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11双曲线的焦点三角形


双曲线的焦点三角形
x2 F2 是双曲线 4 -y2=1 的两个焦点, P 是双曲线上一点, 【题1】 已知 F1, 且∠F1PF2=90° , 则△F1PF2 的面积是( A.1 B. ). 5 C.2 D. 5 2 A 解析:解法一:设|PF1|=d1,|PF2|=d2, 由双曲线的定义可知|d1-d2|=4.又∠F1PF2=90° , 2 2 2 于是有 d1+d2=|F1F2| =20, 1 1 2 2 因此, S?F1PF2 = d1d2= (d1 +d2 2-|d1-d2| )=1. 2 4 x2 解法二:由 -y2=1,知|F1F2|=2 5. 4 设 P 点的纵坐标为 yP,由于∠F1PF2=90° ,则 P 在以|F1F2|为直径的圆上,即在 x2+y2 =5 上. ?x2+y2=5, ? 5 由? 2 消去 x 得 |yP|= . 2 5 ?x -4y =4, ?
[来源 :学_科_网 ] [来源:学科网]

1 故△F1PF2 的面积 S= |F1F2|· |yP|=1. 2

x2 x2 2 【题2】 已知有相同两焦点 F1、 F2 的椭圆m+y =1(m>1)和双曲线 n -y2=1(n>0), P 是它们的一个交点,则△F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 【解析】 B.直角三角形 D.随 m、n 变化而变化 )

∵|PF1|+|PF2|=2 m,|PF1|-|PF2|=± 2 n,又 m-1=n+1,

∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2. 【答案】 B
x2 y2

【题3】 已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0),其焦点为 F1、F2,过 F1 作直线交双曲线同一支

于 A、B 两点,且|AB|=m,则△ABF2 的周长是( A.4a C.4a+2m [答案] C B.4a-m D.4a-2m

)

x2 y2 【题4】 已知双曲线 9 -16=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线上一点 P 使∠F1PF2 =90° ,则△F1PF2 的面积是( A.12 [答案] B [解析] 由定义||PF1|-|PF2||=6, B.16 C.24 ) D.32

∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|=36, ∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100, ∴|PF1||PF2|=32, 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|=16. 2 x2 y2 【题5】 已知双曲线 C: 9 -16=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 的右支上一点,且 |PF2|=|F1F2|,则△PF1F2 的面积等于( A.24 [答案] C [解析] 依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16, 16?2 102-? ? 2 ? =48,选 C. B.36 C.48 ) D.96

1 因此△PF1F2 的面积等于 ×16× 2

【题6】 已知双曲线的左、右焦点分别为 F1,F2,在左支上过 F1 的弦 AB 的长为 5,若 2a

=8,那么△ABF2 的周长是( A.16 C.21

) B.18 D.26

解析 如图所示,由双曲线的定义知,|AF2|-|AF1|=8,(1)

|BF2|-|BF1|=8,(2) 又|AF1|+|BF1|=|AB|=5,(3) ∴由(1),(2),(3)得|AF2|+|BF2|=21. 故△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=26. 答案 D

2 2 【题7】 已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =1 的左、右焦点,P 点在 C 上,∠F1PF2=60° ,

则 P 到 x 轴的距离为( 3 A. 2 C. 3

) 6 B. 2 D. 6

解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,不妨设 m>n,P(x,y),|PF1|-|PF2|=m-n=2.在△F1PF2 中,由余弦定理得 (2 2)2=m2+n2-2mncos60° ,
2 ∴8=(m-n) +mn.

∴mn=4. 由△F1PF2 的面积相等,得 1 1 2 2× |y|=2mnsin60° , 2× 1 3 4× 2 . 即 2|y|=2× 6 ∴|y|= 2 . 6 即 P 到 x 轴的距离为 2 . 答案 B y2 x2 x2 2 【题8】 椭圆49+24=1 与双曲线 y -24=1 有公共点 P,则 P 与双曲线两焦点连线构成三 角形的面积为 ( ) A.48 C.24 3 B.24 D.12 3

解析:由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点 F1(0,5)和 F2(0,-5),又由椭圆 与双曲线的定义可得

? ? ? ?|PF1|+|PF2|=14, ?|PF1|=8, ?|PF1|=6, ? ? 所以 或? ?||PF1|-|PF2||=2, ? ? ? ?|PF2|=6, ?|PF2|=8.
又|F1F2|=10, . ∴△PF1F2 为直角三角形,∠F1PF2=90° 1 1 6× 8=24. 因此△PF1F2 的面积 S=2|PF1||PF2|=2×

答案:B x2 y2 【题9】 已知点 P 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2 分别是双曲线的左、 1 右焦点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+2S△IF1F2 成立,则双曲线的 离心率为( A.4 5 B. 2 ) C.2 5 D. 3

1 1 【解析】 由 S△IPF1=S△IPF2+ S△IF1F2 得, |PF1|=|PF2|+ ×2c, P 是右支上的点, 2 2 1 所以|PF1|=|PF2|+2a,即有 ×2c=2a,e=2,选 C. 2 【答案】 C


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