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高中数学竞赛解题方法篇(不等式)


高中数学竞赛中不等式的解法
摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并 挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛数学中的热门题型.在解决 竞赛数学中的不等式问题的过程中,常常要用到几

个著名的代数不等式:排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、 切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.

1.排序不等式 定理 1 设 a1 ? a 2 ? ... ? a n , b1 ? b 2 ? ... ? b n ,则有

a1b n ? a 2 b n ?1 ? ... ? a n b1 (倒序积和)
? a1b r ? a 2 b r ? ... ? a n b r (乱序积和) 1 2 n

? a1b1 ? a 2 b 2 ? ... ? a n b n (顺序积和)
其中 r1, r2 , ..., rn 是实数组 b1, b 2 , ..., b n 一个排列, 等式当且仅当 a1 ? a 2 ? ... ? a n 或 b1 ? b 2 ? ... ? b n 时成立. (说明: 本不等式称排序不等式,俗称倒序积和 乱序积和 顺序积和.)

证明:考察右边不等式,并记 S ? a1b r ? a 2 b r ? ... ? a n b r 。
1 2 n

不等式

S ? a1b r ? a 2 b r ? ... ? a n b r 的 意 义 : 当 r1 ? 1, r2 ? 2, ..., rn ? n 时 , S 达 到 最 大 值 1 2 n

a1b1 ? a 2 b 2 ? ... ? a n b n .因此,首先证明 a n 必须和 b n 搭配,才能使 S 达到最大值.也即,设 rn ? n 且 b n 和某个 a k ( k ? n ) 搭配时有
a k bn ? a n br ? a k br ? a n bn .
n n

(1-1)

事实上,

a n b n ? a k b r ? ( a k b n ? a n b r ) ? ( b n ? b r )( a n ? a k ) ? 0
n n n

不等式(1-1)告诉我们当 rn ? n 时,调换 b n 和 b r 的位置(其余 n-2 项不变) ,会使和 S 增加.同理,调整好 a n
n

第 1 页 共 16 页

和 b n 后,再调整 a n ? 1 和 b n ? 1 会使和增加.经过 n 次调整后,和 S 达到最大值 a1b1 ? a 2 b 2 ? ... ? a n b n ,这就证明了

a1b r ? a 2 b r ? ... ? a n b r
1 2

n

? a1b1 ? a 2 b 2 ? ... ? a n b n .

再证不等式左端, 由 a1 ? a 2 ? ... ? a n , ? b n ? ? b n ?1 ? ... ? ? b1 及已证明的不等式右端, 得

? ( a1b n ? a 2 b n ?1 ? ... ? a n b1 ) ? ? ( a1b r1 ? a 2 b r2 ? ... ? a n b rn )


a1b n ? a 2 b n ?1 ? ... ? a n b1 ? a1b r ? a 2 b r ? ... ? a n b r
1 2

.

n

a?b?c

例 1 (美国第 3 届中学生数学竞赛题)设 a,b,c 是正数,求证: a b c ? ( a b c )
a b c

3

.

思路分析:考虑两边取常用对数,再利用排序不等式证明. 证明:不妨设 a ? b ? c ,则有 lg a ? lg b ? lg c 根据排序不等式有:

a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg c ? b lg a ? c lg b
以上两式相加,两边再分别加上 有 即

a l g a? b l g b ?

clgc

3( a lg a ? b lg b ? c lg c ) ? ( a ? b ? c )(lg c ? lg a ? lg b )
lg a b c ?
a b c

a?b?c 3

lg a b c
.

a?b?c



a b c ? (abc )
a b c

3

例 2 设 a,b,c ? R ,求证: a ? b ? c ?

?

a ?b
2

2

?

b ?c
2

2

?

c ?a
2

2

?

a

3

?

b

3

?

c

3

.

2c

2a

2b

bc

ca

ab

思路分析:中间式子每项都是两个式子之和,将它们拆开,再用排序不等式证明.

第 2 页 共 16 页

证明:不妨设 a ? b ? c ,则 a ? b ? c 且
2 2 2

1 c

?

1 b

?

1 a

根据排序不等式,有
2 2 2

a

?

b

?

c

? a

2

1 a 1 a

?b

2

1 b 1 b

?c

2

1 c 1 c

c a
2

a b
2

b c
2

?

?

? a

2

?b

2

?c

2

b
两式相加除以 2,得

c

a

a?b?c?
1 bc
利用排序不等式,
3 3

a ?b
2

2

?
1

b ?c
2

2

?

c ?a
2

2

2c
再考虑 a ? b ? c ,并且
3 3 3

2a

2b

?

1 ca

?

ab

a

?

b

?

c

3

? a

3

1 ca 1 ab

?b

3

1 ab 1 bc

?c

3

1 bc 1 ac

bc a
3

ca b
3

ab c
3

?

?

? a

3

?b

3

?c

3

bc
两式相加并除以 2,即得

ca

ab

a ?b
2

2

?

b ?c
2

2

?

c ?a
2

2

?

a

3

?

b

3

?

c

3

2c
综上所述,原不等式得证.

2a

2b

bc

ca

ab

例 3 设 0 ? a1 ? a 2 ? ... ? a n , 0 ? b1 ? b 2 ? ... ? b n ,而 i1, i 2 , ..., i n 与 j1, j 2 , ..., j n 是 1, 2, ..., n 的两个排列.
n n

求证:

??

ai b j
r

s

r ?1 s ?1

r?s

?

??

n

n

a r bs r?s

.

(1-2)

r ?1 s ?1

思路分析:已知条件中有两组有序实数,而式(1-2)具有“积和”形式,考虑使用排序不等式.
n

证明:令 d r ?

?

bj

s

s ?1

r?s

(r= 1, 2, ..., n )

第 3 页 共 16 页

显然

d 1 ? d 2 ? ... ? d n
1 r?n 1 r ? ( n ? 1) 1 r ?1

因为

b1 ? b 2 ? ... ? b n , 且

?

? ... ?

由排序不等式

?

n

bs r?s

? dr

s ?1

又因为
n

a1 ? a 2 ? ... ? a n

所以

?a
r ?1

d ? r r

?a
r ?1

n

ir

d r 且 ? ar ?
r ?1

n

n

bs r?s
n

?

s ?1

?a
r ?1
s

n

r

d r (注意到 a r ? 0)



??
?

n

n

ai b j
r

s

r ?1 s ?1

r?s

?

?a ?
ir r ?1

n

bj

s ?1

r?s

?

?a
r ?1
n

n

ir

dr

?

n

ar d r ?

r ?1

?

n

r ?1

ar ?

n

bs r?s

?

s ?1

??

n

a r bs r?s

r ?1 s ?1



原式得证.

2.均值不等式 定理 2 其中, 设 a1 , a 2 , ..., a n 是 n 个正数,则 H ( n ) ? G ( n ) ? A ( n ) ? Q ( n ) 称为均值不等式.

H (n ) ?

1 1 a1 ? 1 a2 ? ... ? 1 an



G (n) ?
A(n) ?

n

a1 a 2 ...a n ,

2

a 1 ? a 2 ? ... ? a n n

Q (n) ?

a 1 ? a 2 ? ... ? a n
2 2

n
分别称为 a1 , a 2 , ..., a n 的调和平均数,几何平均数,算术平均数,均方根平均数. 证明: 先证 G ( n ) ? A ( n ) .

第 4 页 共 16 页

记 则

c ?

n

a 1 a 2 ...a n ,令

bi ?

ai c



原不等式 ? b1 ? b 2 ? ... ? b n ? n

其中

b1 b 2 ...b n ?

1 cn

( a 1 a 2 ...a n ) ? 1

取 x1 , x 2 , ..., x n 使 b1 ?

x1 x2

, b2 ?

x2 x3

, ..., b n ? 1 ?

x n ?1 xn

, 则 bn ?

xn x1

.

由排序不等式,易证

b1 ? b 2 ? ... ? b n ?

x1 x2

? ... ?

x n ?1 xn

?

xn x1

? n

下证 因为

A( n)? Q ( n)
a1 ? a 2 ? ... ? a n ?
2 2 2

1 n

[( a 1 ? a 2 ? ... ? a n ) ? ( a1 ? a 2 ) ? ( a1 ? a 3 ) ? ... ? ( a1 ? a n )
2

2

2

2

? ( a 2 ? a 3 ) ? ( a 2 ? a 4 ) ? ... ? ( a 2 ? a n ) ? ... ? ( a n ?1 ? a n ) ]
2 2 2 2

?

1 n

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )

2

所以

a 1 ? a 2 . .? . n ? a n

?

a ?1 a ?
2 2

2

? an. . .
.

2

n

从上述证明知道,当且仅当 a1 ? a 2 ? ... ? a n 时,不等式取等号. 下面证明 H ( n ) ? G ( n )

对 n 个正数

1

,

1

, ...,

1 an

,应用 G ( n ) ? H ( n ) ,得

a1 a 2

1 a1

?

1 a2

? ... ? n

1 an ? 1 1
n

...

1 an

a1 a 2



H ( n ) ? G ( n (等号成立的条件是显然的). )

例 4 已知 0 ? a ? 1, x ? y
2

2

? 0 ,求证: lo g a ( a ? a ) ? lo g a 2 ?
x y

1 8

.

证明:由于 0 ? a ? 1 , a

x

? 0, a ? 0 ,
y

第 5 页 共 16 页

有 从而 下证

a ?a ? 2 a a
x y x

y

? 2 a

x? y

log a ? a ( a
x

y

? )

l o g (a2 a a 1 4
2

x

y

? )

a

x? y log 2 ? 2

x? y 2

?

1 8

, 即 x? y ?



又因为 所以

x ? y ? x ? x ? ?(x ? l o a ga ? a (
x

1 2
y

)? ?

1 4

? )a

1 4

,等号在 x=

1 2

(这时 y=

1 4

)时取得

1 ? o .g l 8

2

例 5(IMO)设 a,b,c 是正实数,且满足 abc=1. 证明: ( a ? 1 ? 证明:令 a ?

1 b y x

)( b ? 1 ? ,b ? y z

1 c

)( c ? 1 ? z x

1 a

)?1

,c ?

,其中 x,y,z 是正实数,将原不等式变形为 (2-1)

( x ? y ? z )( y ? z ? x )( z ? x ? y ) ? xyz
记 u ? x ? y ? z, v ? y ? z ? x, w ? z ? x ? y , 注意到 u,v,w 任意两个之和是一个正数,所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数,那么 uvw ? 0 ? xyz , (2-1)式成立. 如果这三个数都大于 0,由算术—几何平均不等式

uv ?
同理可证, 于是 即

1 2

(x ? y ? z ? y ? z ? x) ? x

vw ? y , uv vw

wu ? z
w u ? xyz

uvw ? xyz , (2-1)式得证.

例 6 已知 a1 , a 2 , ..., a n ? 0 ,且 a1 ? a 2 ? ... ? a n ? 1 .

求证:

a1 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n

?

a2 1 ? a 1 ? a 3 ? ... ? a n

?

an 1 ? a 1 ? a 2 ? ... ? a n ? 1

?

n 2n ? 1

.

第 6 页 共 16 页

思路分析:左边各项形式较复杂,首先将其化简为

?

n

ai 2 ? ai

?

i ?1

? (2 ? a
i ?1

n

2

? 1) .
i

左边为和的形式,但其各项之和难与右边联系,利用算术平均大于几何平均难以求证,而左边各项

2 2 ? ai

可看为倒

数形式,尝试用调和平均. 证明:不等式左边化为
n

?


ai 2 ? ai

?

i ?1

? (2 ? a
i ?1

n

2

? 1) ,
i

2

2 ? a1 2 ? a 2

,

2

, ...,

2 2 ? an
n

,利用 A ( n ) ? H ( n ) 有

1

? n

ai 2 ? ai

?

n

i ?1

?
n
2 n

n

2 ? ai 2
n
2

i ?1



?

n

2 ? ai 2

? n?

i ?1

1

?
i

?a 2
i ?1

n?

1 2

?

2n

2

2n ? 1

所以

?

n

ai 2 ? ai

?

i ?1

?

n

(

2 2 ? ai

? 1) ?

i ?1

?

n

2 ? ai 2

?n?

2n

2

i ?1

2n ? 1

?n ?

n 2n ? 1

.

3.柯西不等式
n n n

定理3

设 a i , b i ? R (i=1,2,…n),恒有不等式

?

i ?1

a i .? b i ? ( ? a i b i ) ,当且仅当
2 2 2 i ?1 i ?1

b1 a1

?

b2 a2

? ... ?

bn an

时,

等式成立. 构造二次函数证明 当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 0 或 b1 ? b 2 ? ? b n ? 0 时,不等式显然成立

第 7 页 共 16 页

令A ?

?a
i ?1

n

2 i

B ?

?ab
i i ?1

n

i

C ?

?b
i ?1

n

2 i

,当 a 1 , a 2 , ? , a n 中至少有一个不为零时,可知 A>0

构造二次函数 f ? x ? ? Ax

2

? 2 Bx

2

?C, 展开得: f ? x ? ?

? ?a
n i ?1

2 i

x ? 2 a i bi x ? bi
2

2

? ? ? ?a x ? b ?
n i i i ?1

2

?0 故

f ? x ? 的判别式 ? ? 4 B ? 4 AC ? 0
2

移项得 AC ? B ,得证。
2

向量法证明 令 ? ? ? a 1 , a 2 , ? , a n ?, ? ? ?b1 , b 2 , ? , b n ?

?

?

? ? . 则 对 向 量 ?,?



? ??
?

?

?

? ??
2

? ? ? ? cos ? , ? ? 1 , 由

?

?

? ? ? ? a 1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n , ?

?

?

?

2

?

?a
i ?1

n

2 i

, ?

?

2

?

?b
i ?1

n

2 i

n ? n ? ? n 2 ?? 2 ? ,得 ? ? a i b i ? ? ? ? a i ? ? ? b i ? . 当且仅 ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?

当 cos ? , ? ? 1 ,即 ? , ? 平行时等号成立。 数学归纳法证明 i ) 当 n=1时,有 ? a 1 b1 ? ? a 1 b 2 ,不等式成立。
2 2 2

?? ?

?

? ?

当 n=2时, ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? 2 a 1b1 a 2 b 2
2 2 2 2 2

?a
2 2

2 1

? a2
2 2

2

??b

2

1

? b2

2

?? a

2 1

b1 ? a 2 b 2 ? a 1 b 2 ? a 2 b1
2

2

2

2

2

2

2

2

因为 a 1 b 2 ? a 2 b1 ? 2 a 1 b1 a 2 b 2 ,故有 ? a 1b1 ? a 2 b 2 ? ? a 1 ? a 2
2

?

2

??b

2

1

? b2

2

?

当且仅当 a 1 b 2 ? a 2 b1 ,即

a1 b1

?

a2 b2

时等号成立。

ii)假设 n=k 时不等式成立,即

? a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ?2
当且仅当

? a1 ? a 2 ? ? ? a k
时等号成立。

?

2

2

2

??b

2

1

? b2 ? ? ? bk

2

2

?

a1 b1

?

a2 b2

?? ?

ak bk

那么当 n=k+1时,

? a 1b1 ? a 2 b 2

? ? ? a k b k ? a k ? 1b k ? 1 ?
2

2

? ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? ? 2 a k ? 1 b k ? 1 ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? ? a k ? 1 b k ? 1
2

2

第 8 页 共 16 页

? ? ?a ? ?a

? a1 ? a 2 ? ? ? a k
2 1 2 1

2

2

2

? a2 ? ? ? ak
2

2

2

? a 2 ? ? ? a k ?1
2

??b ? b ? ? ? b ? ? 2 a ??b ? b ? ? ? b ? ? a b ??b ? b ? ? ? b ?
2 2 2 1 2 k 2 2 2 2 1 2 k 1 2 2 2 2 1 2 k ?1

k ?1

b k ? 1 ? a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a k b k ? ? a k ? 1 b k ? 1
2 2 2 2 2 2 2 2

2

k ?1

? b1 a k ? 1 ? ? ? a k b k ? 1 ? b k a k ? 1 ? a k ? 1 b k ? 1

2

2

? a1 ? a 2 ? ? ? a n

?

2

2

??b

2

1

? b2 ? ? ? bn

2

2

?

当且仅当 a 1b k ? 1 ? b1 a k ? 1 , a 2 b k ? 1 ? b 2 a k ? 1 , ? , a k b k ? 1 ? b k a k ? 1 时等号成立,



a1 b1

?

a2 b2

?? ?

ak bk

?

a k ?1 b k ?1

时等号成立。

于是 n=k+1时不等式成立。 由 i ) ii)可得对于任意的自然数 n,柯西不等式成立。 利用恒等式证明 先用数学归纳法证明如下恒等式,然后证明柯西不等式:对于两组实数 a 1 , a 2 , ? , a n ; b1 , b 2 , ? , b n 有柯西—拉 格朗日恒等式

?a

2 1

? a2 ? ? ? an
2

2

2

??b

2

1

? b2 ? ? ? bn
2

2

2

? ? ?a b

1 1

? a 2b2 ? ? ? a n bn ?
2

2

? ? a 1 b 2 ? a 2 b1 ? ? ? a 1 b 3 ? a 3 b1 ? ? ? ? ? a 1 b n ? a n b1 ? ?

? a 2 b3 ? a 3 b 2 ?2
由实数性质 ?
2

? ? ? ? a 2 b n ? a n b 2 ? ? ? ? ? a n ?1b n ? a n b n ?1 ?
2

2

? 0 ?? ? R ? 可得柯西不等式成立。

以上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明 快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以,若将此定理作进一步剖析,归纳它的各类变形,将会有更多收获。

柯西不等式的推广 命题1
n n

若级数

?

i ?1

a i 与 ? bi
2 i ?1

2

? n ? 收敛,则有不等式 ? ? a i b i ? ? ? i ?1 ?
2

2

?

n

ai

2

i ?1

?b
i ?1

n

2 i



证明:?

? a ,?
2 i i ?1

n

n

i ?1

n ? n ? ? n 2 ?? 2 ? b 收敛, 0 ? ? ? a i b i ? ? ? ? a i ? ? ? b i ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?
2 i

第 9 页 共 16 页

?

?

n

i ?1

n n n ? ? 2 2 a i b i 收敛,且 ? lim ? a i b i ? ? lim ? a i lim ? b i n? ? n? ? n? ? i ?1 i ?1 i ?1 ? ?
2

2

? n ? 从而有不等式 ? ? a i b i ? ? ? i ?1 ?
命题2[3]
n n

?a ?b
2 i i ?1 i ?1

n

n

2 i

成立。

若级数

?

i ?1

a i 与 ? bi
2 i ?1

2

? n ? 收敛, 且对 ? n ? N 有 ? ? a i b i ? ? ? i ?1 ?
2

2

?
2

n

ai

2

i ?1

?b
i ?1

n

2 i

, 则对定义在 ?a , b ? 上的任意连续函数

b f ? x ?, g ? x ? 有不等式 ? ? f ? x ? g ? x ?dx ? ? ? ? ? a ?

?

b

f

2

a

? x ?dx ?

b

g

a

? x ?dx
2

证明:因为函数 f ? x ?, g ? x ? 在区间 ?a , b ? 上连续,所以函数 f ? x ?与 g ? x ?、 f

? x ?、 g 2 ? x ? 在 ?a , b ? 上可积,将

?a , b ? 区间 n 等分,取每个小区间的左端点为 ? i ,由定积分的定义得:

? ?

b

a

f ? x ?dx ? lim
2

n? ?

? f ?? ?? x , ? g ? x ?dx
b i i ?1 a

n

? lim

n? ?

? g ?? ?? x
i i ?1 n? ?

n

b

f

a

? x ?dx

? lim

n? ?

?

n

f

2

i ?1

?? i ?? x , ?

b

g

2

a

? x ?dx
n 2

? lim

? g ?? ?? x
2 i i ?1

n

令 a1 ? f

2

2

?? 1 ?, b1 2

? g
2

2

?? 1 ? ,则 ?
2

n

i ?1

a i 与 ? b i 收敛,由柯西不等式得
2 i ?1

? n ? ? n ? ? f ?? i ? g ?? i ?? x ? ? ? ? f ? i ?1 ? ? i ?1
n 2

?? n ? ?? i ?? x ? ? ? g 2 ?? i ?? x ? , ? ? i ?1 ?
n 2

从而有不等式

? ? ? ? lim ? f ?? i ? g ?? i ?? x ? ? ? lim ? f n? ? i ?1 ? ? ? n ? ? i ?1
? b f ? x ? g ? x ?dx ? ? ?? ? ? a ?
赫尔德不等式[4]
2

?? i ?? x ? ? lim ? n? ?
??


??

n

g

2

?? i ?? x ?
?

?

i ?1

?

b

f

2

a

? x ?dx ?

b

g

2

a

? x ?dx

1

1

设 a 1 ? 0 , b1 ? 0 , ( i ? 1, 2 , ? , n ), p ? 0 , q ? 0 , 满足
p

1 p

?

1 q

? 1, 则: ?

n

i ?1

n p q ? n p ? ? q ? a i b i ? ? ? a i ? ? ? b i ? ,等号 ? i ?1 ? ? i ?1 ?

成立的充分必要条件是 a i

? ? bi

q

?i ? 1, 2 , ? , n ; ?

? 0 ?.
1 p 1 q

证明:首先证明

1 p

?

1 q

? 1 时,对任何正数 A 及 B,有

A ?
p

B

q

? AB .

第 10 页 共 16 页

对凹函数 f ? x ? ? ln x , 有:

? 1 P 1 q? 1 1 1 P 1 q p q ln ? A ? B ?? ln A ? ln B ? ln AB ? A ? B ? AB . ? ? q p q p q ? p ?
令 A ?
n

ak
1

,B ?
n

bk
1

, 代 入 以 上 不 等 式 并 对 于 k ? 1, 2 , ? , n , 把 这 n 个 不 等 式 相

? p ? ? ? ai ? ? i ?1 ?

p

? q ? ? ? bi ? ? i ?1 ?

q

加.

?

n

a k bk
1 1 n p q ? n p ? ? q ? ? ? a i ? ? ? bi ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?
1

k ?1

? ? 1 ??? ? p k ?1 ? ?
n
1

ak
n

p

?
p i

1 q

bk
n

q

?a
i ?1

?b
i ?1

q i

? ? ? ? 1 ? 1 ? 1, 即 ? p q ? ?
p q

?

n

i ?1

n p q ? n p ? ? q ? a i b i ? ? ? a i ? ? ? b i ? 成立。等号成立的充分必要条件是: ? i ?1 ? ? i ?1 ?

ai
n

?
p i

bi
n

,即
q i

?a
i ?1

?b
i ?1

例 7 设 x1 , x 2 , ..., x n ? R ,求证:

?

x1

2

?

x2

2

? ... ?

x n ?1 xn

2

?

xn

2

x2

x3

x1

? x1 ? x 2 ? ... ? x n .

思路分析:注意到式子中的倒数关系,考虑运用柯西不等式来证明. 证明:因为 x1 , x 2 , ..., x n ? 0,故由柯西不等式,得

( x 2 ? x 3 ? ... ? x n ? x1 )( ? ( x2 . x1 x2 ? x2

x1

2

?

x2

2

? ... ?

x n ?1 xn

2

? ?

xn

2

) xn x1
2

x2

x3 ? ... ? xn .

x1 x1 . )

x3 .

x n ?1 xn

x3
2

? ( x 2 ? x 3 ? ... ? x n ? x1 )

所以

x1

2

?

x2

2

? ... ?

x n ?1 xn

2

?

xn

2

x2

x3

x1

? x1 ? x 2 ? ... ? x n .

例 8 已知实数 a , b , c , d ,e 满足 a ? b ? c ? d ? e ? 8, a ? b ? c ? d
2 2 2

2

? e ? 16 ,求 e 的取值范围.
2

思路分析:由 a ? b ? c ? d
2 2 2

2

? e 联想到应用柯西不等式.
2

解:因为

4 a ? b ? c ? (
2 2 2

d)

2

? ( 1 ? 1 ? 1 ? a1 ) (? b
2 2

c?
2

d?

2

)

? (a ? b ? c ? d ) ,
2

第 11 页 共 16 页



4 (1 6 ? e ) ? (8 ? e ) ,
2 2

64 ? 4e ? 64 ? 16e ? e
2

2

即 故

5 e ? 1 6 e ? 0 ,所以
2

e( e ? 5

1? 6 , )

0

0?e?

6 5

.

评述:此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值,十分典型,它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.

例 9 x1 , x 2 , x 3 ? R 满足 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 ,求
2 2 2

?

x1 1 ? x1 x2
2

?

x2 1 ? x2 x3 1 ? x3
2 2

?

x3 1 ? x3
2

的最小值.

解:容易猜到 x1 ? x 2 ? x 3 ?

1 3

时,

x1 1 ? x1
2

?

1 ? x2

2

?

取最小值

3 3 2

.

为了证明这一点,利用柯西不等式,得
3

? 1 ? x .?
2 i ?1 i

xi

3

x i (1 ? x i ) ?
3 2

i ?1

?

3

xi ? 1 ,
2

i ?1

只需要证明

?

3

x i (1 ? x i ) ?
3 2

2 3 3

i ?1

等价于

2 3 3

?

?

3

xi ?
5

i ?1

?

3

xi

3

(3-1)

i ?1

由几何—算术平均不等式,得
2 2 2

2 x1

3 3 2 x2
2

? x1 ? 3 3 (
5

x1

)(

x1

3 3 x2
2

3 3 x2
2

) x1 ? x1 ,
5 3

同理可证,

3 3 2 x3
2

? x2 ? 3 (
5 3

)(

3 3 x3
2

3 3 x3
2

) x2 ? x2 ,
5 3

3 3

? x3 ? 3 3 (
5

)(

3 3

3 3

) x3 ? x3 ,
5 3

以上三式相加, (3-1)式得证,进而证得

x1 1 ? x1
2

?

x2 1 ? x2
2

?

x3 1 ? x3
2

的最小值是

3 3 2

,当且仅当 x1 ? x 2 ? x 3 ?

1 3

时。

第 12 页 共 16 页

评述:柯西不等式中的
3

?ab
i

i

的项 a i b i 如何拆成两个因式 a i 和 b i 的积,可以说是应用此不等式的主要技巧(上例
3

?

x i (1 ? x i ) ?
3 2

2 3 3

,我们将

i ?1

?

x i 中的 x i 表示为
2
2

xi 1 ? xi
2



x i (1 ? x i ) 的积) ,正因为 a i b i 可以按照我
3 2

i ?1

们的需要加以分解,柯西不等式的应用更为广泛.

例 10 试 问 : 当 且 仅 当 实 数 x 0 , x1 , ..., x n ( n ? 2) 满 足 什 么 条 件 是 , 存 在 实 数 y 0 , y 1 , ..., y n 使 得

z 0 ? z 1 ? z 2? ... ? z n 成立,其中 z k ? x k ? iy k ,i 为虚数单位,k=0,1,…,n. 证明你的结论.(高中联赛,1997)
2 2 2 2

思路分析:将 z 0 ? z 1 ? z 2 ? ... ? z n 成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点,结合柯西不等式寻找
2 2 2 2

x i ( i ? 1, 2 , . . . , 的范围. n )
解:将 z 0 ? z1 ? z 2 ? ... ? z n 转化到实数范围内,即
2 2 2 2

n ? n 2 2 2 2 xk ? x0 ? ? y k ? y 0 , ?? ? k ?1 k ?1 ? n ? ? xk y k ? x0 y0 ? k ?1 ?

(3-2)

若存在实数 y 0 , y 1 , ..., y n 使(3-2)成立,则 x 0 y 0 ? (
2 2

?

n

xk yk ) .
2

k ?1

由柯西不等式可得

x 0 y 0 ? ( ? x k )( ? y k )
2 2 2 2 k ?1 k ?1

n

n

(3-3)

如果 x 0 ?
2

?

n

x k ,由(3-2)可知 y 0 ?
2 2

k ?1

?

n

y k ,从而
2

k ?1

x 0 y 0 ? ( ? x k )( ? y k ) 与 (3-3)矛盾
2 2 2 2 k ?1 k ?1

n

n

于是得

x0 ?
2

?

n

xk

2

(3-4)

k ?1

反之若(3-4)成立,有两种情况:
n

⑴ x0 ?
2

?

x k ,则取 y k ? x k ,k=0,1,2,…,n,显然(3-2)成立.
2

k ?1

第 13 页 共 16 页

⑵ x0 ?
2

?

n

x k ,记 a ?
2 2

k ?1

?

n

x k ? x 0 ? 0 ,则 x1 , ..., x n 不全为 0.
2 2

k ?1

不妨设 x n ? 0 ,

取 y k ? 0, k ? 0,1, 2, ..., n ? 2 ,并且取 y n ? 1 ?

axn x n ?1 ? x n
2 2

, yn ?

? a x n ?1 x n ?1 ? x n
2 2

.

易知(3-2)成立.
n

综上,所求的条件为 x 0 ?
2

?

xk .
2

k ?1

4.切比雪夫不等式 定 理 4 设 x1 , x 2 , ..., x n , y1 , y 2 , ..., y n 为 任 意 两 组 实 数 , 若 x1 ? x 2 ? ... ? x n 且 y1 ? y 2 ? ... ? y n 或

x1 ? x 2 ? ... ? x n 且 y1 ? y 2 ? ... ? y n ,则
1

? n

n

xi y i ? (

1

i ?1

? n

n

x i )(

1

i ?1

? n

n

yi )

(4-1)

i ?1

若 x1 ? x 2 ? ... ? x n 且 y1 ? y 2 ? ... ? y n 或 x1 ? x 2 ? ... ? x n 且 y1 ? y 2 ? ... ? y n ,则

1 n

?

n

xi y i ? (

1 n

i ?1

?

n

x i )(

1 n

i ?1

?

n

yi )

(4-2)

i ?1

当且仅当 x1 ? x 2 ? ... ? x n 或 y1 ? y 2 ? ... ? y n 时, (4-1)和(4-2)中的不等式成立. 证明: 设 x1 , x 2 , ..., x n , y1 , y 2 , ..., y n 为两个有相同次序的序列,由排序不等式有

x1 y1 ? x 2 y 2 ? ... ? x n y n ? x1 y1 ? x 2 y 2 ? ... ? x n y n x1 y1 ? x 2 y 2 ? ... ? x n y n ? x1 y 2 ? x 2 y 3 ? ... ? x n y1 x1 y1 ? x 2 y 2 ? ... ? x n y n ? x1 y 3 ? x 2 y 4 ? ... ? x n y 2
…………

x1 y1 ? x 2 y 2 ? ... ? x n y n ? x1 y n ? x 2 y1 ? ... ? x n y n ?1

第 14 页 共 16 页

把上述 n 个式子相加,得

n ? x i y i ? ( ? x i )( ? y i )
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

上式两边同除以 n ,得
2

1 n

?

n

xi y i ? (

1 n

i ?1

?

n

x i )(

1 n

i ?1

?

n

yi )

i ?1

等号当且仅当 x1 ? x 2 ? ... ? x n 或 y1 ? y 2 ? ... ? y n 时成立.

例 10 设 a i ? 0( i ? 1, 2, ..., n ) ,
1

求证: a 1 a 2 ...a n ? ( a1 a 2 ...a n ) n
a1 a2 an

( a1 ? a 2 ? ... ? a n )

证明:不妨令

a1 ? a 2 ? ... ? a n ? 0 ,则 lg a1 ? lg a 2 ? ... ? lg a n

由切比雪夫不等式,有

a 1 lg a 1 ? a 2 lg a 2 ? ... ? a n lg a n ? 1 n
即 从而证得

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )(lg a 1 ? lg a 2 ? ... ? lg a n )
1 ( a1 ? a 2 ? ... ? a n )

lg ( a1

a1 a 2 2

...a n ) ? lg ( a1 a 2 ... a n ) n
an 1 a a

a1 1 a 2 2 ...a n n ? ( a1 a 2 ...a n ) n
a

( a1 ? a 2 ? ... ? a n )

.

例 11 已知 a1 ? a 2 ? ... ? a n ? 0, b n ? b n ?1 ? ... ? b1 ? 0 .
n

求证:

?

n

bi ai

?a
? n

i

i ?1

?b
i ?1

i ?1 n

.
i

证明:取 x i ? a i , y i ? bi ,则由 a 2 ? a 2 ? ... ? a n ? 0, b n ? b n ?1 ? ... ? b1 ? 0 , 可知 x i , b i 满足切比雪夫不等式的条件,故

1

?a n
i ?1

n

1
i

?(

1

bi

?a n
i ?1

n

i

)(

1

? n

n

1 bi

)

i ?1

第 15 页 共 16 页

又由均值不等式,正数 b1 , b 2 , ..., b n 的调和平均数不大于它们的算术平均数,



n

?b
1
i

n

i

?b
i ?1

n

?

i ?1

.

n

其中等号仅在 b1 ? b 2 ? ... ? b n 时成立.
n

这样就有

1 n

?

n

bi ai

?a
?

i

i ?1

?b
i ?1

i ?1 n


i



?

n

bi ai

?a
? n

n

i

i ?1

?b
i ?1

i ?1 n


i

而且等号仅在 b1 ? b 2 ? ... ? b n 时成立.

第 16 页 共 16 页


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