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2015高一数学第3章 指数函数、对数函数和幂函数作业题及答案解析3.2 习题课


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3.2 习题课
课时目标 力. 1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能

1.已知 m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是________. 2.已知 0<a<1,logam&l

t;logan<0,则 1,m,n 的大小关系为________. 1 3.函数 y= x-1+ 的定义域是________. lg?2-x?
1

4.给定函数①y= x 2 ,②y= log 1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区间(0,1)上


2

单调递减的函数序号是________.(填序号) 5.设函数 f(x)=loga|x|,则 f(a+1)与 f(2)的大小关系是________________. 6.若 log32=a,则 log38-2log36=________.

一、填空题 1.下列不等号连接正确的是________.(填序号) ①log0.52.7>log0.52.8; ②log34>log65; ③log34>log56; ④logπe>logeπ. 1 2.若 log37· log29· log49m=log4 ,则 m=________. 2 ?loga?x+1? ?x>0?, ? 3.设函数 f(x)=? 2 若 f(3)=2,f(-2)=0,则 b=________. ?x +ax+b ?x≤0?. ? 1 4.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调增区 2 间为_____________________________.

5.若函数 f(x)= 围是________.

若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范

1 6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,则不等 3 式 f( log 1 x)<0 的解集为________.
8

1 a 7.已知 loga(ab)= ,则 logab =________. p b 8.若 log236=a,log210=b,则 log215=________. x-4 ? x≤4, ?2 , 1 ? 9.设函数 f(x)= 若 f(a)= ,则 f(a+6)=________. 8 ?-log2?x+1?, x>4, ? 二、解答题 10.已知集合 A={x|x<-2 或 x>3},B={x|log4(x+a)<1},若 A∩B=?,求实数 a 的取 值范围.

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11.抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则至少 要抽几次?(lg 2≈0.301 0)

能力提升 12.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,求不等式 loga(x-1)>0 的解集.

13.已知函数 f(x)=loga(1+x),其中 a>1. 1 1 (1)比较 [f(0)+f(1)]与 f( )的大小; 2 2 x1+x2 1 (2)探索 [f(x1-1)+f(x2-1)]≤f( -1)对任意 x1>0,x2>0 恒成立. 2 2

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1.比较同真数的两个对数值的大小,常有两种方法: (1)利用对数换底公式化为同底的对数,再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小; (2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小. 2.指数函数与对数函数的区别与联系 指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)是两类不同的函数. 二 者的自变量不同.前者以指数为自变量,而后者以真数为自变量;但是,二者也有一定 的联系,y=ax(a>0,且 a≠1)和 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数.前者的定义域、值 域分别是后者的值域、定义域.二者的图象关于直线 y=x 对称.

习题课
双基演练 1.p<m<n 解析 0<m<1,n>1,p<0,故 p<m<n. 2.1<n<m 解析 ∵0<a<1,∴y=logax 是减函数. 由 logam<logan<0=loga1,得 m>n>1. 3.(1,2) x-1≥0, ? ? 解析 由题意得:?2-x>0, ? ?lg?2-x?≠0, 解得:1<x<2.

4.②③ 解析 ①y= x在(0,1)上为单调递增函数, ∴①不符合题意,②,③符合, + ④y=2x 1 在(0,1)上也是单调递增函数. 5.f(a+1)>f(2) 解析 当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上递增, 又∵a+1>2,∴f(a+1)>f(2); 当 0<a<1 时,f(x)在(0,+∞)上递减; 又∵a+1<2,∴f(a+1)>f(2). 综上可知,f(a+1)>f(2). 6.a-2 解析 log38-2log36=log323-2(1+log32) =3a-2-2a=a-2. 作业设计 1.①②③ 解析 对①,根据 y=log0.5x 为单调减函数易知正确. 对②,由 log34>log33=1=log55>log65 可知正确. 4 6 6 对③,由 log34=1+log3 >1+log3 >1+log5 =log56 可知正确. 3 5 5 对④,由 π>e>1 可知,logeπ>1>logπe 错误.

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2.

2 2

lg 7 2lg 3 lg m lg m 解析 左边= · · = , lg 3 lg 2 2lg 7 lg 2 -lg 2 1 右边= =- , 2lg 2 2 ∴lg m=lg 2 ∴m= 2 . 2
? 1 2

=lg

2 , 2

3.0 解析 ∵f(3)=2,∴loga(3+1)=2, 解得 a=2,又 f(-2)=0,∴4-4+b=0,b=0. 1 4.(-∞,- ) 2 1 解析 令 y=2x2+x,其图象的对称轴 x=- <0, 4 1 1 所以(0, )为 y 的增区间, 所以 0<y<1, 又因 f(x)在区间(0, )内恒有 f(x)>0, 所以 0<a<1. 2 2 1 f(x)的定义域为 2x2+x>0 的解集,即 x>0 或 x<- , 2 1 1 1 由 x=- >- 得,(-∞,- )为 y=2x2+x 的递减区间, 4 2 2 1 又由 0<a<1,所以 f(x)的递增区间为(-∞,- ). 2 5.(-1,0)∪(1,+∞) 解析 ①若 a>0,则 f(a)=log2a,f(-a)= log 1 a,
2

1 ∴log2a> log 1 a=log2 , a
2

1 ∴a> ,∴a>1. a ②若 a<0,则 f(a)= log 1 (-a),
2

f(-a)=log2(-a), 1 ∴ log 1 (-a)>log2(-a)= log 1 (- ), a
2 2

1 ∴-a<- , a ∴-1<a<0, 由①②可知,-1<a<0 或 a>1. 1 6.( ,1)∪(2,+∞) 2 1 解析 ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f( )=0, 3 1 1 ? 1 ?3 1 在(0,+∞)上 f( log 1 x)<0?f( log 1 x)<f( )?0< log 1 x< ? log 1 1< log 1 x< log 1 ? ? ? 3 3 ?8? 2
8 8 8 8 8 8
1

<x<1; 1 同理可求 f(x)在(-∞,0)上是增函数,且 f(- )=0,得 x>2. 3

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1 综上所述,x∈( ,1)∪(2,+∞). 2 7.2p-1 ab 解析 ∵logaba=p,logabb=logab =1-p, a a ∴logab =logaba-logabb b =p-(1-p)=2p-1. 1 8. a+b-2 2 解析 因为 log236=a,log210=b, 所以 2+2log23=a,1+log25=b. 1 即 log23= (a-2),log25=b-1, 2 1 1 所以 log215=log23+log25= (a-2)+b-1= a+b-2. 2 2 9.-3 1 - 解析 (1)当 a≤4 时,2a 4= , 8 解得 a=1,此时 f(a+6)=f(7)=-3; 1 (2)当 a>4 时,-log2(a+1)= ,无解. 8 10.解 由 log4(x+a)<1,得 0<x+a<4, 解得-a<x<4-a, 即 B={x|-a<x<4-a}. ? ?-a≥-2, ∵A∩B=?,∴? 解得 1≤a≤2, ?4-a≤3, ? 即实数 a 的取值范围是[1,2]. 11.解 设至少抽 n 次才符合条件,则 a· (1-60%)n<0.1%· a(设原来容器中的空气体积为 a). 即 0.4n<0.001,两边取常用对数,得 n· lg 0.4<lg 0.001, lg 0.001 所以 n> . lg 0.4 -3 所以 n> ≈7.5. 2lg 2-1 故至少需要抽 8 次,才能使容器内的空气少于原来的 0.1%. 12.解 设 u(x)=x2-2x+3,则 u(x)在定义域内有最小值. 由于 f(x)在定义域内有最小值,所以 a>1. 所以 loga(x-1)>0?x-1>1?x>2, 所以不等式 loga(x-1)>0 的解集为{x|x>2}. 1 1 13.解 (1)∵ [f(0)+f(1)]= (loga1+loga2)=loga 2, 2 2 1 3 3 又∵f( )=loga ,且 > 2,由 a>1 知 2 2 2 3 函数 y=logax 为增函数,所以 loga 2<loga . 2 1 1 即 [f(0)+f(1)]<f( ). 2 2 (2)由(1)知,当 x1=1,x2=2 时,不等式成立. 接下来探索不等号左右两边的关系:

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1 [f(x -1)+f(x2-1)]=loga x1x2, 2 1 x1+x2 x1+x2 f( -1)=loga , 2 2 因为 x1>0,x2>0, x1+x2 ? x1- x2?2 所以 - x1x2= ≥0, 2 2 x1+x2 即 ≥ x1x2.又 a>1, 2 x1+x2 所以 loga ≥loga x1x2, 2 x1+x2 1 即 [f(x1-1)+f(x2-1)]≤f( -1). 2 2 综上可知,不等式对任意 x1>0,x2>0 恒成立.


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