地晚 1.5 小时, 4

3 前进的时间比原定时间多用 1.5 ? 0.5 ? 1 小时, 4 3 4 而速度为原来的 ,所用时间为原来的 , 4 3 4 所以后面的一段路程原定时间为 1 ? ( ? 1) ? 3 小时,原定全程为 4 小时; 3 3 出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时,然后同样以原速的 前进,则到达目的地 4 3 仅晚 1 小时,所以后面以原速的 前进的时间比原定时间多用 1 ? 0.5 ? 0.5 小时 4 4 所以后面的一段路程原定时间为 0.5 ? ( ? 1) ? 1.5 小时, 3 类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要: 3 ? 1.5 ? 1.5 小时 而原定全程为 4 小时,所以整个路程为 90 ? 1.5 ? 4 ? 240 公里.
【例 17】 (难度等级 ※※※※)王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了 1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高 1/6, 于是提前 1 小时 40 分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米? 【解析】 从开始出发,车速即比原计划的速度提高了 1/9,即车速为原计划的 10/9,则所用时间为原计划 的 1÷ 10/9=9/10,即比原计划少用 1/10 的时间,所以一个半小时等于原计划时间的 1/10,原计划 时间为:1.5÷ 1/10=15(小时);按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高 1/6,即此后车速为 原来的 7/6,则此后所用时间为原计划的 1÷ 7/6=6/7,即此后比原计划少用 1/7 的时间,所以 1 小 时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7,则按原计划的速度行驶 280 千 米后余下的时间为: 5/3÷ 1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:84 × 15= 1260(千米).

【巩固】 (难度等级 ※※※※)一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高 20%可以提前 1 小时到达.如 果按原速行驶一段距离后,再将速度提高 30% ,也可以提前 1 小时到达,那么按原速行驶了 全部路程的几分之几? 【解析】 车速提高 20%, 即为原速度的 6/5, 那么所用时间为原来的 5/6, 所以原定时间为 1 ? (1 ? ) ? 6 小 时;如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ,此时速度为原速度的 13/10,所用时间为原来的 10/13,所以按原速度后面这段路程需要的时间为 1 ? (1 ? 的时间为 6 ? 4

5 6

10 1 ) ? 4 小时.所以前面按原速度行使 13 3

1 5 ? 小时,根据速度一定,路程比等于时间之比,按原速行驶了全部路程的 3 3

5 5 ?6 ? 3 18

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模块四、比例综合题
【例 18】 (难度等级 ※※※)甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地,经过 3 小时,甲先到 B 地,乙 还需要 1 小时到达 B 地,此时甲、乙共行了 35 千米.求 A, B 两地间的距离. 【解析】 甲、乙两个人同时从 A 地到 B 地,所经过的路程是固定 所需要的时间为:甲 3 个小时,乙 4 个小时(3+1) 两个人速度比为:甲:乙=4:3 当两个人在相同时间内共行 35 千米时,相当与甲走 4 份,已走 3 份, 所以甲走:35÷ (4+3)× 4=20(千米) ,所以,A、B 两地间距离为 20 千米 【例 19】 (难度等级 ※※※※)甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的 下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍,而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时,甲与乙在离 山顶 600 米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时? 【解析】 甲如果用下山速度上山,乙到达山顶时,甲恰好到半山腰, 说明甲走过的路程应该是一个单程的 1× 1.5+1/2=2 倍, 就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时,这时甲还要走一段下山路,这段下山路乙上山用了 1 小时,所以甲下 山要用 1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5(小时)

课后练习

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