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盐城中学2014届高三10月随堂练习数学试题


一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1.已知集合 A ? {x | x ? 4} , B ? {x | x ? ?1} ,则 A ? B ?
2



c ? (k , 3 ) , b ? (0,1) , 2. 已知向量 a ? ( 3 ,1) ,

若 a ? 2b 与 c 垂直, 则k ?

?

?

?

?

?

?



3.设 S n 是等差数列 ?an ? (n ? N* ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S9 =



4. “2

a

? 2b ”是 “ log2 a ? log2 b ”的

. (填“充分不必要条件” “ 必要不

充分条件” “ 充要条件” “ 既不充分也不必要条件” )

5.关于 x 的不等式 象限.

( x ? a)( x ? b) ? 0 的解为 ?1 ? x ? 2 或 x ? 3 ,则点 P(a ? b, c) 位于第 x?c

6.已知 x 为正实数,且 xy ? 2 x ? 2, 则 2 ? 1 的最小值为 x y?2



7.在 ?ABC 中, sin A ?

5 3 , cos B ? , 则 cosC ? 13 5

8. 已 知 f ?x ? ? ln ?x ? 1? ? 为 .

2 的 一 个 零 点 在 区 间 ?k , k ? 1? 上 , 则 正 整 数 k 的 值 x

9. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图像关于直线 x ? 一个零点,则 ? 的最小值为 .

?
3

对称, 且

? 为函数 f ( x) 的 12

1

10.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ( a, b, c ? R ) ,若函数 f ( x) 在区间 [?1, 0] 上是单调
3 2

减函数,则 a ? b 的最小值是
2 2

.

11 . 设 函 数 f ( x) ? e (sin x ? cos x), 若 0 ? x ? 4? , 则 函 数 f ( x) 的 各 极 大 值 之 和
x





12. 已知 ?ABC 的外接圆圆心为 O , 半径为 1,AO ? x AB ? y AC( xy ? 0 ) , 且 x ? 2 y ? 1, 则 ?ABC 的面积的最大值为

????

??? ?

????

? x3 1 , ( ? x ? 1) ? ? ? x ?1 2 13.已知函数 f ( x) ? ? 和函数 g ( x) ? a sin x ? a ? 1(a ? 0) , 6 ?? 1 x ? 1 , (0 ? x ? 1 ) ? 12 2 ? 6 若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 .

14.给出定义:若 x ? (m ?

1 1 , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整数”, 记 2 2

作 {x} ? m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题 :①函数 y ? f ( x) 在

x ? (0,1) 上是增函数 ;②函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

k (k ? Z ) 对称 ;③函数 y ? f ( x) 2

是周期函数,最小正周期为 1;④当 x ? (0, 2] 时, 函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中正 确命题的序号是__________.

二、解答题(共 6 小题计 90 分): 15. (本题满分 14 分) 设 角 A, B, C 是 ?ABC 的 三 个 内 角 , 已 知 向 量 m ? (sin A ? sin C ,sin B ? sin A) ,

??

? ?? ? n ? (sin A ? sin C ,sin B) ,且 m ? n .
(1)求角 C 的大小; (2)若向量 s ? (0, ?1), t ? (cos A, 2cos

?

?

2

? ? B ) ,试求 s ? t 的取值范围. 2

2

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 ?ACB ? 90 ,M 为 A1B 与 AB1的交点,N 为棱
o

B1C1 的中点 (1) 求证:MN∥平面 AA1C1C (2) 若 AC=AA1,求证:MN⊥平面 A1BC

17. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直线 AB 的方程.

18.(本题满分 16 分) 受金融危机的影响, 三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡. 现需要对某一景 点进行改造升级,提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间 满足: y ?

51 x x 1 x ? ax 2 ? ln , ? ?t ,?? ?, 其中 t 为大于 的常数.当 x ? 10 时, 50 10 2 x ? 12 2
3

y ? 9.2 .
(1)求 y ? f ( x) 的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 的值

4

19.(本题满分 16 分)

已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的图象上的任意两点(可以重

合),点 M 在直线 (1)求 (2)已知 +

上,且 的值及 ,当 + 的值 时, = ,

.

+ 为数列{

+

+

,求



(3)在(2)的条件下,设 , 使得不等式

}的前 项和,若存在正整数 、

成立,求 和

的值.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (2a ? 2) x ? (2a ? 1) ln x 2 3 5 2 2
1 1 ? | ,求正 x1 x 2

(1)求 f(x)的单调区间; (2)对任意的 a ? [ , ], x1 , x 2 ? [1,2] ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? ? | 实数 ? 的取值范围.

5

高三年级 10 月份随堂数学试题答案
命题人:袁琴 李斌 审题: 高三审题组
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸 的指定位置上. 1.已知集合 A ? {x | x ? 4} , B ? {x | x ? ?1} ,则 A ? B ?
2

{x | x ? ?2}

. 3 . .

2. 已知向量 a ? ( 3 ,1) ,b ? (0,1) ,c ? (k , 3 ) , 若 a ? 2b 与 c 垂直, 则k ? 3.设 S n 是等差数列 ?an ? (n ? N* ) 的前 n 项和,且 a1 ? 1, a4 ? 7 ,则 S9 = 4. “2
a

?

?

?

?

?

?

81

? 2b ”是 “ log2 a ? log2 b ”的

充分不必要条件

. (填“充分不必要

条件” “ 必要不充分条件” “ 充要条件” “ 既不充分也不必要条件” ) 5.关于 x 的不等式 象限. 6.已知 x 为正实数,且 xy ? 2 x ? 2, 则 2 ? 1 的最小值为 x y?2 2 .

( x ? a)( x ? b) ? 0 的解为 ?1 ? x ? 2 或 x ? 3 ,则点 P(a ? b, c) 位于第 1 x?c

7.在 ?ABC 中, sin A ?

5 3 , cos B ? , 则 cosC ? 13 5

?

16 65

8. 已 知 f ?x ? ? ln ?x ? 1? ? 1 .

2 的 零 点 在 区 间 ?k , k ? 1??k ? N ? 上 , 则 k 的 值 为 x

9. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的图像关于直线 x ? 一个零点,则 ? 的最小值为 .2

?
3

对称, 且

? 为函数 f ( x) 的 12

10.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ( a, b, c ? R ) ,若函数 f ( x) 在区间 [?1, 0] 上是单调
3 2

减函数,则 a ? b 的最小值是
2 2

.

9 5

11 . 设 函 数 f ( x) ? e (sin x ? cos x), 若 0 ? x ? 4? , 则 函 数 f ( x) 的 各 极 大 值 之 和 为
x

e ? ? e 3?



6

12. 已知 ?ABC 的外接圆圆心为 O , 半径为 1,AO ? x AB ? y AC( xy ? 0 ) , 且 x ? 2 y ? 1,

????

??? ?

????

则 ?ABC 的面积的最大值为

3 3 4

? x3 1 , ( ? x ? 1) ? ? ? x ?1 2 13.已知函数 f ( x) ? ? 和函数 g ( x) ? a sin x ? a ? 1(a ? 0) , 6 ?? 1 x ? 1 , (0 ? x ? 1 ) ? 12 2 ? 6 ?1 ? 若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? , 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 则实数 a 的取值范围是 ? , 2 ? . ?2 ? 1 1 14.给出定义:若 x ? (m ? , m ? ] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整数”, 记 2 2
作 {x} ? m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ? x ? {x} 的四个命题 :①函数 y ? f ( x) 在

x ? (0,1) 上是增函数 ;②函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

k (k ? Z ) 对称 ;③函数 y ? f ( x) 2

是周期函数,最小正周期为 1;④当 x ? (0, 2] 时, 函数 g ( x) ? f ( x) ? ln x 有两个零点. 其中正 确命题的序号是__________.②③④ 一、解答题(共 6 小题计 90 分): 15. (本题满分 14 分) 设 角 A, B, C 是 ?ABC 的 三 个 内 角 , 已 知 向 量 m ? (sin A ? sin C ,sin B ? sin A) ,

??

? ?? ? n ? (sin A ? sin C ,sin B) ,且 m ? n .
(1)求角 C 的大小; (2)若向量 s ? (0, ?1), t ? (cos A, 2cos
2

?

?

2

? ? B ) ,试求 s ? t 的取值范围. 2
2

15. 【解答】(Ⅰ)由题意得 m ? n ? (sin A ? sin C ) ? (sin B ? sin A sin B) ? 0 ,
2

即 sin C ? sin A ? sin B ? sin A sin B ,由正弦定理得 c ? a ? b ? ab ,
2 2 2
2 2 2

再由余弦定理得 cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,? 0 ? C ? ? ,? C ? . 2ab 2 3

B , ? 1) ? (cos A, cos B) 2 ? ?2 2? ? s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 ( ? A) , 3 4? 1 ? cos( ? 2 A) 1 ? cos 2 A 1 3 1 ? 3 ? ? ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 , 2 2 4 4 2 6
(Ⅱ)

? s ? t ? (cos A,2 cos2

7

?0 ? A ?
所以

1 ? 2? ? ? 7? ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 , ,? ? ? 2 A ? ? 2 6 3 6 6 6

2 ? ? 5 1 ? ?2 5 ? s?t ? . ? s ? t ? ,故 2 2 2 4

16(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 ?ACB ? 90 ,M 为 A1B 与 AB1的交点,N 为棱
o

B1C1 的中点 (3) 求证:MN∥平面 AA1C1C (4) 若 AC=AA1,求证:MN⊥平面 A1BC

C1 N A1 B1

15 . 【 解 答 】 (Ⅰ) 由 题 意 得
2 m?n ? ( s2 A i? ns i C n ) ? ( s2 B i? ns iA s n iB)n? 0

M C

, 即 sin C ? sin A ? sin B ? sin A sin B ,
2 2 2

由正弦定理得 c ? a ? b ? ab ,
2 2 2

A

B

再由余弦定理得 cosC ? (Ⅱ)

a2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,? 0 ? C ? ? ,? C ? . 2ab 2 3

B , ? 1) ? (cos A, cos B) 2 ? ?2 2? ? s ? t ? cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 A ? cos 2 ( ? A) , 3 4? 1 ? cos( ? 2 A) 1 ? cos 2 A 1 3 1 ? 3 ? ? ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? ? sin(2 A ? ) ? 1 , 2 2 4 4 2 6 1 ? 2? ? ? 7? ?? ? sin(2 A ? ) ? 1 , ?0 ? A ? ,? ? ? 2 A ? ? 2 6 3 6 6 6 ? s ? t ? (cos A,2 cos2
所以

2 ? ? 5 1 ? ?2 5 ? s?t ? ? s ? t ? ,故 . 2 2 2 4

17. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C1:

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直线 AB 的方程.

8

解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 3 a -4 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4, 2 a 2 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)解法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 4 2 2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4,所以 xA= 2, 4 1+4k y2 x2 16 2 2 2 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k )x =16,所以 xB= 2, 16 4 4+k 16 16 → → 2 2 又由OB=2OA得 xB=4xA,即 2= 2, 4+k 1+4k 解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 解法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 2 4 2 2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4,所以 xA= 2, 4 1+4k 2 16 16k → → 2 2 由OB=2OA得 xB= 2,yB= 2, 1+4k 1+4k 2 y2 x2 4+ k 2 2 将 xB,yB代入 + =1 中,得 2=1, 16 4 1+4k 2 2 即 4+k =1+4k ,解得 k=±1, 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 18.(本题满分 16 分) 受金融危机的影响, 三峡某旅游公司经济效益出现了一定程度的滑坡. 现需要对某一景 点进行改造升级,提高旅游增加值.经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间 满足: y ?
2

y2 x2

y2

x2

y ? 9.2 .

51 x x 1 x ? ax 2 ? ln , ? ?t ,?? ?, 其中 t 为大于 的常数.当 x ? 10 时, 50 10 2 x ? 12 2

(1)求 y ? f ( x) 的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 的值 【解析】 (1)因为当 x=10 时,y=9.2, 51 1 2 即 ×10-a×10 -ln1=9.2,解得 a= , 50 100 51 x2 x 所以 f(x)= x- -ln . 50 100 10 x 1 12t 因为 ≥t 且 t> ,所以 6<x≤ . 2x-12 2 2t-1 12t 即投入 x 的取值范围是(6, ]. 2t-1 (2)对 f(x)求导, 51 x 1 x2-51x+50 得 f′(x)= - - =- 50 50 x 50x

9

? x-1? ? x-50? =- . 50x 令 f′(x)=0,得 x=50 或 x=1(舍去). 当 x∈(6,50)时,f′(x)>0,且 f(x)在(6,50]上连续, 因此,f(x)在(6,50]上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,f′(x)<0,且 f(x)在[50,+∞)上连续 因此,f(x)在[50,+∞)上是减函数. 所以 x=50 为极大值点. 12t 1 25 当 ≥50,即 t∈( , ]时,投入 50 万元改造时取得最大增加值; 2t-1 2 44 12t 25 12t 当 6< <50,即 t∈( ,+∞)时,投入 万元改造时取得最大增加值 2t-1 44 2t-1 19.(本题满分 16 分)

已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的图象上的任意两点(可以重合) ,

点 M 在直线 (1)求 (2)已知 +

上,且 的值及 ,当 +

. 的值 时, = , + 为数列{ + + ,求 ; ,

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

【答案】 (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= 又 ∴ + = =1. = 时, 时, = , ,即

上,设 M

. , ,

① 当 ② 当

+ ,

=



+

=

+

=

=

=

10

综合①②得, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 ∴ n≥2 时,

+ +

. =1 时, ,k= + + + , + . , ② ①

①+②得,2 当 n=1 时, (Ⅲ) = =

=-2(n-1),则 =0 满足 , =1+

=1-n. =1-n. = .

=1-n. ∴ +

.

=2∴



=

-2+

=2-



, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时,



∴1< <3, ∴m=1. 20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (2a ? 2) x ? (2a ? 1) ln x 2

(1)求 f(x)的单调区间;

1 1 3 5 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? ? | ? | a ? [ , ], x1 , x 2 ? [1,2] x x 1 2 2 2 (2)对任意的 ,恒有 ,求正实数 ?
的取值范围.

22.解: (Ⅰ)

f ?( x ) ? x ? (2a ? 2) ?

2a ? 1 ( x ? 2a ? 1)( x ? 1) x x = ( x ? 0)

? 令 f ( x ) ? 0 , x1 ? 2a ? 1, x2 ? 1
f ?( x ) ? ( x ? 1)2 ?0 x ,所以 f ( x ) 增区间是 ?0,??? ;
11

?1 分

① a ? 0 时,

② a ? 0 时, 2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x ) 增区间是 ( 0,1) 与 (2a ? 1,??) ,减区间是 (1,2a ? 1)
? 1 ?a?0 2 时,0 ? 2a ? 1 ? 1 , 所以 f ( x ) 增区间是 (0,2a ? 1) 与 (1,??) , 减区间是 (2a ? 1,1)

③ ④

a??

1 2 时, 2a ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 增区间是 (1,??) ,减区间是 ( 0,1)

?5 分

3 5 a ?[ , ] 2 2 ,所以 (2a ? 1) ? [4,6] ,由(1)知 f ( x ) 在 [1,2] 上为减函数. ?6 分 (Ⅰ)因为

若 x1 ? x 2 ,则原不等式恒成立,∴ ? ? (0, ? ?)
1 1 ? 若 x1 ? x 2 ,不妨设 1 ? x1 ? x 2 ? 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , x1 x2 ,

?7 分

所以原不等式即为:

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? (

1 1 1 1 ? ) f ( x1 ) ? ? ? f ( x2 ) ? ? x1 x2 对任意的 x1 x 2 ,即

3 5 a ?[ , ] 2 2 , x1 , x2 ? [1,2] 恒成立



g( x ) ? f ( x ) ?

?

3 5 a ?[ , ] x ,所以对任意的 2 2 , x1 , x2 ? [1,2] 有 g( x1 ) ? g( x 2 ) 恒成立,所以

g( x ) ? f ( x ) ?

?
x 在闭区间 [1,2] 上为增函数

?9 分

? 所以 g ( x ) ? 0 对任意的

3 5 a ?[ , ] 2 2 , x ? [1,2] 恒成立

12

13


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