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3.2 简单的三角恒等变换(二) y sin ?A x ?? a xsin( ? b cos x) 1.通过三角恒等变形,形如 a sin x ? b cos x 的函数转 化为的 y ? A sin( x ? ? ) 函数; 2.灵活利用公式,通过三角恒等变形,解决函数的最 值、周期、单调性等问题; 3.灵活运用三角公式解决一些实际问题. 复习巩固 cos ? cos ? ? sin ? sin ? = cos(? ? ? ) cos ? cos ? ? sin ? sin ? = cos(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? = sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos ? sin ? = sin(? ? ? ) 你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗? 3 1 (1) sin ? ? cos ? ; 2 2 ? cos ? 6 sin ? ? sin ? cos ? ? sin(? ? ); 6 6 ? (2)sin ? ? cos ? ; 2 2 ? ? ? 2( sin ? ? cos ? ) ? 2(cos sin ? ? sin cos ? ) 2 2 4 4 (3)a sin x ? b cos x ? 2 sin(? ? ); 4 ? a sin x ? b cos x的变形及应用 (3)a sin x ? b cos x能化成一个角的三角函数值吗? 令 cos ? ? a 2 2 a ?b a 2 ? b2 a sin x ? b cos x a b 2 2 ? a ?b ( sin x ? cos x) 2 2 2 2 a ?b a ?b ? a 2 ? b 2 ? cos ? sin x ? sin ? cos x ? ? a 2 ? b 2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? . (或 ? a 2 ? b 2 cos ? x ? ? ?) ,sin ? ? b 例1.求函数 y ? sin x ? 3cos x 的周期,最大值和最小值. 分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简, 再求相应的值. 解:y ? sin x ? 3 cos x 1 3 ? 2( sin x ? cos x) 2 2 ? ? ? 2(sin x cos ? cos x sin ) 3 3 ? 2sin( x ? ). 3 ?周期T ? 2?,最大值为2,最小值为-2. ? 通过三角变换,我们把形如 y ? a sin x ? b cos x 的函数 转化为形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数,从而使问题得到 简化. 例2 已知函数f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x, 求f ( x)的单调 增区间. 解:f ( x) ? cos 2 x+ 1 ? cos 2 x 3 1 ? cos 2 x ? . 2 2 2 当2k? ? ? ? 2 x ? 2k? , k ? Z时,f ( x)为增函数, 即k? ? ? 2 ? x ? k? , k ? Z . ? ? ? ?函数f ( x)的单调增区间为 ?k? ? , k? ? (k ? Z ). 2 ? ? 三角变换在化简,证明中的应用. 例3 cos10 化简 tan10 ? 3 ? . sin 50 ? sin10 ? cos10 解:原式 ? ? ? 3??

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