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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一.选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ? ? 1. 函数 y ? f ( x) 的图像按向量 a ? ( , 2) 平移后, 得到的图像的解析式为 4 ? y ? sin( x ? ) ? 2 . 那么 y ? f ( x) 的解析式为( ) 4 A. y ? sin x B. y ? cos x C. y ? sin x ? 2 D. y ? cos x ? 4

2. 如果二次方程 x2 ? px ? q ? 0( p, q ? N * ) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有
( )

A. 5 个

B. 6 个

C. 7 个
1 的最小值是( b( a ? b )

D. 8 个
)
A1 D A

P C1 B1 C B

3. 设 a ? b ? 0 , 那么 a 2 ? A. 2

D1

B. 3 C. 4 D. 5 4. 设四棱锥 P ? ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 ? 去截此
四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面

?(

)

A. 不存在

B. 只有 1 个

C. 恰有 4 个

D. 有无数多个

5. 设数列 {an } : a0 ? 2, a1 ? 16, an?2 ? 16an?1 ? 63an , n ? N*, 则 a2005 被 64
除的余数为( )

A. 0

B. 2

C. 16

D. 48

6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 ? 1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖
都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有( )

A. 308 个

B. 30 ? 257 个

C. 30 ? 207 个

D. 30 ? 217 个

二.填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 得向量 OB , 且 2OA ? OB ? (7,9) , 则 2 ??? ? 向量 OB ? _________
王新敞
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8. 设无穷数列 {an } 的各项都是正数, Sn 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n ,

an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为__________
9. 函数 y ?| cos x | ? | cos2 x | ( x ? R) 的最小值是 ________
王新敞
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王新敞
奎屯

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10. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, AA1 ? AD ? 1 , 点 E 、 F 、 G
分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 ? EFG 的体积是 _________
王新敞
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11. 由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样 的 5 位数共有 ________
王新敞
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12. 已知平面上两个点集 M ? {( x, y ) | | x ? y ? 1| ? 2( x 2 ? y 2 ), x, y ? R},

N ? {( x, y) | | x ? a | ? | y ?1| ? 1, x, y ?R}. 若 M ? N ? ? , 则 a 的取值范围是__
三.解答题 (第一题、第二题各 15 分;第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 BC BM N , 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设 ? ? , 试求 (用 ? 表示) BN MN
王新敞
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王新敞
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新疆

A

M B D

N C

14. 求所有使得下列命题成立的正整数 n (n ? 2) : 对于任意实数 x1 , x2 ,?, xn ,


? xi ? 0 时, 总有
i ?1

n

?x x
i ?1

n

i i ?1

? 0 ( 其中 xn?1 ? x1 )

王新敞
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15. 设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 a 2 b2

x 轴垂直的焦点弦


王新敞
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若在左准线上存在点 R , 使 ?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心
y
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e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率

R

Q

F P

o

x

16. (1) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的
最小值, 并说明理由
王新敞
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(2) 若 n (n ? N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 最小值, 并说明理由
王新敞
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2005

, 求

n 的


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