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数列复习综合课(一)


数列复习综合课(一)
——数列基本思想与方法

(一)数学的统一和谐美
一、数列与方程
“知三求二”。
体现了数列与方 程的统一和谐
体现了数列与函 数的统一和谐。 体现了通项公 (2) S式与求和公式 n ? ? (n) 的统一和谐

等差、等比数列中,a1、an、n、d(q)、S n

二、数列与函数

(1)an ? f (n)
三、

an



Sn

? S1 ,(n ? 1) S 2 n ?1 (1)an ? ? (2)在等差数列中 an= 2n ? 1 ? Sn ? Sn?1 ,(n ? 2)

(一)数学的统一和谐美
四、等差与等比

(1){an}为等差数列,则 c

? ?(c>0)是等比数列.
an

体现了等差数 (2){bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0且c ≠1) 是等差数列。 列与等比数列 的统一和谐

(3)等差(比)数列{an}的任意连续m项的和构成的 数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……

仍为等差(比)数列,公差是

m d (公比为q )
2



(一)数学的统一和谐美
例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数. 解:

通性通法一:

如图:a1,a2,a3,a4
等差a-d,a,a+d

解数列问题的方程意识

等比 a1, a-d,a

a1

?a ? d ?2 ?
a

已知和为12 =>a-d+a+a+d=12

已知三数和为19=>

?a ? d ?
a

2

?a ? 4 或 ? => ?d ? ?2

?a ? 4 ? ?d ? 14

? a ? d ? a ?19

四数为: 9,6,4,2 或25,-10,4,18.

(一)数学的统一和谐美
1 1 例 2.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项的和,已知 3 S3 和 4 S4 的等比中

1 1 1 项为 5 S5, 3 S3 与 4 S4 的等差中项为 1,求等差数列{an}的通项 an.

解 : 由已知得

a ?a ? a3 ? a2 ? 2 3 , 1 1 ? 1 ? ? 2 ( S5 )2 ? S3 ? S4, ? 5 ? ? 3 4 ? 即 ?2 ? a ? a2 ? a3 . 解之得: 2 ?2 ? 1 S ? 1 S . ? ? 2 3 4 ?
? 3 4
32 12 an= 5 ? 5 n. .

?a 2 ? ?a 3

8 ? a2 ? , ? 1, ? ? 5 ? ? 1. 或 ? a 3 ? ? 4 . ? 5 ?

∴ an=1 或

故所求等差数列的通项公式为:

an=1 或

数学追求的目标是: 从混沌中找出秩序,使经验升华为规律, 将复杂还原为基本。所有这些都是美的标志。

32 12 an= 5 ? 5 n.

(一)数学的统一和谐美
例 3.数列 ?a n ?

解数列问题的转化意识 ?a n ? 是否为等差数列,并证明你的结论。 (Ⅰ)判断数列

an ? 1 bn ? (n ? N * ) 数列 ?bn ? 满足 。 an

1 2 S n ? n ? 2n( n ? N * ) , 的前 n 项和为 2

通性通法二:

(Ⅱ)求数列 ?bn ? 中值最大的项和值最小的项的值。
解: (Ⅰ)

5 an ? n ? ( n ? N * ) 2

例 3.数列 ?a n ?

(Ⅰ)判断数列 ?a n ? 是否为等差数列,并证明你的结论。 (Ⅱ)求数列 ?bn ? 中值最大的项和值最小的项的值。 通性通法三: 解数列问题的函数 1 1 5 解: ? bn ? 1 ? . 意识 ? 1 ? ? an ? n ? , 5 an (Ⅱ) 2 n? 2 1

an ? 1 bn ? (n ? N * ) 数列 ?bn ? 满足 。 an

1 2 S n ? n ? 2n( n ? N * ) , 的前 n 项和为 2

?函数

f ( x) ? 1 ?

5 5 5 ??) x ? ,在区间(0, 2 )及( 2 ,

2

上分别为减函数,?1 ? b1 ? b 2;b 3 ? b 4 ? b 5 ? ? ? 1 。 ? ?bn ?中,值最大的项是 b3 ? 3 ;值最小的项是 b2 ? ?1 。

(一)数学的统一和谐美
a1 例4:已知{an}满足: ? 1, an?1 ? 2an ? 1.

(1)求证数列{an+1}为等比数列, (2)求数列{an}的通项公式 解(1)易知 an ? 1 ? 0. ?
an ?1 ? 1 2an ? 2. ? ?2 an ? 1 an ? 1

∴数列{an+1}为公比为2的等比数列

(2)由(1)得an ? 1 ? 2 ? 2
解题 方法

n ?1

? 2 ? an ? 2 ? 1
n

n

一般由an?1 ? Aan ? B.( A ? 0)求数列{an}的通项公式 先找等比数列{an+k},K可由待定系数法确定.

(一)数学的统一和谐美
提 高 练 习 (1)已知{an}满足: a1 ? 5, an?1 ? 2an ? 3. 求数列{an}的通项公式

(2)已知{an}满足: 1 ? 2, an?1 ? S n 求an和Sn a
2an ? 6. ? ?2 an ? 3 an ? 3

解:(1) an?1 ? 3

? an ? 2

n?2

?3
∴Sn+1=2Sn

(2)∵an+1=Sn

又∵an+1=Sn+1? Sn

∴{Sn}是公比为2的等比数列,

其首项为S1= a1=?2, ∴S1= a1×2n?1= ?2n ? ? 2 (n ? 1) n?1 ∴当n≥2时, an=Sn?Sn?1=?2 ? an ? ? n ?1 (n ? 2) ?? 2

(二)数学的对称简洁美
(1)等差数列{an}中,若m+n=p+q, 则 a ?a ?a ?a
m n p q

(2)等比数列{an}中,若m+n=p+q, 则 a ?a ? a ?a
m n p q

(3)等差(比)数列{an}的任意等距离的 项构成的数列仍为等差(比)数列。
(4)推导等差数列通项公式的累加法与 推导等比数列通项公式的累乘法

(5)等差数列求和的反序相加法与 等比数列求和的错位相减法

真数 可学 谓结 “构 判、 天数 地学 之方 美法 ,的 析对 万称 物与 之简 理洁 ”

(二)数学的对称简洁美


(2)已知等比数列 n?  中,a1 =2,a n =54, a ? a2n-3 =162,则公比q ?3    a2 n ?1 ? 1518
(3)在等差数列 则 2a 10 A.20

?an ? 中,若a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120
B.22 的值为( C ) C.24 D.28

? a12

(二)数学的对称简洁美
(4)等比数列 ?an ? 中, a



a5 (a3 ? 2a5 ? a7 ) ?

4

? a6 ? 3

9 _________

(5)在等差数列{an}中,a2+a4=p,a3+a5=q.

则其前6项的和S6为( B )
5( p ? q ) ( A). 4 3( p ? q) ( B). 2

(C ). p ? q

( A).2( p ? q)

提高练习
(1)等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,所有项

的和为390,该数列的项数为__________.
(2)等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85 ,偶数项的和为170,公比_____ ,项数_______.

n ? 13

q?2

n ?8

2 ? 对任意自然数n都满足 an ? 2 (3)数列 an ?

? an an ? 4



16 a3 ? 2, a7 ? 4,  a15 ? _____ 则

课堂小结
(1)统一与和谐相伴,对称与简洁相随 数列与方程 (2)四种统一: 数列与函数 an 与 S n 等差与等比

(3)二种对称 数学结构、数学方法

(1)已知1、x、y、z、9成等比数列, 求x、y. (2)已知a、b、c成等差数列,且a+b,b+c,c+a成 等比数列,三整数 a,b,c之和介于45和50之间(不含45 和50),求a,b,c.

2013年7月12日星期五


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