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高中数学竞赛专题讲座--抽象函数


数学竞赛辅导讲义(1)
(一) 抽象函数 知识提要:所谓抽象函数泛指不具体的函数,然而抽象函数又以具体函数为背景,所以研 究抽象函数很有应用价值. 1. 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 且 f ? x ? ? f ?
?

? x? ? ? f ? y ? , 若 f ? 3? ? 1 , 则 使 ? y?<

br />
? 1 ? . f ? x? ? f? ? ? 2 成立的 x 的取值范围是 ? x ?5? 2.函数 f ? x ? 是定义在 R 上的函数,它的图象既关于直线 x ? 5 对称,又关于直线 x ? 7 对称,则
3. 设 函 数 y ? f ? x ? 是 在 R 上 有 定 义 且 在 ?0,1? 上 是 单 调 递 减 的 周 期 为 2 的 偶 函 数 , 则 函数 f ? x ? 的最小正周期是 .

f ? ?1? , f ? 0? , f ? 2.5? 由小到大的顺序为
(二)函数 ? x ? 和{ x }

. .

4.定义在 R 上的函数 f ? x ? ,恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? .若 f ?16? ? 4 ,那么 f ? 2006? 等于

知识提要: 函数 ? x ? 表示实数 x 的整数部分(不超过 x 的最大整数).通常称 y ? ? x? 为取

整函数,又称高斯函数.而 { x} 为实数 x 的小数部分.任一实数都能写成整数部分与小数部分之 5.定义符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数.则方程 ? 2sin x? ? ? x? ? x ? 0 ? 的解集( x 以弧度为单 位)是 .
2

和, 即 x ? ? x? ? {x}.例如: 当 x ? ?3.71 时,??3.71? ? ?4 , 且 ?3 {?3.71} ? 0.29 , . 7 1 ?? 4 ? ? ? 0.29 ?

?.

6.设 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则不等式 2 ? x ? ? 11? x ? ? 6 ? 0 的解集是 7.自然数 n 能被 ? n ? 整除, 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, 则 n 的表达式为

. (用 ? n ?

?

?

?

?

8. x ? y ? 1 是 ? x? ? ? y ? 成立的

表示结果).

条件.(选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、

“充分且必要” 、 “既不充分也不必要”四者之一) (三)函数迭代和函数方程 设 f 是 D ? D 的函数,对任意 x ? D, 记 f 称函数 f
n

? 0?

? x ? ? x, 定义 f ? n?1? ? x ? ? f ? f n ? x ? ? , n ? N * , 则

先迭代几次, 观察有何规律, ? x ? 为 f ? x ? 的 n 次迭代. f n ? x ? 的一般求法是先猜后证: n 由此猜测出 f ? x ? 的表达式,然后证明. 含有未知函数的方程称为函数方程.如果一个函数 f ? x ? 对其定义域内自变量的一切取值均 满足所给的函数方程,则称 f ? x ? 为该方程的解.证明函数方程无解或寻求其解的过程就是解函数 方程.一般用以下方法: (1)代换法:将方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不 发生变化) ,得到一个或几个新的函数方程,然后设法求得未知函数. (2)赋值法:根据所给条件,适当地对自变量赋予某些特殊值,从而简化函数方程,逐步靠 近未知结果,最终解决问题. (3)待定系数法:当函数方程中的未知函数是多项式时,可用此法比较系数而求解.

(4)递推法:即通过初始条件和递推关系求解,例如通过数列的递推关系求通项公式等. 9.自然数 k 的各位数字和的平方记为 f1 ? k ? , 且 f n ? k ? ? f1 ? ? f n ?1 ? k ? ? ? , 则 f n ?11? 的值域为 (C) {4,16, 49,169, 256} ; (D) {2, 4, 7,13,16} {2, 4,7} ; f ? 2? ?1 2 f n ? x ?? , n ? N * . 记 an ? n , 而 f n ?1 ? x ? ? f1 ? 10.设 f1 ? x ? ? , 则 a99 等于 ? ? x ?1 fn ? 2? ? 2 ; (B) (A) N
*

?

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