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山东省微山二中2008-2009学年第一学期期中考试数学试题


山东省微山二中 2008-2009 学年第一学期期中考试数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 2, sin B ? A. 30 2 A
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/

1 .则 C ? ( 3
D. 60 或 120
? ?

) 。

?

B. 60

?

C. 30 或 150

?

?

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设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 (

) D
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1 1 ? a b

B

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1 1 ? a b
1? x ? 3

C

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a ? b2

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a2 ? 2b
).

3.若 x, x ? 1, x ? 2 是钝角三角形的三边,则实数 x 的取值范围是( A . 0? x?3 4. A
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B.

C.

3? x ? 4

D. 4 ? x ? 6 )

在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 则 A ? (
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900

B

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600

C

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1350

D

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1500

? x ? y ≥ ?1 , ? 5. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥1 则目标函数 z ? 4 x ? y 的最大值为( , ?3x ? y ? 3. ?
A.4 B.11
2



C.12

D.14

6. 一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ,则 a ? b 的值是( 2 3?
?14



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A

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10

B

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?10

C

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14
2

D

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7.在等差数列 {an } 中,若 a2 , a10 是方程 x ? 12 x ? 8 ? 0 的两个根,那么 a6 的值为 A.-12 B.-6 C.12 D.6

8.△ABC 中,

cos A a ? ,则△ABC 一定是 cos B b
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

A.等腰三角形

9.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成 立的最大自然数 n 是: ( A.4005 B. ) 4006 C.4007 D.4008

10.等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q,前 n 项和是 S n ,则数列 ? A. S n
?1

?1? ? 的前 n 项和是( ? an ?
?1 n?1



B. S n q

?n

C. S n q

1?n

D. S n q

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11.我市某公司,第一年产值增长率为 p ,第二年产值增长率 q ,这二年的平均增长率为 x ,那 x 与 大小关系( p ? q) 是( A、 x ? )

p?q 2

p?q 2

B、 x ?

p?q 2

C、 x ?

p?q 2

D、与 p, q 取值有关 )

12.在等差数列 ?an ? 中,前四项之和为 40,最后四项之和为 80,所有项之和是 210,则项数 n 为( A.12 B.14 C.15 D.16

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 13
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已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为_____.

14.数列 ?an ? 的通项公式是 an ?

10 1 (n ? N * ) ,若前 n 项的和为 ,则项数为 __. 11 n(n ? 1)
.

15.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且对于任意正整数 n ,都有 an?1 ? an ? n ,则 a100 =
?

16.在 ?ABC 中,已知 a ? b ? 4, a ? c ? 2b, 且最大角为 120 ,则这个三角形的最长边为___. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)求证:

4 ? a ? 7 ( a ? 3 ). a ?3

18. (本小题满分 12 分)用平面区域表示不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集. ? x ? 2y

19(本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cos C ? sin B sin C ?

1 . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 2

20(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

,? , 21(本小题满分 12 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? (n2 ? n ? ? )an ( n ? 1 2, ) ? 是常数.
(Ⅰ)当 a2 ? ?1 时,求 ? 及 a3 的值; (Ⅱ)数列 ?an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式; 若不可能,说明理由. 22(本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万元,以后每年增 加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ) 若干年后开发商为了投资其他项目, 有两种处理方案: ①年平均利润最大时以 46 万元出售该楼; ② 纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

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答案 1.

3 2 1 ? ,sin C ? , C ? 300 或 C ? 1500 ,选 C。 sin C sin B 2
2

2. 显然 a ? b . 选 C。 3.显然边 x ? 2 最大, cos ? ?

x 2 ? ( x ? 1)2 ? ( x ? 2)2 x 2 ? 2 x ? 3 ? ?0, 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1)

且 x ? x ? 1 ? x ? 2 ,?1 ? x ? 3. 选 B. 4. 由 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc, 得 b ? c ? a ? bc , cos A ?
2 2 2

1 , A ? 600. 选 B. 2

5.画图可得 z ? 4 x ? y 过 (2,3) 点时取到最大值。选 B. 6. 把 ax ? bx ? 2 ? 0 变为 ?ax ? bx ? 2 ? 0 ,由解集 ? x ?
2 2

? ?

1 1? ? x ? ?得 2 3?

?

b 1 1 2 1 1 ? ? ? , ? ? ? , a ? ?12, b ? ?2. 选 D. a 2 3 a 2 3

7. a2 ? a10 ? ?12 ? 2a6 . 选 B. 8.

cos A sin A ? ,sin( A ? B) ? 0, A ? B. 选 A. cos B sin B

9. a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 a2003 ? 0, a2004 ? 0,

2a2003 ? a1 ? a4005 ? 0, 2a2004 ? a1 ? a4007 ? 0, S4005 ? 0 , S4007 ? 0, 2a1 ? a4005 ? a4007 ? 0, 2(a1 ? a4006 ) ? 0, , S4006 ? 0 。选 B.
?1? qn ?1 1? ? ? n n ?1? ? q ? ? q ? 1 ? q ? q1?n ? S ? q1?n . 选 C. 10.设数列 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? n 1 q ?1 1 ? q ? an ? 1? q q
11. (1 ? x)2 ? (1 ? p)(1 ? q) ? ? 12. a1 ? an ? 30,
n

2? p?q p?q ? 1? p ?1? q ? ,x? . 选 A. ? ,1 ? x ? 2 2 2 ? ?
2

n(a1 ? an ) ? 210, n ? 14. 选 B. 2 1 1 , xy ? . 4 16

13. x ? 4 y ? 1 ? 2 x ? 4 y , 4 xy ? 14. S n ? 1 ?

1 10 ? , n ? 10. n ? 1 11

15. 由 an?1 ? an ? n 得 a100 ? 1 ? 1 ? 2 ? ... ? 99 ? 4951. 16.由 a ? b ? 4, a ? c ? 2b, 得 a ? b ? c. 且 a ? b ? 4, c ? b ? 4,
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cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? 16b b ? 16 1 ? ? ? ? , b ? 10, a ? 14. 2bc 2b(b ? 4) 2(b ? 4) 2
4 4 4 ?3? ? (a ? 3) ? 3 ? 2 ? (a ? 3) ? 3 ? 2 4 ? 3 ? 7 a ?3 a ?3 a ?3
4 ? a ? 3 即 a ? 5 时,等号成立. a ?3

17 解:

当且仅当 18.

12

10

8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

19 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

1 2

? cos( B ? C ) ?

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3

? A ? B ? C ? ? ,? A ?
2 2 2

2? . 3 2? 3

(Ⅱ)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos
2 2

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

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20 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

? a1 ? d ? 1 , ? a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 . 21 解: (Ⅰ)由于 an?1 ? (n2 ? n ? ? )an (n ? 1 2, ) ,且 a1 ? 1 . ,? 所以当 a2 ? ?1 时,得 ?1 ? 2 ? ? , 故 ? ? 3. 从而 a3 ? (22 ? 2 ? 3) ? (?1) ? ?3. (Ⅱ)数列 ?an ? 不可能为等差数列,证明如下: 由 a1 ? 1 , an?1 ? (n2 ? n ? ? )an 得

a2 ? 2 ? ? , a3 ? (6 ? ? )(2 ? ? ) , a4 ? (12 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) .
若存在 ? ,使 ?an ? 为等差数列,则 a3 ? a2 ? a2 ? a1 ,即 (5 ? ? )(2 ? ? ) ? 1 ? ? , 解得 ? ? 3 . 于是 a2 ? a1 ? 1 ? ? ? ?2 , a4 ? a3 ? (11 ? ? )(6 ? ? )(2 ? ? ) ? ?24 . 这与 ?an ? 为等差数列矛盾.所以,对任意 ? , ?an ? 都不可能是等差数列. 22.解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2

2 因此利润 y ? 30n ? (81? n ) ,令 y ? 0

解得: 3 ? n ? 27 所以从第 4 年开始获取纯利润. (Ⅱ)年平均利润 W ?

30n ? (81? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n n n
81 ? n ,即 n=9 时取等号) n

? 30 ? 2 81 ? 12(当且仅当
所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 利润 y ? 30n ? (81? n ) ? ?(n ? 15) ? 144
2 2

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所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.

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