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贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


贵州省遵义市航天高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案填写在答题卡上. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣3≤x<4},B={x|﹣2≤x≤5},则 A∩B=() A.{x|﹣3≤x≤5} B.{x|﹣2≤x<4} C.{x|﹣2≤x≤5} D.{x|﹣3≤x<4} 2. (5 分)已知 sin( A. +a)= ,则 cos2a 的值为() B. C. D.

3. (5 分)平面向量 A.

与 B.

的夹角为 60°, C. 3



,则 D.7

=()

4. (5 分)某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2: 1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生 人数为() A.80 B.40 C.60 D.20 5. (5 分)等差数列{an}中,a3=7,a9=19,则 a5 为() A.13 B.12 C.11 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

D.10

A.12

B.36
x﹣1

C.24

D.72

7. (5 分)函数 f(x)=﹣|x﹣5|+2 的零点所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

8. (5 分)设 α 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是() A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B. 若 a⊥α,a∥b,则 b⊥α C. 若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α D.若 a∥α,a⊥b,则 b⊥α

9. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为()

A.﹣1

B. 0
2 2

C. 1

D.3 ,则实数 a 的值为() D.0 或 4

10. (5 分)若直线 x﹣y=2 被圆(x﹣a) +y =4 所截得的弦长为 A.﹣1 或 B. 1 或 3 C . ﹣2 或 6 11. (5 分)已知 a=2log52,b=2 ,c= A..a<c<b B.c<b<a
2 1.1

,则 a、b、c 的大小关系是() C.a<b<c D.b<c<a

12. (5 分)函数 f(x)=sinx?ln(x +1)的部分图象可能是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13. (5 分)已知△ ABC 中,BC=4,AC=8,∠C=60°,则 =.

14. (5 分)设函数

,则 f(f(3) )=.

15. (5 分)函数

的定义域是.

16. (5 分)已知函数 y=f(x)+x 为偶函数,且 f(10)=10,若函数 g(x)=f(x)+4,则 g (﹣10)=.

3

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.请将解答写在答题卡指定位置. ) 17. (10 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ ABC 的 面积为 ,求 cosA 与 a 的值. 18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形,PD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点. (1)求证:AP∥平面 MBD; (2)若 AD⊥PB,求证:BD⊥平面 PAD.

19. (12 分)如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40 名,其成绩(均为整数)整理后画 出的频率分布直方图如下,观察图形,回答下列问题: (1)80~90 这一组的频率和频数分别是多少? (2)估计这次环保竞赛的平均数、众数、中位数. (不要求写过程) (3)从成绩是 80 分以上(包含 80 分)的同学中选两人,求他们在同一分数段的概率.

20. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=5,a5﹣2a2=3,又等比数列{bn}中,b1=3 且公比 q=3. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)若 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 21. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C;

(Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C=

,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

22. (12 分)函数

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且



(1)确定函数的解析式; (2)证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0.

贵州省遵义市航天高中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确答案填写在答题卡上. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣3≤x<4},B={x|﹣2≤x≤5},则 A∩B=() A.{x|﹣3≤x≤5} B.{x|﹣2≤x<4} C.{x|﹣2≤x≤5} D.{x|﹣3≤x<4} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 题设中两个集合已经是最简,故由集合的交集的定义直接求出它们的公共部分,得 到交集 解答: 解:∵集合 A={x|﹣3≤x<4},集合 B={ x|﹣2≤x≤5}, ∴A∩B={|﹣2≤x<4} 故选 B. 点评: 本题考查交集及其运算,解答本题关键是理解交集的定义,由定义进行运算求出交 集.

2. (5 分)已知 sin( A.

+a)= ,则 cos2a 的值为() B. C. D.

考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.

专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式知 sin( 1= ﹣1=﹣ . 解答: 解:sin(
2

+a)=cosα= ,根据二倍角的余弦公式从而有 cos2α=2cos α﹣

2

+a)=cosα= ,

cos2α=2cos α﹣1= ﹣1=﹣ . 故选:D. 点评: 本题主要考察二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用,属于中档题.

3. (5 分)平面向量 A.

与 B.

的夹角为 60°, C. 3



,则 D.7

=()

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算及其性质即可得出. 解答: 解:∵平面向量 ∴ ∴ = = 与 = = 的夹角为 60°, =1. = . , ,

故选: . 点评: 本题考查了数量积运算及其性质,属于基础题. 4. (5 分)某大学数学系共有本科生 1000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2: 1,要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,则应抽取三年级的学生 人数为() A.80 B.40 C.60 D.20 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本,根据一、二、 三、四年级的学生比为 4:3:2:1,利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以 样本容量即得抽取三年级的学生人数. 解答: 解:∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本, 一、二、三、四年级的学生比为 4:3:2:1, ∴三年级要抽取的学生是 故选:B. ×200=40,

点评: 本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例,本题也可 以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率,得到结果. 5. (5 分)等差数列{an}中,a3=7,a9=19,则 a5 为() A.13 B.12 C.11 考点: 专题: 分析: 解答:

D.10

等差数列的通项公式. 计算题. 根据公式 a3=a1+2d=7,a9=a1+8d=19,可求 a1,d,代入等差数列的通项公式可求. 解:根据公式 a3=a1+2d=7,a9=a1+8d=19,

解方程得到 故 a5=a1+4d=11, 故选 C 点评: 本题主要考查了利用基本量 a1,d 表示等差数列的通项公式,属于基础试题. 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.12

B.36

C.24

D.72

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得该几何体是以主视图为底面的三棱锥,求出底面面积和高, 代入可得答案. 解答: 解:该几何体是以主视图为底面的三棱锥, 底面面积 S= 高 h=3, 故体积 . =12,

故选:A 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知的三视图判断出几何体的形状 是解答的关键. 7. (5 分)函数 f(x)=﹣|x﹣5|+2 的零点所在的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)
x﹣1

D.(3,4)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可求出相应区间端点的值,由连续函数根的存在性定理,端点值异号时,该区 间内有根,得本题的解. 解答: 解:∵函数 f(x)=﹣|x﹣5|+2 ∴f(0)=﹣|0﹣5|+2 =﹣ <0, f(1)=﹣|1﹣5|+2 =﹣3<0, 1 f(2)=﹣|2﹣5|+2 =﹣1<0, 2 f(3)=﹣|3﹣5|+2 =2>0, 3 f(4)=﹣|4﹣5|+2 =7>0. ∵f(2)?f(3)<0, ∴函数 f(x)=﹣|x﹣5|+2 的零点所在的区间是(2,3) . 故选 C. 点评: 本题考查了方程根的存在性定理,本题难度不大,属于基础题. 8. (5 分)设 α 为平面,a、b 为两条不同的直线,则下列叙述正确的是() A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B. 若 a⊥α,a∥b,则 b⊥α C. 若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α D.若 a∥α,a⊥b,则 b⊥α 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间线线、线面、面面间的关系求解. 解答: 解:若 a∥α,b∥α,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 A 错误; 若 a⊥α,a∥b,则由直线与平面垂直的判定定理知 b⊥α,故 B 正确; 若 a⊥α,a⊥b,则 b∥α 或 b?α,故 C 错误; 若 a∥α,a⊥b,则 b∥α,或 b?α,或 b 与 α 相交,故 D 错误. 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的 培养. 9. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为()
x﹣1 0
﹣1

x﹣1



A.﹣1

B. 0

C. 1

D.3

考点: 条件语句;循环语句. 专题: 算法和程序框图. 分析: 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用,属于容易题. 解答: 解:第一次运行程序时 i=1,s=3; 第二次运行程序时,i=2,s=2; 第三次运行程序时,i=3,s=1; 第四次运行程序时,i=4,s=0, 此时执行 i=i+1 后 i=5,推出循环输出 s=0, 故选 B 点评: 涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决. 10. (5 分)若直线 x﹣y=2 被圆(x﹣a) +y =4 所截得的弦长为 A.﹣1 或 B. 1 或 3 C . ﹣2 或 6 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 由圆的方程,得到圆心与半径,再求得圆心到直线的距离,由 解. 2 2 解答: 解:∵圆(x﹣a) +y =4 ∴圆心为: (a,0) ,半径为:2 圆心到直线的距离为: 求
2 2

,则实数 a 的值为() D.0 或 4



解得 a=4,或 a=0 故选 D. 点评: 本题主要考查直与圆的位置关系及其方程的应用,是常考题型,属中档题.
1.1

11. (5 分)已知 a=2log52,b=2 ,c= A..a<c<b B.c<b<a

,则 a、b、c 的大小关系是() C.a<b<c D.b<c<a

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 转化为同底数:a=2log52=log 单调性判断答案. 解答: 解:∵a=2log52,b=2 ,c=
1.1

<1,b=2 ,c=

1.1

=2

,根据函数 y=2

x



∴a=2log52=log54<1,b=2 >2,c=
x

1.1

=2

<2,1<c<2

根据函数 y=2 单调性判断:b>c>a, 故选;A 点评: 本题考查了指数函数的单调性,属于容易题. 12. (5 分)函数 f(x)=sinx?ln(x +1)的部分图象可能是()
2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先判断出函数为奇函数,再根据零点的个数判断,问题得以解决. 2 2 解答: 解:∵f(﹣x)=sin(﹣x)?ln(x +1)=﹣(sinx?ln(x +1) )=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数,图象关于原点对称, ∵sinx 存在多个零点, ∴f(x)存在多个零点, 故 f(x)的图象应为含有多个零点的奇函数图象. 故选 B. 点评: 本题通过图象考查函数的奇偶性以及单调性,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. ) 13. (5 分)已知△ ABC 中,BC=4,AC=8,∠C=60°,则 =﹣16.

考点: 专题: 分析: 解答: 所以

平面向量数量积的运算. 计算题;平面向量及应用. 直接利用向量的数量积的运算法则求解即可. 解:因为△ ABC 中,BC=4,AC=8,∠C=60°, =| || |cos120°=﹣16.

故答案为:﹣16. 点评: 本题考查向量的数量积的运算,考查计算能力.

14. (5 分)设函数

,则 f(f(3) )=



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 根据分段函数的定义域先求出 f(3) ,再求出 f(f(3) ) ,注意定义域;

解答: 解:∵函数

,3>1

∴f(3)= , ∴f( )=( ) +1= +1= 故答案为 ;
2



点评: 分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,此题是一道基础 题;

15. (5 分)函数

的定义域是(

,1) .

考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 根据题意列出方程组 解此不等式组求得 x 的范围,即为所求.

解答: 解:要使函数有意义,则

解得:﹣ <x<1 故函数的定义域为(﹣ ,1) , 故答案为 ( ,1) .

点评: 本题考查函数的定义域的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 16. (5 分)已知函数 y=f(x)+x 为偶函数,且 f(10)=10,若函数 g(x)=f(x)+4,则 g (﹣10)=2014. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数是偶函数,构建方程求出 f(﹣10)的值,即可以得到结论. 3 解答: 解:∵函数 y=f(x)+x 为偶函数,且 f(10)=10, 3 3 3 ∴f(﹣10)+(﹣10) =f(10)+10 =10+10 , ∴f(﹣10)=2010, 则 g(﹣10)=f(﹣10)+4=2010+4=2014, 故答案为:2014 点评: 本题主要考查函数值的计算,利用函数的奇偶性是解决本题的关键. 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.请将解答写在答题卡指定位置. ) 17. (10 分)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ ABC 的 面积为 ,求 cosA 与 a 的值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用三角形的面积公式,求出 sinA= 理求出 a 的值. 解答: 解:∵b=3,c=1,△ ABC 的面积为 ∴ ∴sinA=
2 3

,利用平方关系,求出 cosA,利用余弦定



= ,
2



又∵sin A+cos A=1 ∴cosA=± , 由余弦定理可得 a= =2 或2 .

点评: 本题考查三角形的面积公式、余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题. 18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形,PD⊥平面 ABCD,M 为 PC 中点. (1)求证:AP∥平面 MBD;

(2)若 AD⊥PB,求证:BD⊥平面 PAD.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)设 AC∩BD=H,连接 EH,由平行四边形的性质结合题意证出 MH 为△ PAC 中 位线,从而得到 MH∥PA,利用线面平行的判定定理,即可证出 PA∥平面 MBD. (2)由线面垂直的定义证出 PD⊥AD,结合 AD⊥PB 得到 AD⊥平面 PDB,得 AD⊥BD,再 根据 PD⊥BD 且 PD、AD 是平面 PAD 内的相交直线,可得 BD⊥平面 PAD. 解答: 解: (1)设 AC∩BD=H,连接 EH, ∵H 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,∴H 为 AC 中点, 又∵M 为 PC 中点,∴MH 为△ PAC 中位线, 可得 MH∥PA, MH?平面 MBD,PA?平面 MBD, 所以 PA∥平面 MBD. (2)∵PD⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴PD⊥AD, 又∵AD⊥PB,PD∩PB=D, ∴AD⊥平面 PDB,结合 BD?平面 PDB,得 AD⊥BD ∵PD⊥BD,且 PD、AD 是平面 PAD 内的相交直线 ∴BD⊥平面 PAD.

点评: 本题在特殊的四棱锥中证明线面平行和线面垂直,着重考查了空间的平行、垂直位 置关系的判定与证明的知识,属于中档题. 19. (12 分)如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出 40 名,其成绩(均为整数)整理后画 出的频率分布直方图如下,观察图形,回答下列问题: (1)80~90 这一组的频率和频数分别是多少? (2)估计这次环保竞赛的平均数、众数、中位数. (不要求写过程) (3)从成绩是 80 分以上(包含 80 分)的同学中选两人,求他们在同一分数段的概率.

考点: 等可能事件的概率;频率分布直方图. 专题: 计算题;图表型. 分析: (1) 根据频率分步直方图的意义, 计算可得 40~50、 50~60、 60~70、 70~80、 90~ 100 这 5 组的频率,由频率的性质可得 80~90 这一组的频率,进而由频率、频数的关系,计 算可得答案; (2)根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法,计算可得答案; (3)记“取出的 2 人在同一分数段”为事件 E,计算可得 80~90 之间与 90~100 之间的人数, 并设为 a、b、c、d,和 A、B,列举可得从中取出 2 人的情况,可得其情况数目与取出的 2 人 在同一分数段的情况数目,由等可能事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解: (1)根据题意,40~50 的这一组的频率为 0.01×10=0.1, 50~60 的这一组的频率为 0.015×10=0.15, 60~70 的这一组的频率为 0.025×10=0.25, 70~80 的这一组的频率为 0.035×10=0.35, 90~100 的这一组的频率为 0.005×10=0.05, 则 80~90 这一组的频率为 1﹣(0.1+0.15+0.25+0.35+0.05)=0.1, 其频数为 40×0.1=4; (2)这次竞赛的平均数为 45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95×0.05=68.5, 70~80 一组的频率最大,人数最多,则众数为 75, 70 分左右两侧的频率均为 0.5,则中位数为 70; (3)记“取出的 2 人在同一分数段”为事件 E, 因为 80~90 之间的人数为 40×0.1=4,设为 a、b、c、d, 90~100 之间有 40×0.05=2 人,设为 A、B, 从这 6 人中选出 2 人,有(a,b) 、 (a,c) 、 (a,d) 、 (a,A) 、 (a、B) 、 (b,c) 、 (b,d) 、 (b,A) 、 (b、B) 、 (c、d) 、 (c、A) 、 (c、B) 、 (d、A) 、 (d、B) 、 (A、B) ,共 15 个基本事件, 其中事件 A 包括(a,b) 、 (a,c) 、 (a,d) 、 (b,c) 、 (b,d) 、 (c、d) 、 (A、B) ,共 7 个基本 事件, 则 P(A)= .

点评: 本题考查等可能事件的概率计算,涉及频率分步直方图的应用,关键利用频率分步 直方图,从中得到数据信息. 20. (12 分)已知等差数列{an}满足 a3=5,a5﹣2a2=3,又等比数列{bn}中,b1=3 且公比 q=3. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;

(Ⅱ)若 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ) 利用等差数列的通项公式由已知条件求出首项和公比, 由此能求出等差数列{an} 的通项公式;由数列{bn}是以 b1=3 为首项,公比为 3 的等比数列,能求出{bn}的通项公式. (Ⅱ)由 ,利用分组求和法能求出数列{cn}的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, 则由题设得 ,

解得 a1=1,d=2, ∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, ∵数列{bn}是以 b1=3 为首项,公比为 3 的等比数列, ∴ . ,
2 3 n

(Ⅱ)∵cn=an+bn,∴

∴Sn=1+3+5+7+…+(2n﹣1)+(3+3 +3 +…+3 ) = = .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意分组求和法的合理运用. 21. (12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若 AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由题目给出的边的关系,可想到去 AB 中点 O,连结 OC,OA1,可通过证明 AB⊥平面 OA1C 得要证的结论;

(Ⅱ)在三角形 OCA1 中,由勾股定理得到 OA1⊥OC,再根据 OA1⊥AB,得到 OA1 为三棱 柱 ABC﹣A1B1C1 的高,利用已知给出的边的长度,直接利用棱柱体积公式求体积. 解答: (Ⅰ)证明:如图, 取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1, ,故△ AA1B 为等边三角形,

所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C?平面 OA1C,故 AB⊥A1C; (Ⅱ)解:由题设知△ ABC 与△ AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 又 ,则 . ,故 OA1⊥OC.

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高. 又△ ABC 的面积 ,故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 .

点评: 题主要考查了直线与平面垂直的性质,考查了棱柱的体积,考查空间想象能力、运 算能力和推理论证能力,属于中档题. 22. (12 分)函数 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 .

(1)确定函数的解析式; (2)证明函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据奇函数性质有 f(0)=0,可求出 b,由 可求得 a 值.

(2)根据函数单调性的定义即可证明; (3) 根据函数的奇偶性、 单调性可去掉不等式中的符号“f”, 再考虑到定义域可得一不等式组, 解出即可. 解答: 解: (1)因为 f(x)为(﹣1,1)上的奇函数,所以 f(0)=0,即 b=0.

又 f( )= ,所以

= ,解得 a=1.

所以 f(x)=



(2)设﹣1<x1<x2<1, 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = ,

因为﹣1<x1<x2<1,所以 x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0, 所以 f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) . 所以函数 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)f(t﹣1)+f(t)<0 可化为 f(t﹣1)<﹣f(t) . 又 f(x)为奇函数,所以 f(t﹣1)<f(﹣t) , f(x)为(﹣1,1)上的增函数,所以 t﹣1<﹣t①,且﹣1<t﹣1<1②,﹣1<t<1③; 联立①②③解得,0<t< . 所以不等式 f(t﹣1)+f(t)<0 的解集为 .

点评: 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇 偶性常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理.


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